6.1不等式的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

i.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式各個性質(zhì)的條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，并掌握它們的證明方

法以及功能、運(yùn)用；

2.掌握兩個實數(shù)比較大小的一般方法；

3.通過不等式性質(zhì)證明的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生邏輯推論的能力；

4.提高本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，：培養(yǎng)學(xué)生條理思維的習(xí)慣和認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度；

教學(xué)建議

1.教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)首先通過數(shù)形結(jié)合，給出了比較實數(shù)大小的方法，在這個基礎(chǔ)上，給出了不等式的性質(zhì)，一共

講了五個定理和三個推論，并給出了嚴(yán)格的證明。

知識結(jié)構(gòu)圖

(2)重點、難點分析

在“不等式的性質(zhì)”一節(jié)中，聯(lián)系了實數(shù)和數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系、比較實數(shù)大小的方法，復(fù)習(xí)了初中學(xué)

過的不等式的基本性質(zhì)。

不等式的性質(zhì)是穿越本章內(nèi)容的一條主線，無論是算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的證明及其應(yīng)

用，不等式的證明和解一些簡單的不等式，無不以不等式的性質(zhì)作為基礎(chǔ)。

本節(jié)的重點是比較兩個實數(shù)的大小，不等式的五個定理和三個推論：難點是不等式的性質(zhì)成立的條

件及其它的應(yīng)用。

①比較實數(shù)的大小

教材運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的觀點，從實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)出發(fā)，與初中學(xué)過的知識“在數(shù)軸上表

示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”利用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小。

指出比較兩實數(shù)大小的方法是求差比較法：

比較兩個實數(shù)a與6的大小，歸結(jié)為判斷它們的差a一8的符號，而這乂必然歸結(jié)到實數(shù)運(yùn)算的符

號法則.

比較兩個代數(shù)式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號.

②理清不等式的兒個性質(zhì)的關(guān)系

教材中的不等式共5個定理3個推論，是從證明過程安排順序的.從這幾個性質(zhì)的分類來說，可以

分為三類：

（I）不等式的理論性質(zhì)：。>￡>??*<?（對稱性）

I07c（傳遞性）

（Il）一個不等式的性質(zhì)：a>&Od+c>h+c

阿，aybOaeybei

當(dāng)e〈時，a>bOse<be

a〉A(chǔ)>O=a'>。*（。，〃>i）

a>6>0>y/b（?eN.?>!）

（in）兩個不等式的性質(zhì)：lc>rf

fa>A>0

=>ac）bd

（c>rf>0

2.教法建議

本節(jié)課的核心是培養(yǎng)學(xué)生的變形技能，訓(xùn)練學(xué)生的推理能力.為今后證明不等式、解不等式的學(xué)習(xí)

奠定技能上和理論上的基礎(chǔ).

授課方法可以采取講授與問答相結(jié)合的方式.通過問答形式不斷地給學(xué)生設(shè)置疑問（即：設(shè)疑）：

對教學(xué)難點，再由講授形式解決疑問.（BP：解疑）.主要思路是：教師設(shè)疑一學(xué)生討論一教師啟發(fā)一

解疑.

教學(xué)過程可分為：發(fā)現(xiàn)定理、定理證明、定理應(yīng)用，采用由形象思維到抽象思維的過渡，發(fā)現(xiàn)定理、

證明定理.采用類比聯(lián)想，變形轉(zhuǎn)化，應(yīng)用定理或應(yīng)用定理的證明思路；解決一些較簡單的證明題.

第一課時

教學(xué)目標(biāo)

4

1.掌握實數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序間關(guān)系：

2.掌握求差法比較兩實數(shù)或代數(shù)式大??；

3.強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想.

教學(xué)重點

比較兩實數(shù)大小

教學(xué)難點

理解實數(shù)運(yùn)算的符號法則

教學(xué)方法

啟發(fā)式

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)回顧

我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點是■對應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數(shù)比左邊

的點表示的實數(shù)大.例如，在右圖中，點/表示實數(shù)i,點8表示實數(shù)i，點/在點B右邊,那么Q>3.

我們再看右圖，?表示心減去士所得的差是一個大于0的數(shù)即正數(shù).一般地：

若上，則。-A是正數(shù)；逆命題也正確.

類似地，若a<b,則a是負(fù)數(shù)；若則0一5?0.它們的逆命題都正確.

這就是說：（打出幻燈片1）

a>6<9a-A>0

a-Aoa-A-0

a<6Otf-A<0

由此可見，要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了，這也是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的主

要內(nèi)容.

二、講授新課

1.比較兩實數(shù)大小的方法——求差比較法

比較兩個實數(shù)二與上的大小，歸結(jié)為判斷它們的差的符號，而這乂必然歸結(jié)到實數(shù)運(yùn)算的

符號法則.

比較兩個代數(shù)式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號.

接下來，我們通過具體的例題來熟悉求差比較法.

2.例題講解

例1比較S+半0-?與Q+*-雹的大小.

分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同

類項之后，判斷差值正負(fù)，并根據(jù)實數(shù)運(yùn)算的符號法則來得出兩個代數(shù)式的大小.

解：3+取4-習(xí)-嗤

--7-(0

...(a1■5(a-力Y(a+2)(a-41

例2已知*.0,比較(*'+D與，?/+1的大小.

分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個代數(shù)式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應(yīng)該在對

差值正負(fù)判斷時引起注意，對于限制條件的應(yīng)用經(jīng)常被學(xué)生所忽略.

解：(1+1尸-(/+/

-r*+2,*1-X4-X*-I

-

由X.0得工從而

(?+D'A*'*xa*1

請同學(xué)們想一想，在例2中，如果沒有X.0這個條件，那么比較的結(jié)果如何？

(學(xué)生回答：若沒有*?0這一條件，則—20,從而(/?疔大于或等于K'+/+1)

為了使大家進(jìn)一步掌握求差比較法，我們來進(jìn)行卜.面的練習(xí).

三、課堂練習(xí)

1.比較任+小+為黑尸6’的大小

2.如果*>0,比較（石一。'與（石+D’的大小.

3.已知"0,比較（/?四*-缶*D與（4'4?4DC?-4+D的大小

要求：學(xué)生板演練習(xí)，老師講評，并強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意加限制條件的題目.

課堂小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要明確實數(shù)運(yùn)算的符號法則，掌握求差比較法來比較兩實數(shù)或代數(shù)式的大小.

課后作業(yè)

習(xí)題6.11,2,3.

板書設(shè)計

§6.1.1不等式的性質(zhì)

1.求差比較法例1學(xué)生

例2板演

第二課時

教學(xué)FI標(biāo)

1.理解同向不等式，異向不等式概念：

2.掌握并會證明定理1,2,3：

3.理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù)，定理3是移項法則的依據(jù);

4.初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

教學(xué)重點：定理1,2,3的證明的證明思路和推導(dǎo)過程

教學(xué)難點：理解證明不等式的邏輯推理方法

教學(xué)方法：引導(dǎo)式

教學(xué)過程

?、復(fù)習(xí)回顧

上一節(jié)課,我們一起學(xué)習(xí)了比較兩實數(shù)大小的方法,主要根據(jù)的是實數(shù)運(yùn)算的符號法則,而這也是推

證不等式性質(zhì)的主要依據(jù),因此，我們來作一下回顧：

回答,。AAa-5A0

a-0

aYbOa-bYt)

這節(jié)課，我們將利用比較實數(shù)的方法，來推證不等式的性質(zhì).

二、講授新課

在證明不等式的性質(zhì)之前，我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

1.同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如：1+2>"+03>如是同向不等

式.

異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如："‘?3>2以4'Y”-5是異向不等式

2.不等式的性質(zhì)：

定理1：若則SY■若AYajStfAAjftiAA

定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，

也要證明必要性.

證明：ai-b,

；.i>0

由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，得

-<0

b一。Y0

說明：定理1的后半部分可引導(dǎo)學(xué)生仿照前半部分推證，注意向?qū)W生強(qiáng)調(diào)實數(shù)運(yùn)算的符號法則的應(yīng)用.

定理2：若。>5,且a>c,則

證明：...“■AAc

.a-b>Q,b-c>0

根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，得

(a-A)*(b-c)>0

a-c>0

???.》c說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運(yùn)算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù).

定理3：若則

定理3說明，不等式的兩邊都加上同個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向.

證明：

-a-A>0

.?.a^c>b^c

說明：(i)定理3的證明相當(dāng)于比較s+c)與的大小，采用的是求差比較法;

(2)不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據(jù)定理3可得出：若

?！?gt;c,則a+*+O>"(f)即a>c-b

定理3推論：若“5.且:

證明：

a>bt

a+c>b+c①

■：e>d

A+c>d*d②

由①、②得a+c>A+d

說明：(D推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；

(2)這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式

兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出?般的結(jié)論;

（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學(xué)生自證）

三、課堂練習(xí)

1.證明定理1后半部分；

2.證明定理3的逆定理.

說明：本節(jié)主要目的是掌握定理1,2,3的證明思路與推證過程，練習(xí)穿插在定理的證明過程中進(jìn)行.

課黨小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家熟悉定理1,2,3的證明思路，并掌握其推導(dǎo)過程，初步理解證明不等式

的邏輯推理方法.

課后作業(yè)

1.求證：若4aYAMw-aA、-立

2,證明：若。+4

板書設(shè)計

§6.1.2不等式的性質(zhì)

1.同向不等式3.定理24.定理35.定理3

異向不等式證明證明推論

2.定理1證明說明說明證明

第三課時

教學(xué)目標(biāo)

1.熟練掌握定理1,2,3的應(yīng)用：

2.掌握并會證明定理4及其推論1,2；

3.掌握反證法證明定理5.

教學(xué)重點：定理4,5的證明.

教學(xué)難點：定理4的應(yīng)用.

教學(xué)方法：引導(dǎo)式

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧

匕一節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了不等式的三個性質(zhì)，即定理1,2,3,并初步認(rèn)識了證明不等式的邏輯

推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內(nèi)容.

(學(xué)生回答)

好，我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理4、5及其推論，并進(jìn)一步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

二、講授新課

定理4：若。AA且vAOjWacA&r；

昔aAA且cYOjSocY也

證明：

va>-A

.'.a-A>-0

根據(jù)同號相乘得正，異號相乘得負(fù)，得

當(dāng)。A08^,(a>-0,8P

ac>-btr,

與;Y0>t(a-OYO.BP

ac-<Ac

說明：(1)證明過程中的關(guān)鍵步驟是根據(jù)“同號相乘得正，異號相乘得負(fù)”來完成的；

(2)定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負(fù)數(shù)，不等

號方向改變.

推論1：若aAAAO.且cAd

證明：'?,"?瓦cAO

,\ac>-bc①

又TCdACl

bc>-bd②

由①、②可得RAM.

說明：（1）上述證明是兩次運(yùn)用定理4,再用定理2證出的；

（2）所有的字母都表示正數(shù)，如果僅有0尸瓦0,就推不出的結(jié)論.

（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說,

兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.

推論2：若D

說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；

（2）應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意"CN且XAI的條件.

定理5：若aAAAA痛wD

我們用反證法來證明定理5,因為反面有兩種情形，即巧Y幽哂■福，所以不能僅僅

否定了癡就“歸謬”了事，而必須進(jìn)行“窮舉”.

說明：假定標(biāo)不大于探，這有兩種情況：或者％Y出，或者需?招

由推論2和定理1,當(dāng)無Y班'時，有dYA；

當(dāng)方■加時，顯然有a?A

這些都同已知條件。。矛盾

所以垢A崛.

接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

例2已知。A.，。Yd■求證:a-cAA-4

證明：由。而CY<￡RW-CA0

"a-e-(4-<0

-(<s-6)+0-c)A0

*b-d

aAAAOjCYA—.

例3已知ab

證明：”

_L壽

兩邊同乘以正數(shù)&'

ba'

flpL"

ab

*Y0

ab

說明：通過例3,例4的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步接觸不等式的證明，為以后學(xué)習(xí)不等式的證明打口基礎(chǔ).

在應(yīng)用定理4時，應(yīng)注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數(shù)時，其正負(fù)將影響結(jié)論.接下來，

我們通過練習(xí)來進(jìn)?步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

三、課堂練習(xí)

課本P,練習(xí)1,2,3.

課堂小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，大家要掌握不等式性質(zhì)的應(yīng)用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的

基礎(chǔ).

課后作業(yè)

課本習(xí)題6.14,5.

板書設(shè)計

§6.1.3不等式的性質(zhì)

定理4推論1定理5例3學(xué)生

內(nèi)容內(nèi)容

證明推論2證明例4練習(xí)

不等式的兒個性質(zhì)

不等式的性質(zhì)是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，熟練掌握并能靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)，是提高解題準(zhǔn)確性和快捷

性的關(guān)鍵。這里介紹一些課本中沒有直接列出而在解題中經(jīng)常遇到的性質(zhì)，以供參考。

1.乘方、開方性質(zhì)

1）若6>?,則有：

①尸"11

2）若則

3）若/<5,貝ij-而<*《-4a或孤《曲。

2.取倒數(shù)性質(zhì)

1）若a>A>0或Q>5,則。b?

2<2<1

2）若0<a<xC或則&Xao

3.取絕對值的性質(zhì)

"用cM〉W

2）若。<*<A,且。①當(dāng)時，有卜

3）當(dāng)時，有卜1<4,

4.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

若且則

1）真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

A.

①aa+#r：

②<Ia-mt

2）假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：

<s

①6；

a.a-w4

②KB"

說明：1）是真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，可簡述為：真分?jǐn)?shù)越加越大，越減越小。2）是假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，可簡述

為：假分?jǐn)?shù)越加越小，越減越大。

以上性質(zhì)都可由基本不等式或絕對值的定義，通過簡單推導(dǎo)而得到，作為練習(xí)，其證明均留給讀者。

對以上不等式，建議大家熟練掌握，這對加快解題速度有幫助。

定理4的推論1和2及定理5的證明參考

定理4的推論1：如果a>8>0,那么c>d>0.那么ac>bd

證法1.a〉b,c>0

ac>be

---c>d,b>0<_____《^鹿4^

二bcybd'滲透綜合法證題程序.

從而：ac<------->

證法2.ac-bd=ac~bc+bc-bd

=(a-b)c+b(c-d)實數(shù)性質(zhì)

又<a>b>0,c>d>0

a-b>O,c-d>0,c>0,^>0?--------遑翌或)

從而：(a-班+b(c-d)〉0

ac>^d滲透比較法的證明方法.<---

定理4的推論2：如果a>b>0,那么小>bx(?eN,?>1)

證法1.丁a>b>0

a'ayb'b>0?BPa2>2>2>0

a-a1>bb2>0,即，>p>o

依次可得：1>bx

證法2.

a*>bx=(a-b^+a^b+a^b2+■■+abx~2+bx~^

又a>8>0

a-b>0,a"i>0,af>0,/—>。…，的々>°,尸>。

/.(a-b)⑷r+af+qx-3b2+…+叱-2+川-1)>0---------

二￡>b*---------

定理5：如果&>5>0,那么標(biāo)>四（MGN,n>l）

證法1.（反證法）

假設(shè)布〈柩或信物.—<^至麗貯>

當(dāng)揚(yáng)<既，訶得aVb.1一----------------一

U-----推理，引出矛邕二〉

當(dāng)標(biāo)=超，可得aS.J

均于以>6>0矛盾.

：.%>紙.——ug假設(shè)，肯定豌〉

證法2.令p=惠,q=匯.

則夕，〃=馥

a-b=pN—qx

=9一心（pL】+戶"2q+p龍-3q?+???+廣?

也就是：p>q.

即：標(biāo)〉狙.

巧用不等式性質(zhì)速求物理量極值

極值問題是物理應(yīng)用中常見問題之一，解決這類問題的方法有幾種，如二次函數(shù)配方法、：次方程

判別法、三角函數(shù)法、兒何作圖法，對于同?問題采取方法不同，其效果往往并一樣。如果?類問題，

涉及到兩個變量和為定值，求相應(yīng)量極值問題，即定和求積覓極值。就可用不等式性質(zhì)求極值，收到事

半功倍的效果。

假設(shè)有變量三、F,且*>0、尸）°,則一定有2

如果(定值)，則當(dāng)MA時，才7有極大值為4'

圖2例：如圖1,粗細(xì)均勻的玻璃管長厘米，開口向上豎直放置時，上端齊管口

有?段*=25厘米的水銀柱封閉著〃“空氣柱，大氣壓強(qiáng)為尸?.75厘米汞柱，現(xiàn)使

空氣柱溫度逐漸升高，問欲使管內(nèi)水銀全部溢出，溫度至少升到多高？

圖1

解：設(shè)管內(nèi)空氣柱溫度升高到T(開)，管內(nèi)尚有水銀柱工厘米，管的橫截面積為S,則有

5"X.5+x)g-x).*

云T

將數(shù)據(jù)代入，整理得：

7_(75+X)(100-X)

25

如果再變?yōu)橛嘘P(guān)x的二次函數(shù)求極值，解答就較為復(fù)雜，由于。5+外+(100-力775為常數(shù),

所以當(dāng)。5-嘮?。00+通時，即當(dāng)彳■125厘米時，1■有極大值為J-306.25(開)。

例2：如圖2所示電路中，已知電源電動勢l6"內(nèi)阻R-0.5Q,定值電阻醫(yī).20,

旦?玄?,%是總阻值為5Q的滑動變阻器，閉合電鍵K,調(diào)節(jié)變阻觸點，求通過電源的最小電流？

解：此、網(wǎng)、鳥與電源組成的電路實際上是雙臂環(huán)路，

通過電源電流最小時，實際對應(yīng)總電阻最大，設(shè)AP段阻值為X,那么:

W舄+&x)_(2+^F

4+%*m10

由于（2+A+0+才70（定值），

所以當(dāng)2+*-8-*時，即時，耳有最大值，.250,因此通過電源電流

以上分析可看出，利用不等式性質(zhì)求極值不失為種好方法，我們不妨試?試。

中學(xué)數(shù)學(xué)授課的九種開頭方式

常方平

教學(xué)方法俗話說：“萬事開頭難”。想上好一堂數(shù)學(xué)課，有一個好的開頭是很關(guān)鍵

的。11年來，我一直努力地探索和試驗著數(shù)學(xué)授課的開頭，現(xiàn)總結(jié)九種中學(xué)數(shù)學(xué)授課的

開頭方法，與同行商榷。

1.發(fā)現(xiàn)法

它是根據(jù)中學(xué)生好奇的心理特點，一上課就給學(xué)生提供一定的材料，讓學(xué)生充分發(fā)

現(xiàn)和解決問題的一種方法。如，學(xué)習(xí)“空間兩個平面的位置關(guān)系”時，可先讓學(xué)生認(rèn)真

觀察教室的墻壁、天花板、桌面、地面等之間的關(guān)系，積極發(fā)現(xiàn)了空間兩個平面的兩種

位置關(guān)系。學(xué)生心理上有了滿意感，使后面學(xué)習(xí)有飽滿的精神。

2.研究法

它是根據(jù)中學(xué)生愛爭論的心理特點，一上課就給學(xué)生一定的問題，讓他們充分討論

的一種方法。如，學(xué)習(xí)“指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”時，先用小黑板把函數(shù)尸?7和A-0/刁,

的圖象掛出，讓學(xué)生前后左右充分討論這兩種函數(shù)所具有的性質(zhì)，使后面推廣研究指數(shù)

函數(shù)，且。-6的性質(zhì)及應(yīng)用，進(jìn)展十分順利。

3.反饋法

它是根據(jù)信息論的反饋原理，一上課就給學(xué)生提出一些問題，根據(jù)學(xué)生的反饋效果,

給予肯定或糾正后引入新課的一種方法。如，學(xué)習(xí)“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用”

時，先向?qū)W生提問同角三角函數(shù)的八個基本關(guān)系式以及各個關(guān)系式的變形式，知道學(xué)生

熟練記憶同角三角函數(shù)的關(guān)系式后，學(xué)習(xí)它在求值、化簡、三角恒等式證明的應(yīng)用順其

自然。

4.趣引法

它是根據(jù)中學(xué)生愛聽故事的心理特點，一上課就以有趣故事開頭的一種方法.如，

學(xué)習(xí)“球冠”時，開頭給學(xué)生講這樣一個故事：唐僧一行四人上西天取經(jīng)，行至一個前

不著村后不靠店的大山中，渴餓萬分，讓豬八戒去化緣，老豬在一個山溝里發(fā)現(xiàn)一大球

型西瓜端起正要去吃，一妖怪一刀將西瓜刮去一部分，嚇得它把手中的西瓜往頭一扣，

騰云逃回。孫悟空、沙僧看著豬八戒頭上的西瓜，笑著說：“好一個球帽子“。球帽子

就是球冠。接著敘述球冠，學(xué)生很容易接受。

5.類推法

它是利用學(xué)生已有的某種知識，一上課就山這種知識類似地推出另一種知識的方法。

如，學(xué)習(xí)“孤度制”時，先讓學(xué)生回憶角度制中角的化分單位的方法，再引入孤度制，

學(xué)生十分容易理解。

6.實例法

它是根據(jù)中學(xué)生對周圍事物易作直覺思維的特點，一上課就舉出學(xué)生熟知的生活實

例的一種方法。如，學(xué)習(xí)“二面角”時，先把一本書打開，讓學(xué)生看到書兩部分所成的

角，對二面角有一個感性認(rèn)識，使后面研究二面角很方便。

7.強(qiáng)調(diào)法

它是根據(jù)中學(xué)生對有意義的東西有興趣的特點，一上課就敘述本課時的重要意義的

一種方法。如，學(xué)習(xí)“復(fù)數(shù)”時，先強(qiáng)調(diào)：有一種新數(shù)，十八世紀(jì)以后，它就在數(shù)學(xué)、

力學(xué)和電學(xué)中得到了應(yīng)用，現(xiàn)在已成為科學(xué)技術(shù)中普遍使用的一種工具。它就是復(fù)數(shù)。

然后由數(shù)的概念的推廣引入復(fù)數(shù)，學(xué)生聽得聚精會神。

8.設(shè)疑法

它是根據(jù)中學(xué)生愛追根求源的心理特點，一上課就給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一些疑問的一種方法。

如，學(xué)習(xí)“球的體積”時，先給學(xué)生提出：我們能不能利用前面柱、錐體的體積公式推

出球的體枳公式呢？將一個底面半徑和高都等于球半徑的圓柱，挖去一個以圓柱的上底

面為底面、下底面圓心為頂點的圓錐，剩余的體積與半球的體積會相等嗎？學(xué)生帶著這

樣的疑問，使球的體積公式的推導(dǎo)十分順利。

9.直接法

它是一上課就把要解決的問題提出來的一種方法。如，學(xué)習(xí)“三垂線定理”時，先

把定理的內(nèi)容板書在黑板上，讓學(xué)生分清定理的條件與結(jié)論后，證明過程十分容易進(jìn)展。

以上中學(xué)數(shù)學(xué)授課的九種開頭方法的運(yùn)用，一般是新概念學(xué)習(xí)課用發(fā)現(xiàn)法、研究法、

趣引法、實例法、類推法，新定理學(xué)習(xí)課用設(shè)疑法、直接法，習(xí)題課及復(fù)習(xí)課用強(qiáng)調(diào)法、

反饋法等。但根據(jù)學(xué)生的臨課情況，可靈活變更授課的開頭方法，象習(xí)題課及復(fù)習(xí)課有

時也可用發(fā)現(xiàn)法、研究法、趣引法等。新概念學(xué)習(xí)課有時也可用強(qiáng)調(diào)法、反饋法等。

以上中學(xué)數(shù)學(xué)授課的九種方法，通過數(shù)年的試驗，效果良好。如戰(zhàn)前動員的力量，

一席話能使千軍萬馬群情振奮，所向披靡。學(xué)生在適當(dāng)?shù)氖谡n開頭作用下，學(xué)習(xí)積極性

高，精神飽滿，活動踴躍，聽練主動。但，這九種方法一定有不足之處，望大家批評指

正。

（摘自《中學(xué)數(shù)學(xué)參考》1991年第5期）

能得到什么結(jié)論

題目已知?>?且3>0,你能夠推出什么結(jié)論？

分析與解：由條件推出結(jié)論，我們可以考慮把已知條件的變量范圍擴(kuò)大，對已知變量作運(yùn)算，運(yùn)用

不等式的性質(zhì)，或者跳出不等式去考慮一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

思路一：改變.?0的范圍，可得：

1,■>0且A>0=>?！?I；

2,0>0且5-0：

思路二由已知變量作運(yùn)算，可得：

3.a>0日》>00必>0；

4,■>0且A>0=a+A>0；

5,。>0且8>0=。；+白1>0：

6Q0且5>o=H木>0

7。>0且A>0=>Q*1Xfr*D>0；

思路三：考慮含有的數(shù)學(xué)表達(dá)式具有的性質(zhì)，可得：

8.（其中Gd為實常數(shù)）是三次方程；

9.y■威+=+d（其中c,a為常數(shù)）的圖象不可能表示直線。

說明從已知信息能夠推出什么結(jié)論？這是我們經(jīng)常需要思考的問題，這里給出的都是必要非充分

條件，讀者可以考慮是否能夠?qū)懗龀湟獥l件；另外，運(yùn)用推出關(guān)系的傳遞性，在推出結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)一

步進(jìn)行推理，還可得出很多結(jié)果，請讀者考慮.

探究關(guān)系式是否成立的問題

題目當(dāng)臣I成立時，關(guān)系式卜|<1<?|是否成立？若成立，加以證明；若不成立，說明

理由。

解：因為‘。一5）”,所以。-心?所以一力》。，

所以（1-一勵-肥）>0,

所以不可能成立。

說明：像本例這樣的探索題，題目的結(jié)論是“兩可”（即兩種可能性）情形，而我們知道，說明結(jié)

論不成立可像例1那樣舉?個反例就可以了。不過像本例的執(zhí)果索因的分析，不僅說明結(jié)論不成立，而

且得出H必須同時大于1或同時小于1的結(jié)論

探討增加什么條件使命題成立

例適當(dāng)增加條件，使下列命題各命題成立：

⑴若二〉加‘，則?>?；

（2）若?！?,貝ijae?金；

（3）若a〉。，c>d,則

（4）若?,則ab

思路分析：本例為條件型開放題，需要依據(jù)不等式的性質(zhì)，尋找使結(jié)論成立時所缺少的一仝條件。

解：⑴“°

“00

（2）c?0。當(dāng)V-0時,

?<0

當(dāng)c<0時，。

\O/

a、>*八>0J1oe)、—一

c>d>Q\

（4）3〉a

a>b

db

h>Q

引申發(fā)散對命題（3）,能否增加條件B>*c>°,或“>0,d>0,使其成立？請闡述你的

理由。

i.比較兩式的大小

比較下列各式的大小。

+⑨與/

（1）*7)(?

(2)S-爐與Q+D，（??*0）

（云可與（表可

(3)（?,*0）

解法i：（/+7X/+號-（***劭

-X**16jr*fi3-x4-63-16x

當(dāng)*>0時（/+7X*'*S）>l+63

當(dāng)x<0時*7XxJ*S）<x**63

當(dāng)L0時（/+7X*'*9）-M?+63

當(dāng)“〉0時（。-爐〈9+9’

當(dāng)《<。時（。一爐>（。+1戶

（方。'-+可■4）7左）1叮盤“-K*T御

（3）V。5>vO52吏

*%京）一一--6千+2-a**2>0

――甘

6+D1-（備-。,■嗅

解法2：⑴、（2）得，現(xiàn)解（3）#陋英“5

修職,（青曝廿（金*吟+1+臺，7.瑞?D

-aJ+1>0

注意此題在于鞏固讀者學(xué)過的乘法公式。

2.判斷命題真假的題目

例1判斷下列命題是否正確，并說明理由。

（1）<i>Ao。-c>A-e

(2)。>包。>d

(3)

-3>T=a〉D

(4)CC

a>A〉oD

(5)ab

（7）。'凈力同訓(xùn)

（8）幾〉耳（.〉。.6〉。）n°”5’

解答：（1）命題成立，可由性質(zhì)0〉?=6+C>，+?直接推出。

（2）命題不成立，因為a+cAA+dna>A，c>d不成立。如■?】OOQ-l&d?]0

顯然有。+。>A+d，但推不出cyd.

（3）命題不成立。當(dāng)。-0時，有

a>A.c>。=3>—=多>與>0=><s>A.

（4）命題成立?？捎尚再|(zhì)cc

a>0^—<2,—<—=>a>A>0

（5）命題不成立。其中ab,可由性質(zhì)直接推出，而0A則

不成立，例如："--26-2時就不成立。

（6）命題不成立，例如a.33.2。--I.J--2時就不成立。

（7）命題成立。由性質(zhì)。>A>0"石>修，可直接證得>5,>0

>后=M>W；而由性質(zhì)。〉配可以證得同>>|>。

=W>陷=—>虎

(8)命題成立。由性質(zhì)＞8"可直接證得正＞石＞°

=＞(石)■＞?“川.

點評關(guān)于基本性質(zhì)方面的總量主要有三類：?類是基本性質(zhì)，包括互逆性和傳遞性類是與加減運(yùn)

算有關(guān)的性質(zhì)；另一類是與乘、除、乘方、開方運(yùn)算有關(guān)的性質(zhì)。

3.求代數(shù)式范圍的題目

ae◎勺2a

設(shè)22,那么3的范圍是()

(°.、(嚓當(dāng)

(A)O(B)66

(Om⑺(6，'

答案D

4.考查不等式性質(zhì)的選擇題

綜合運(yùn)用不等式的性質(zhì)，請完成以卜.題目：

(1)若則下列不等關(guān)系中不能成立的是()

1>1->一

K.abB.a~bb

c.W>HD.H>H

Wo”'＞一是一個有用的小結(jié)論。)

(提示:

⑵如果那么下列不等式①廣川；②ab；?2*＞2*；④電4＞電瓦其中恒

成立的是()

A.①②B.①③

C.①④I).②③

(3)若二、i是任意實數(shù)，且。>?,則()

,色<1

A./B.a

⑷若m<QN>0且M+M<0,則下面的不等式中正確的是()

A.-JII<JW<JI<nWB.-m<?

c.*<一■<\<一*D.m<-Jt<-m<?

(5)若上和士是實數(shù)，f是有理數(shù),滿足下面哪個條件必有?*>&'.()

HA.a>^>0.c<0B.a>b,c>0

cb>a>09c<0D”，>0.c>0

5.應(yīng)用不等式的性質(zhì)解題的綜合題目

題目設(shè)℃<&a>0且"l,比較卜砌與?”的大小。

分析：待比較兩式帶有絕對值符號，因此應(yīng)設(shè)法去掉絕對值，才能便于作差或商的變形。

解法1：當(dāng)?>1時，由0<*<1知

fog<(l-x)<0togaa*x)>0

--憶。-力

v<I<l-x1<I

...34一型。,從而?y.(i■力>0

故除卜《.a+x)|

解法2：平方作差：

M.a-力f-卜唐《+力f

-O?g*0-0P-0?8<0**)P

-log.C-ara)log|^

<l+x

■71■(!

.(oe.a-x)f>M.a+x)f

故修?。-*)|＞陋.。+或

解法3：作商比較

卜8.。-可_S.QF

...■8?。+叫M.O+x)■(o8i*.0-^|

..0<?<1,

,kgb.(l-^<0

,8.aF,-、，1

故癡訴T—LFUK

T+MM(乙+T*-g占

由o<*〈i知i+*>i及R?

1081H匚/>°

評注：木例含有兩個變元冬x,乍一看必須要對武進(jìn)行分類討論，如解法1；然而再通過多角

度審視卻回避了討論，得到了巧妙的解法2與解法3。

作差法比較實數(shù)大小

例1比較/+3與3x的大小，其中xeR.

解：（，+3）-3x

=x-3x+3

=[X2-3X+(1)2]-(1)2+3

a

=(x-2)+2

24

3

>->0

4

：.X2+3>3X

例2比較x‘+l與/+/的大小，其中xeK

解：，+1)-(7+，)

642

=Ar-Ar-Ar+11

=(x2-l)(x4-1)

=(x-1)

當(dāng)矛=±1時，X6+1=x4+x2；

當(dāng)xT時，/+l>x4+x2

小結(jié)：(1)由例1可以看出實數(shù)比較大小的依據(jù)是：

①a-b〉O=a>b

②a-3=0Oa=8

③a-3<00a<3

(2)兩個實數(shù)比較大小，通常用作差法來進(jìn)行，其一般步驟是：

第一步：作差；

第二步：變形，常采用配方，因式分解等恒等變形手段；

第三步：定號，貴州省是能確定是大于0,還是等于0,還是小于0.

最后得結(jié)論.

概括為“三步，一結(jié)論”，這里的“變形”一步最為關(guān)鍵.

X1c

例3xeR,比較(x+1)(—+5+D與(x+5)(x2+x+1)的大小.

分析：直接作差需要將(x+l)(/+]+1)與(x+g)(r+x+l)展開，過程復(fù)雜,

式子冗長，可否考慮根據(jù)兩個式子特點，予以變形，再作差.

,.■(x+l)(x2+^+l)=(x+1)(x2+x+l)

=(x+l)(x2+x+l)-|(x+l)

1.1

(X+-)(x2+x+l)=(x+l--)(x20+X+1)

=(x+l)(x2+x+l)--i(x2+X+1)

???(x+l)(x2+|+l)-(x+1)(x2+x+l)

111

=-(x20+x+1)--x(x+l)=->0

則有xe氏時，(x+l)(，+]+1)>(x+；)(/+x+l)恒成立.

小結(jié)：有的確問題直接作差不容易判斷其符號，這時可根據(jù)兩式的特點考慮先變形,

到比較易于判斷符號時，再作差，予以比較，如此例就是先變形后，再作差.

例4設(shè)xeK,比較一!一與1-x的大小.

1+x

12

解：作差」-一(l-x)^---x-----

1+X1+X

1）當(dāng)x=0時，即----=0

1+x

------=1-X;

1+X

X

2）當(dāng)l+x〈O,即時，—<0

1+x

1+x

3）當(dāng)l+x>0但xwO,即-l<x<?；騲>0時，—>0

1+x

小結(jié)：如本題作差，變形，變形到最藺形式時，由于式中含有字母，不能定號，必須

時字母根據(jù)式子具體特點分類討論才能定號.此時要注意分類合理恰當(dāng).

作差法解其它問題

例1已知a>b,則不等式①/>力2,②③，.>1中不能成立的個數(shù)是:

aba-ba

A.0個B.1個C.2個D.3個

分析：要判定是否成立，應(yīng)先作差，然后進(jìn)行因式分解或通分.

但a+5的符號無法確定.

對于②，因工-1=之且8-a<0,

abab

但劭的符號無法確定。

對于③，因一--=————且

a-b(a-b)a

但以8的符號不確定°

對于③，因」--1=---且a-方>0

a-ba(a

但2的符號不確定.

a

所以這三個不等式都不能成立。

應(yīng)選Do

例2設(shè)實數(shù):巴瓦c滿足3+c=6-4?+3?①

c-b=4-4a+a2②

則以，瓦c的大小關(guān)系是0

解：:c一占=4-4?+以。=(以-2)220c>b

又3_]=[(&+c)_(c_8)1(一4

=1+以2-a

8>4,

clb>a.

小結(jié)：(1)在本題解答過程中，根據(jù)問題的特點運(yùn)用了小=；［9+c)-(c-力］這T

形技巧.

(2)由c2瓦3>a,...c2占》a,利用了不等式的傳遞性這一性質(zhì).

不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用

例1求證：a>i,->-=>a>0,Z><0.

ab

分析：把已知的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為差數(shù)的正負(fù)，再利用不等式的性質(zhì)完成推理。

證明：利用不等式的性質(zhì)，得

a>b=a-b>0

1、11-1<“0=—4一—<"0以

abbaab

a與3異號'

卜=儀>0,b<0.

a>b

例2若以>brc>d,則下面不等式中成立的一個是(

(A)a+d>b+c(B)ac>bd

(C)—>—(D)d-ac-b

cd

解：由不等式的性質(zhì)知：(A)、(B)、(C)成立的條件都不充分，所以選(D),其實(D)

正是異向不等式相減的結(jié)果。

以>3=<-b,

=d-a《c-b.

c>d=d

評注：例1與例2的解法都是不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用，對于不等式的基本性質(zhì)要逐條

掌握準(zhǔn)確，以便靈活應(yīng)用.

例3已知a>力>0,c<0.求證：->-

ab

證法1.（綜合法）.

1

—>011

ab以'一—

'/a>6>0=>,abab

azb

證法2.（比較法）.

'/a>b>0

h-a<0ab>0

又c<0

電一叭0

判斷選項

ab

從而，得：￡>￡.

ab

2x+12x+1

例4nGN,a>b,求證：a>b

證法1.（分類討論）.

①當(dāng)a>3>0則42*+1>匕2*+1

②當(dāng)a>占=0則。2*+1>0,2>2?+1=0a2a+l>》2x+l

③當(dāng)a乂且“0則&2*+1>0,2>2?+1<0。2*+1>匕2*+1

④當(dāng)0=a>b則a2n+l=0,2>2?+1<Q/.°2!?+1>匕2*+1

⑤當(dāng)0>a>2>則0V—a<-b

可得（-02*+1＜（一匕）2"+1

也就是一〃“+1＜一》2*+1

++

fl2?l>2?2?l.

綜上所述，由a＞瓦可得。2*+1＞匕2*+1（?eN）

證法2.2*+i-b2*+1=3—乃52*+白條-1+a-條二+匕條）

ba2b2+.：+ab

若4>5>