2024-2025學年第二學期高一年級期中學情調(diào)研測試數(shù)學試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數(shù)的零點是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出零點即可.【詳解】由，得，所以函數(shù)的零點是.故選：C2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，逆用差角的余弦公式求解.【詳解】.故選：C3.設(shè)，是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，已知，，，若，，三點共線，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理列方程，解方程即可.【詳解】由已知，，則，又，，三點共線，則與共線，，即，解得，故選：D.4.的值等于（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先利用二倍角公式化簡以及，再利用誘導公式化簡即可代入化簡.【詳解】，，因，則，則.故選：A.5.如圖，在中，在線段上，滿足，為線段上一點，且，則的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算直接化簡可得解.【詳解】由已知為線段上一點，設(shè)，，則，又，則，所以，則，解得，故選：D.6.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則使得有兩組解的a的值可以為（）A.10 B.8 C.5 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得到答案.【詳解】有兩組解，需滿足，即，，所以a的值可以為8，B正確，ACD錯誤.故選：B7.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理進行邊角互化，再結(jié)合余弦定理可得，根據(jù)基本不等式可得最值.【詳解】由已知，則在中，由正弦定理可得，則，即，又由余弦定理可知，所以，當且僅當，即時等號成立，又，所以，故選：A.8.在中，點D是邊的中點，且，若點P為平面內(nèi)一點，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合坐標表示運用向量加法法則將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，建系求解即可.【詳解】因為D為的中點，所以，所以不妨以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，因為，則，，設(shè)，則，所以，.即：的最小值為.故選：D.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列有關(guān)向量的說法，正確的有（）A.若是等邊三角形，則向量，的夾角為60°B.兩個非零向量，若，則與共線且反向C.若，，則可作為平面向量的一組基底D.已知非零向量，滿足，則A，B，C，D四點構(gòu)成一個梯形【答案】BC【解析】【分析】由向量夾角的定義可判斷A；左右同時平方可得即可判斷B；利用向量共線的坐標運算判斷C；由向量共線可得所在直線平行或共線可判斷D.【詳解】對于A，因是等邊三角形，則，由向量夾角的定義可知，，的夾角為120°，故A錯誤；對于B，，可得，即，即，則，因，則，則與共線且反向，故B正確；對于C，因，則與不共線，則可作為平面向量的一組基底，故C正確；對于D，由，則，則直線或四點共線，故D錯誤.故選：BC10.已知，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據(jù)題中關(guān)系式整理即可；對于B：根據(jù)兩角和差公式運算求解；對于C：根據(jù)象限角的符號性分析判斷；對于D：根據(jù)倍角公式結(jié)合齊次式問題運算求解.【詳解】對于選項A：因為，整理可得，即，故A正確；對于選項B：，故B正確；對于選項C：因為，則，可得，可知可能為第一、二、三，四象限，即的符號無法判斷，故C錯誤；對于選項D：因為，故D正確；故選：ABD.11.如圖，已知的內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，則（）A.四邊形ABCD的面積為B.該外接圓的半徑為C.過D作交BC于F點，則D【答案】BCD【解析】【分析】對于A：在中，利用余弦定理結(jié)合圓的性質(zhì)可得，進而可求得，，再利用面積公式運算求解；對于B：可知四邊形的外接圓為即為的外接圓，利用正弦定理求外接圓半徑；對于C：根據(jù)幾何性質(zhì)分析可得在方向上的投影向量為，進而可得結(jié)果.對于D：根據(jù)幾何性質(zhì)分析可得在方向上的投影向量為，進而可得結(jié)果；【詳解】對于A：連接，由題意可知，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，且，則，即，所以四邊形的面積，故A錯誤；對B：該四邊形的外接圓為即為的外接圓，設(shè)外接圓的半徑為，在中，由正弦定理可得，即，故B正確；對于C：由題意可得：，過作，垂足，則為的中點，可得，在方向上的投影向量即為，所以，故C正確；對于D：過作，垂足，則為的中點，可得，過作，垂足，可得，故，即在方向上的投影向量為，所以，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知向量，的夾角為45°，且，，則______.【答案】【解析】【分析】利用向量模運算法則，結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】因為向量，的夾角為45°，且，，所以.故答案為：.13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分析待求角與已知角的關(guān)系，利用誘導公式和二倍角公式直接求解即可.【詳解】，．故答案為：.14.在非鈍角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點P是的重心且，則角______；若，，則______.【答案】①.②.2【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得，即可得角A；根據(jù)重心可得，根據(jù)數(shù)量積運算律運算求解即可.【詳解】因為，則，整理可得，顯然，則，即，又因為，可得；因為點P是的重心，則，可得，即，整理可得，解得或（舍去）.故答案為：；2.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，其中，.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求，再利用二倍角的正切求的值.（2）結(jié)合，利用兩角差的正弦公式求值.【小問1詳解】，，.【小問2詳解】，，所以16.已知是同一平面內(nèi)的三個向量，其中.（1）若，且，求的坐標；（2）若，且與垂直，求在方向上的投影向量（用坐標表示）.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）法一：設(shè)，根據(jù)，求得，進而得到的坐標；法二：設(shè)，根據(jù)且，列出方程組，求得的值，得到的坐標；（2）由與垂直，得到，列出方程求得，結(jié)合投影向量的計算公式，即可求解.【小問1詳解】解：法一：因為，可設(shè)，因為，可得，解得，所以或.法二：設(shè)，因為且，可得，解得或，所以或.【小問2詳解】解：因為與垂直，可得，所以，可得，解得，所以向量在方向上的投影向量.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，，.（1）求線段AC的長度；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助面積公式可先求出，再借助余弦定理即可得解；（2）借助正弦定理可得，則可得，再利用正弦定理即可得.【小問1詳解】，，，，在中，由余弦定理得：，；【小問2詳解】在中，由正弦定理得：，，，，，在中，由正弦定理得：，，.18.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有相異兩解，.①求實數(shù)m的取值范圍；②當時，函數(shù)取最大值，設(shè)，求.【答案】（1）；（2）①；②【解析】分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換得到，根據(jù)最小正周期得到，從而得到函數(shù)解析式；（2）①轉(zhuǎn)化為與的圖象在區(qū)間上有兩個交點，求出，畫出在區(qū)間上的圖象，數(shù)形結(jié)合得到；②解法一：由對稱性可得，所以，則有，從而得到方程，平方求出，所以，由三角恒等變換得到；解法二：由對稱性可得，所以，由輔助角公式得到時，取最大值，則，由三角恒等變換得到.【小問1詳解】由題，因為的最小正周期為，且，所以，解得，所以；【小問2詳解】①由，即，關(guān)于x的方程在區(qū)間上有相異兩解，，也即函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有兩個交點，由，得，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出在區(qū)間上的圖象如圖，由圖可知，要使函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有兩個交點，則有，所以實數(shù)m的取值范圍.②解法一：由①和正弦函數(shù)的對稱性可知，與關(guān)于直線對稱，則有，所以，則有，即，也即，整理得，所以，故解法二：由①和正弦函數(shù)的對稱性可知，與關(guān)于直線對稱，則有，所以，，其中，則當，即時，取最大值，則，則有19.“費馬點”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內(nèi)角都小于時，費馬點與三角形三個頂點的連線構(gòu)成的三個角都為.已知點P為的費馬點，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）若，求的值；（3）若，，求實數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）6（3）【解析】【分析】（1）由正弦定理進行邊化角，用正弦的和差公式和輔助角公式化簡計算即可；（2）由余弦定理解得，再利用費馬點和三角形面積