第頁(yè)，共頁(yè)桓臺(tái)一中拓展部2025級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科階段性檢測(cè)2025.3一、單選題1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求解集合A，解對(duì)數(shù)函數(shù)不等式得集合B，然后利用補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算求解即可.【詳解】由得，解得.又，所以.由，得，所以，所以，所以.故選：.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分不必要的定義即可判斷.【詳解】由，得，則，從而.取，滿足，不滿足.故“”是“”的充分不必要條件.故選：.3.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)分析函數(shù)的圖像的特征，函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性的判斷來(lái)排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，再利用余弦值的正負(fù)來(lái)判斷一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)即可.【詳解】由，由于該函數(shù)定義域?yàn)?，所以可得是奇函?shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以C、D是錯(cuò)誤的；當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)有，故B是錯(cuò)誤的；所以A是正確的；故選：A.4.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，分別以點(diǎn)A，B為圓心，AF長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，則，，AB圍成的陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用圓半徑得到為等邊三角形得出，則陰影部分的面積用扇形與等邊三角形面積表示即可．【詳解】由題意知，線段的長(zhǎng)度都等于半徑，所以，為正三角形，則，故的面積為，扇形的面積為，由圖形的對(duì)稱性可知，扇形的面積與扇形的面積相等，所以陰影部分的面積.故選：A.5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角余弦公式即可求得答案.【詳解】由已知，得.故選：B.6.函數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)和可立即得到，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)有，即可得到函數(shù)的最小值是.【詳解】①一方面，顯然，，故.②另一方面，當(dāng)時(shí)，有.綜合①②兩方面，可知的最小值是.故選：C.7.設(shè)，函數(shù)若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】的對(duì)稱軸為，分類討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別作出函數(shù)的圖象，借助圖象判斷根的個(gè)數(shù)，或列出恰有三個(gè)根的條件即可求解.【詳解】由題意知，的對(duì)稱軸為，當(dāng)即時(shí)，的圖象如圖1，此時(shí)令，可得，觀察圖象可解得或，即方程有兩個(gè)根，則此時(shí)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)即時(shí)，的圖象如圖2，此時(shí)令，可得或，因?yàn)楹途鶠榈母?，所以要使函?shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)則需滿足只有一個(gè)根，且,當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，則，解得，故．綜上，的取值范圍為．故選：A.8.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先求出在上由小到大的第5與第6個(gè)零點(diǎn)，列不等式組可解得的范圍.【詳解】由，，得，，所以函數(shù)在上由小到大的第5個(gè)零點(diǎn)為，第6個(gè)零點(diǎn)為，由題知，，解得，故選：D二、多選題9.已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，則糖水變得更甜.對(duì)于，，下列不等式正確的有：A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，可以得到一個(gè)不等式，根據(jù)這個(gè)不等式所反應(yīng)的事實(shí)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由題意可知，可以得到不等式，若，，則有，因此選項(xiàng)A是正確的；由該不等式反應(yīng)的性質(zhì)可得：，因此選項(xiàng)C是正確的；對(duì)于選項(xiàng)B：假設(shè)成立，例如：當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故選項(xiàng)B不是正確的；對(duì)于選項(xiàng)D：假設(shè)成立，例如：當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故選項(xiàng)D不是正確的.故選：AC點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考查了數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力，屬于中檔題.10.已知函數(shù)．則下列說(shuō)法不正確的是（）A.若的最小正周期為，則B.當(dāng)時(shí)，的一個(gè)對(duì)稱中心是C.當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的有成立，則的最小值是D.當(dāng)，時(shí)，在上單調(diào)，則【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，由即可判斷；對(duì)于B，直接由代入檢驗(yàn)法即可判斷；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由題意，結(jié)合即可判斷；對(duì)于D，由正弦函數(shù)、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得，由此即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，解得，故A錯(cuò)誤，符合題意；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，故B錯(cuò)誤，符合題意；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的x有成立，則，即，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故C正確，符合題意；對(duì)于D，顯然，否則在不單調(diào)，所以時(shí)，函數(shù)，時(shí)，，而關(guān)于在上單調(diào)遞增，若在單調(diào)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，解得，結(jié)合可知，故D正確，故選：AB.11.已知函數(shù)的定義域是都有，且當(dāng)時(shí)，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.D.滿足不等式的的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，令得；B選項(xiàng)：由函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性；C選項(xiàng)，賦值得到；D選項(xiàng)，根據(jù)C選項(xiàng)，由求得，，變形得到，結(jié)合在定義域上單調(diào)遞增，得到不等式，求出解集.【詳解】A選項(xiàng)，令得，∴，A正確；B選項(xiàng)，任選，且，中，令，得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，所以，故，所以定義域上單調(diào)遞增，B正確；C選項(xiàng)，中，令得，故，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，中，令得，∵，∴，由于在定義域上單調(diào)遞增，故，解得，D正確.故選：ABD三、填空題12.用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算可知，說(shuō)明該函數(shù)在區(qū)間（8，12）存在零點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)下一次計(jì)算可知___________（填區(qū)間）.【答案】【解析】【分析】分別計(jì)算出的值，并判斷正負(fù)，再計(jì)算中點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得答案.【詳解】，而，則，故答案為：.13.若，且，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得出，條件利用基本不等式即得.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所以，即，解得?舍去)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.14.已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則的大小關(guān)系為_(kāi)_____．（用“”連接）【答案】.【解析】【分析】先根據(jù)條件得出的對(duì)稱軸，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由題意可知的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則在上單調(diào)遞減，又在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，即，所以，而，故，則.故答案為：四、解答題15.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解.【小問(wèn)1詳解】原式===.【小問(wèn)2詳解】原式=====.16.（1）已知是第四象限角.若，求的值；（2）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，且求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由平方和關(guān)系求出，再由誘導(dǎo)公式即可計(jì)算求解；（2）先由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)求出k，進(jìn)而求出，接著由平方和關(guān)系齊次化再弦化切即可計(jì)算求解.【詳解】（1）因?yàn)槭堑谒南笙藿牵?，所以，所?（2）由題可得由②可得：解得，因，所以則，故，代入①，可得：，即，解得，所以.故

的值為.17.某環(huán)保組織自2023年元旦開(kāi)始監(jiān)測(cè)某水域中水葫蘆生長(zhǎng)的面積變化情況并測(cè)得最初水葫蘆的生長(zhǎng)面積，此后每隔一個(gè)月（每月月底）測(cè)量一次，通過(guò)近一年的觀察發(fā)現(xiàn)，自2023年元旦起，水葫蘆在該水域里生長(zhǎng)的面積增加的速度越來(lái)越快.最初測(cè)得該水域中水葫蘆生長(zhǎng)的面積為（單位：），二月底測(cè)得水葫蘆的生長(zhǎng)面積為，三月底測(cè)得水葫蘆的生長(zhǎng)面積為，水葫蘆生長(zhǎng)的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇，一個(gè)是；另一個(gè)是，記2023年元旦最初測(cè)量時(shí)間的值為0.（1）請(qǐng)你判斷哪個(gè)函數(shù)模型更適合，說(shuō)明理由，并求出該函數(shù)模型的解析式；（2）該水域中水葫蘆生長(zhǎng)的面積在幾月起是元旦開(kāi)始研究時(shí)其生長(zhǎng)面積的240倍以上？（參考數(shù)據(jù)：）.【答案】（1）第一個(gè)函數(shù)模型滿足要求，理由見(jiàn)解析，（2）該水域中水葫蘆生長(zhǎng)的面積在7月份是元旦開(kāi)始研究時(shí)其生長(zhǎng)面積的240倍以上【解析】【分析】（1）由隨著的增大，的函數(shù)值增加得越來(lái)越快，而的函數(shù)值增加得越來(lái)越慢求解；（2）根據(jù)題意，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：兩個(gè)函數(shù)模型在上都是增函數(shù)，隨著的增大，的函數(shù)值增加得越來(lái)越快，而的函數(shù)值增加得越來(lái)越慢，在該水域中水葫蘆生長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，即隨著時(shí)間增加，該水域中水葫蘆生長(zhǎng)的面積增加得越來(lái)越快，第一個(gè)函數(shù)模型滿足要求，由題意知，，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】由，解得，又故，該水域中水葫蘆生長(zhǎng)的面積在7月份是元旦開(kāi)始研究時(shí)其生長(zhǎng)面積的240倍以上.18.已知函數(shù)的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是．（1）求函數(shù)的解析式并求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由正弦的二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)結(jié)合周期可求解析式，再由整體代入可求單調(diào)增區(qū)間；（2）由輔助角公式及余弦二倍角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】，由相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是，可知周期為，所以，所以，所以，由，可得：，取得：，取得：，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是；【小問(wèn)2詳解】由（1）：，可化為：，即，即，.19.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)．記方程在區(qū)間上的根從小到大依次為，求的值．【答案】（1），.（2）（3）68【解析】【分析】（1）結(jié)合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得解；（2）分離參數(shù)，結(jié)合二倍角公式和齊次式運(yùn)算，求對(duì)勾