試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages164164頁(yè)專題八填空壓軸題第15講幾何填空壓軸題（思維導(dǎo)圖+3考點(diǎn)+7種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u考點(diǎn)一、三角形背景的壓軸問(wèn)題題型01、三角形背景的壓軸問(wèn)題考點(diǎn)二、多邊形背景的壓軸問(wèn)題題型01、多邊形背景的綜合問(wèn)題題型02、平行四邊形背景的壓軸題題型03、矩形背景的壓軸題題型04、菱形背景的壓軸問(wèn)題題型05、正方形背景的壓軸題考點(diǎn)三、圓背景的壓軸題題型01、圓背景的壓軸題考點(diǎn)一、三角形背景的壓軸問(wèn)題題型01、三角形背景的壓軸問(wèn)題1．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，以線段為一邊并在其右側(cè)作等邊三角形，連結(jié)，則的最小值是．【答案】/【分析】根據(jù)正切定義得，解得，得，以為邊作等邊，連接，，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證明，得，當(dāng)時(shí)，可知的值最小，，，得四邊形是矩形，得，可得∴，得，得，故的最小值為．【詳解】解：∵在，∴，解得，∴，以為邊在上方作等邊，連接，，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，∵是等邊三角形，∴，∴，即，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，的值就最小，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主在考查了相似三角形．熟練掌握勾股定理，等邊三角形性質(zhì)，平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·期末）如圖，在中，，，，現(xiàn)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】1或2或【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊角度三角函數(shù)，根據(jù)得到，再以為邊構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)和在等邊三角形上找對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，沿翻折，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，，∵，，，∴，∴，∴，∴由翻折可得，，，∴是等邊三角形，∴，∵，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，∴，∴，∵現(xiàn)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，∴，，∴點(diǎn)分別與、、重合，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，故答案為：1或2或．3．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，以斜邊為邊，向上作等邊三角形，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理得出，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得，然后過(guò)點(diǎn)分別作，作的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，證明四邊形是矩形，然后設(shè)為，則，，在中，，在中，，則，則，整理得，解得，；在中，，故，故（舍去）；即可作答．【詳解】解：，，，∵是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)分別作，作的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，如圖所示：∵，∴四邊形是矩形，∴，，設(shè)為，則，，在中，在中，則∴，∴，整理得∴，解得，；當(dāng)時(shí)，則，∴；當(dāng)時(shí)，則∴；在中，，∴，故（舍去）；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，公式法解一元二次方程，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．（24-25九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，在等腰中，，是邊上一點(diǎn)，，連結(jié)，點(diǎn)在線段上，若，則的值為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，則，，所以，而，則，推導(dǎo)出，然后可證明，再證明，得，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．5．（24-25九年級(jí)下·浙江杭州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，則下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有．（只填序號(hào)）【答案】【分析】由，可得，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，結(jié)合，可得，利用可證得，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷結(jié)論；由現(xiàn)有條件無(wú)法證明，因而不一定成立，由此即可判斷結(jié)論；連接、，由三線合一及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得，，進(jìn)而可得，由三角形的內(nèi)角和定理可得，由對(duì)頂角相等可得，于是可得，利用可證得，由全等三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，由等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理可得，進(jìn)而可得，由此即可判斷結(jié)論；由勾股定理可得，進(jìn)而可得，由此即可判斷結(jié)論；綜上，即可得出所有正確的結(jié)論．【詳解】解：是直角三角形，，，，，，又，，在和中，，，，，故結(jié)論正確；由現(xiàn)有條件無(wú)法證明，不一定成立，故結(jié)論錯(cuò)誤；如圖，連接、，，，是的中點(diǎn)，，，，，且，，在和中，，，，，，，，，故結(jié)論正確；，，，，，故結(jié)論正確；綜上，正確的結(jié)論有：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三線合一，等邊對(duì)等角，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2025九年級(jí)下·浙江·學(xué)業(yè)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)變換到點(diǎn)，得到等腰直角三角形⑤；……依此規(guī)律，則第2021個(gè)等腰直角三角形的面積是．【答案】【分析】本題考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和面積，根據(jù)確定第1個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形①的面積，根據(jù)確定第2個(gè)等腰直角三角形（即等腰直角三角形②的面積，，同理，確定規(guī)律可得結(jié)論，確定各個(gè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．【詳解】解：點(diǎn)，第1個(gè)等腰直角三角形的面積，，第2個(gè)等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，第2個(gè)等腰直角三角形的面積，，，第3個(gè)等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，第3個(gè)等腰直角三角形的面積，則第2021個(gè)等腰直角三角形的面積是；故答案為：．7．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)G是的重心，連接，作，使與互補(bǔ)，交邊于點(diǎn)D，，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了重心的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握三角形重心的性質(zhì)，學(xué)會(huì)結(jié)合圖形添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作交于點(diǎn)H，利用三角形重心的性質(zhì)得出，再利用平行線的性質(zhì)得到和的長(zhǎng)，進(jìn)而推出，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到，代入數(shù)據(jù)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作交于點(diǎn)H，，，，點(diǎn)G是的重心，，，，，，，，與互補(bǔ)，，，又，，，，．故答案為：．8．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，和都是等邊三角形，，連結(jié)，，為直線，的交點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，的值是．【答案】/【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，同弧所對(duì)的圓周角相等，圓中最長(zhǎng)的弦相關(guān)問(wèn)題，解直角三角形，掌握了以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵；本題先證明，得出、、、四點(diǎn)共圓，進(jìn)而作的外接圓，當(dāng)為直徑時(shí)，取得最大值，即可求解．【詳解】解：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴、、、四點(diǎn)共圓，如圖：作的外接圓，當(dāng)為直徑時(shí)，取得最大值，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，故答案為：．9．（2024九年級(jí)下·浙江寧波·競(jìng)賽）在中，，，為邊上一點(diǎn)，．則的值為．【答案】【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形；作于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，在外作，則，作，，從而證明，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)及解直角三角形，可得出答案．【詳解】解：作于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，在外作，則，作，，則（角平分線的性質(zhì)），在和中，，，所以．又因?yàn)?，，所以，因此．故答案為：?0．（2024九年級(jí)上·浙江金華·競(jìng)賽），點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊，在上方構(gòu)造等邊三角形，連接．則面積的最大值是．【答案】【分析】如圖，延長(zhǎng)到E，使，連，過(guò)Q作交于點(diǎn)F，證出得出，然后利用勾股定理得出，用含的式子表示出面積，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【詳解】如圖，延長(zhǎng)到E，使，連，過(guò)Q作交于點(diǎn)F，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故答案為：．【點(diǎn)晴】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)，合理添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，中，于點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．首先過(guò)點(diǎn)作，使，連接、，利用勾股定理可求，利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等，可證，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)有最大值可求的最大值．【詳解】解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作，使，連接、，，，，，，又，，，，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)有最大值，．故答案為：．12．（24-25九年級(jí)上·浙江·期中）如圖，在中，的平分線相交于點(diǎn)的外角的平分線，交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)．若，且與相似，則的長(zhǎng)為．【答案】1或2或【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了三角形的內(nèi)心性質(zhì)和分類討論思想的運(yùn)用．先確定點(diǎn)為的內(nèi)心，則平分，，易得，利用三角形外角性質(zhì)得，所以，然后分類討論：當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出相等的對(duì)應(yīng)角得到，，，于是在中，則可計(jì)算出，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得；當(dāng)或時(shí)或時(shí)，利用同樣的方法可判斷為特殊的直角三角形，再利用特殊直角三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，、分別平分、，點(diǎn)為的內(nèi)心，平分，，是的外角的平分線，，，，當(dāng)時(shí)，，，，在中，，，；當(dāng)時(shí)，，，，在中，，，；當(dāng)時(shí)，，，，在中，；當(dāng)時(shí)，，，，在中，，；綜上所述，的長(zhǎng)為1或2或．故答案為：1或2或13．（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，比例關(guān)系，求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，等積法求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，證明，列出比例式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，證明，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．14．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)A在x軸上，，射線與x軸成，把繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度得，點(diǎn)M在射線上（端點(diǎn)除外），若在的三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)M構(gòu)成的三角形與相似，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】或【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則可得到，由相似可得這個(gè)三角形是等腰直角三角形，然后分和兩種情況，利用勾股定理分別計(jì)算長(zhǎng)即可解題．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，∵射線與x軸成，∴縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴，又∵在的三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)M構(gòu)成的三角形與相似，∴這個(gè)三角形是等腰直角三角形，當(dāng)時(shí)，如圖，則，∴，即，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，如圖，則，∵，，∴，∴即，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，故答案為：或．15．（2024·貴州遵義·三模）如圖，在中，平分，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交于，連接，易證，，從而得，，則，根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)得，進(jìn)而得，再證，從而得，，在中根據(jù)求得和，在中由勾股定理求得，則，然后根據(jù)列方程，據(jù)此可得的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交于，連接，如圖所示：則，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，平分，，，即為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一定理得：，，在中，，，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，，，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含的直角三角形的性質(zhì)等，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．（24-25九年級(jí)下·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，且滿足，連結(jié)．作的平分線分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F．若，則，．【答案】2【分析】過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用平行線截線段成比例定理和角平線可得到，設(shè)，則，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到，進(jìn)而求得，最后利用角平分線的性質(zhì)定理解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，，，，是的平分線，，，，，，設(shè)，則，，為的垂直平分線，，，，，，，，，，在和中，，，，，，是的平分線，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線截線段成比例定理，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2024九年級(jí)下·浙江金華·專題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，．（1）當(dāng)點(diǎn)D是的中點(diǎn)時(shí)，的最小值為；（2）當(dāng)，且點(diǎn)Q在直線上時(shí)，連接，則的值為．【答案】或【分析】本題考查勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理得到長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最小，計(jì)算即可；（2）現(xiàn)根據(jù)三角形的面積求出長(zhǎng)，然后利用勾勾股定理求出長(zhǎng)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，如圖所示，以為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交于點(diǎn)，則為最小值，，，，，是的中點(diǎn)，，，，故答案為：；；（2）如圖：，，，，，點(diǎn)、、在同一條直線上，由旋轉(zhuǎn)得：，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，，即，，，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，同理可得，綜上所述：的值為或，故答案為：或．18．（2024九年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）如圖，為一條寬為4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤與東岸的高度差為3米（即米），因?yàn)槭┕ば枰?，現(xiàn)準(zhǔn)備將東岸的泥沙通過(guò)滑軌送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已經(jīng)建好一座固定滑軌一端的鋼架，現(xiàn)準(zhǔn)備在東岸找一個(gè)點(diǎn)P作為另一端的固定點(diǎn)，已知吊籃的截面為直徑為1米的半圓（直徑米），繩子米，鋼架高度2.2米（米），距離防洪堤邊緣為0.5米（米）．（1）西岸邊緣點(diǎn)C與東岸邊緣點(diǎn)D之間的距離為米；（2）滑軌在運(yùn)送貨物時(shí)保持筆直，要想做到運(yùn)輸過(guò)程中吊籃一定不會(huì)碰到點(diǎn)C，則的長(zhǎng)度應(yīng)大于米．【答案】5【分析】（1）連接，利用勾股定理求解即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)K，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)O，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，從而求得吊籃的總長(zhǎng)度為，根據(jù)題意可得點(diǎn)C到滑軌的距離不小于1.7，再利用可得，設(shè)，根據(jù)比例關(guān)系即可求出．【詳解】解：（1）如圖所示，連接，由題意可知，則由勾股定理可得：，故答案為：5；（2）如圖所示，延長(zhǎng)交與點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)K，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)O，∵，∴是等腰三角形，∴，∴，∵滑軌在運(yùn)送貨物時(shí)保持筆直，要想做到運(yùn)輸過(guò)程中吊籃一定不會(huì)碰到點(diǎn)C，設(shè)切點(diǎn)為J，延長(zhǎng)交與點(diǎn)W．則，，，，即，∴，則至少為米，∵，∴，∴，設(shè)，則，，，，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形和求出吊盒的總長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二、多邊形背景的壓軸問(wèn)題題型01、多邊形背景的綜合問(wèn)題19．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，三個(gè)正六邊形如圖擺放，則＝．

【答案】【分析】本題考查了正多邊形的外接圓、銳角三角函數(shù)以及直角三角形的邊角關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)用正六邊形的邊長(zhǎng)，表示、，由勾股定理求出，再由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可，掌握正六邊形的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，則點(diǎn)為正六邊形的外接圓的圓心，為半徑正六邊形的一個(gè)中心角為所以正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑過(guò)作則可得由多邊形內(nèi)角和得設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，則即在直角中，，故答案為：．

20．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的邊與軸正半軸重合，頂點(diǎn)在軸正半軸上，，將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，那么經(jīng)過(guò)第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及它在坐標(biāo)系中的位置，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出旋轉(zhuǎn)次后頂點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，

在正六邊形中，，，∴，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第二次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第三次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．21．（22-23九年級(jí)下·浙江衢州·階段練習(xí)）拓展課上，同學(xué)們準(zhǔn)備用卡紙做一個(gè)底面為邊長(zhǎng)為的正六邊形，高為的無(wú)蓋包裝盒，它的表面展開(kāi)圖如圖1所示．（1）若選用長(zhǎng)方形卡紙按圖2方式剪出包裝盒的表面展開(kāi)圖，則的長(zhǎng)為；（2）若選用一塊等邊三角形卡紙按圖3方式剪出包裝盒表面展開(kāi)圖，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為．【答案】//【分析】（1）如圖所示，設(shè)正六邊形的圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作于N，交于M，連接，先證明四邊形是矩形，得到，求出，則可證明是等邊三角形，得到，，利用勾股定理求出，得到，則由對(duì)稱性可知；（2）如圖所示，設(shè)正六邊形的圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作于N，于M，由（1）可得，先得到，證明，得到，求得，同理可得，則．【詳解】解：（1）如圖所示，設(shè)正六邊形的圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作于N，交于M，連接，由題意得，四邊形是矩形，，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，由正六邊形的性質(zhì)可得，又∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴由對(duì)稱性可知，故答案為：；（2）如圖所示，設(shè)正六邊形的圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作于N，于M，由（1）可得，∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴，∴，∴，同理可得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型02、平行四邊形背景的壓軸題22．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊，，上，且，，，，若，，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，，證明，推出，斜邊上的中線得到，證明四邊形為平行四邊形，推出，，設(shè)，雙勾股定理列出方程求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，，∵平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴設(shè)，則：，∵，∴在中，，在中，，∴，∴，解得：，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，斜邊上的中線等知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造相似三角形和特殊圖形，是解題的關(guān)鍵．23．（21-22九年級(jí)·浙江·自主招生）如圖，在中，．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至．使得點(diǎn)落在對(duì)角線上，若此時(shí)B、E、D、F恰在同一條直線上，則C、G兩點(diǎn)間的距離為．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，連接，可證明是，是等腰三角形，證明求得的長(zhǎng)，證明，進(jìn)而得出、、共線，進(jìn)一步得出的長(zhǎng)．【詳解】如圖，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，，，，，四邊形是平行四邊形，∴，，，，，，，∴，，，，，，，，∵是等腰三角形，∴是等腰三角形，，點(diǎn)、、共線，，故答案為：．24．（21-22九年級(jí)·浙江杭州·自主招生）如圖，已知是圓O的直徑，，是圓O的切線，圓O與交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【分析】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及扇形面積公式，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．如圖：連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得，再根據(jù)中位線定理得，然后由切線的性質(zhì)及扇形面積公式、三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖：連接OF，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵是圓O的直徑，∴，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴F是的中點(diǎn)，∴，∵是圓O的切線，∴，∴，∵，∴．故答案為：．25．（2024·浙江寧波·二模）如圖，在中，平分交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)，若，，，則．【答案】【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等積法求線段長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，易得四邊形為平行四邊形，得到，平行加角平分線，得到，進(jìn)而得到，設(shè)，互余關(guān)系結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，推出，根據(jù)，得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，等積法求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，，，，∴，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則：，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：．26．（23-24九年級(jí)下·浙江寧波·期中）如圖，點(diǎn)B、C、E三點(diǎn)在同一條直線上，矩形矩形，點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接、、，由矩形的性質(zhì)和勾股定理求出，由矩形的性質(zhì)得出是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，證出是的中位線，由三角形中位線定理得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接、、，如圖所示：∵矩形≌矩形，∴，∴，與互相平分，與互相平分，∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵矩形矩形，∴矩形是矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，∴，∴是等腰直角三角形，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由三角形中位線定理求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．27．（2024·浙江·三模）如圖，在中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在和上，，將沿直線EF翻折，點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)G處，若則．【答案】【分析】本題考查平行四邊形與折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，連接,交于,交于，先證明，然后根據(jù)面積比等于相似比的平方得到，設(shè)，則，表示出，，再設(shè)，則，然后推導(dǎo)，則有，得到，代入求比值即可．【詳解】連接,交于,交于，∵由翻折得到，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，由翻折得，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．28．（2024·浙江溫州·一模）如圖1木工師傅將三塊不全等的平行四邊形木板拼成了一個(gè)鄰邊長(zhǎng)為5和12的大的平行四邊形木板，然后通過(guò)裁剪又拼成了一個(gè)不重疊，無(wú)縫隙的大正方形木板如(圖2)，數(shù)據(jù)如圖所示，記圖1中三個(gè)小平行四邊形的中心分別為A，B，C，點(diǎn)A，C的圖2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為連結(jié)和當(dāng)時(shí),MN的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)題意，得，,結(jié)合點(diǎn)B是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)C是對(duì)角線的中點(diǎn)，計(jì)算，正方形的面積等于平行四邊形的面積，得到，，設(shè)，則，則，，根據(jù)勾股定理，得，計(jì)算即可，本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，拼圖的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)題意，得，,則，∵點(diǎn)B是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)C是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則則，∵，∴,故點(diǎn)C到得距離等于點(diǎn)到得距離，為，設(shè)與的交點(diǎn)是Y，則，∵,故解得，故答案為：．29．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在矩形中，，點(diǎn)M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，N為的中點(diǎn)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段長(zhǎng)度的取值范圍是．

【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最值，把求的最值轉(zhuǎn)化為求的最值是關(guān)鍵；確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑；延長(zhǎng)到E，使，連接，交于點(diǎn)F、G；利用三角形中位線定理及圓的基本性質(zhì)即可求得線段長(zhǎng)度的取值范圍．【詳解】解：∵，∴在以B為圓心4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；∵四邊形為矩形，∴；延長(zhǎng)到E，使，連接，交于點(diǎn)F、G；∵N為的中點(diǎn)，∴；當(dāng)M與F重合時(shí)，最小，且最小值為長(zhǎng)；當(dāng)M與G重合時(shí)，最大，且最大值為長(zhǎng)；∵，，∴；∴，，∴的最小值為，的最大值為，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是．

故答案為：．30．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)分別是各邊的中點(diǎn)，，，，則四邊形的面積為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的面積，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先求出的面積，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推導(dǎo)出，同理推導(dǎo)，即可求解，掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，連接，∵，∴，∵，∴∴，∴，∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴，，∴，且相似比等于，∴，∴，∵，∴，同理可得，，∴，故答案為：．31．（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·期中）平行四邊形中，為對(duì)角線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交邊于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，若，，，，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，利用平行四邊形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，求得，，設(shè)，則，利用勾股定理求得，，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，求得，的關(guān)系式，求得，再利用相似三角形的性質(zhì)，得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，，，．，，，，，，，，，，，．故答案為：．32．（2023·浙江臺(tái)州·二模）如圖，四邊形為平行四邊形，，，，，延長(zhǎng)，，交，于點(diǎn)E，G，若，直線經(jīng)過(guò)中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為．

【答案】【分析】設(shè)直線分別交、于M、N，則，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)證得四邊形是矩形，進(jìn)而得到，，再證明和四邊形是平行四邊形得到，設(shè)，則，，，利用正切定義求得，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)直線分別交、于M、N，則N為的中點(diǎn)，即，

∵，，，，∴，，，，∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∴，，∴，∴，，∴，，又，∴四邊形是矩形，∴，，又，∴，，又，∴，∴，即，又，∴四邊形是平行四邊形，∴，則，∵，故設(shè)，則，，，由得，則，解得，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，本題有點(diǎn)難度，屬于填空題的壓軸題型．33．（2023·浙江寧波·一模）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，若，，將沿翻折得，連結(jié)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，恰好平分，則的長(zhǎng)為，的值為．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，根據(jù)，證明，求得，進(jìn)而勾股定理求得，，根據(jù)得出，進(jìn)而勾股定理求得，根據(jù)余弦的定義，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴∵將沿翻折得，∴，,，設(shè)∵恰好平分，∴∴，∵∴∴∴，又∵∴；如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，則，在中，∴解得：則，在中，∵∴∴∴在中，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，求余弦，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．34．（2024·浙江·一模）如圖，在中，D為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，將沿疊至．若的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，平分，，則的值為，的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】如圖所示，取中點(diǎn)H，連接，先證明是的中位線，得到，則，由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形中線平分三角形面積得到，則，即可得到；設(shè)，則，，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于T，證明，得到；再證明，得到，即，可得，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，取中點(diǎn)H，連接，∵D為斜邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∵D為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，即，∴；設(shè)，則，∴，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于T，∴，又∵，∴，∴；∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理與折疊問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，三角形中線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．35．（23-24九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，已知矩形，將矩形繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，連結(jié)．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為；（2）如圖②，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的最大值為．【答案】【分析】（1）連接、，根據(jù)勾股定理先求出對(duì)角線的長(zhǎng)，再利用旋轉(zhuǎn)得到，，再次利用勾股定理即可解題；（2）連接，交于點(diǎn)O，連接，，則，即點(diǎn)M在以為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦可知，當(dāng)為直徑時(shí)，即點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，最大，解題即可．【詳解】解：（1）連接、，∵是矩形，∴，又∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)可得，∴；故答案為：；

（2）連接，交于點(diǎn)O，連接，，∵是矩形，∴，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴點(diǎn)M在以為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦可知，當(dāng)為直徑時(shí)，即點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，最大，最大為：，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線，勾股定理，圓的性質(zhì)，掌握這些知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．36．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）在平行四邊形中（頂點(diǎn)A，B，C，D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，，，，，P是邊一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C，D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)，．①如圖1，若點(diǎn)落在射線上時(shí)，則．②若是以為直角時(shí)，則．【答案】或【分析】①求得，證明，得，設(shè)，證明，得，即可得解；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)與射線的交點(diǎn)為T(mén)，過(guò)C作于點(diǎn)H．，，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出，．設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①在中，，，，，在中，由勾股定理得：，如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，設(shè)，則，，，，，，，，即，解得：，，即的長(zhǎng)為；故答案為：；②點(diǎn)C、D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)、，，，，，，當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，設(shè)與射線的交點(diǎn)為T(mén)，過(guò)C作于點(diǎn)H．，，點(diǎn)C，D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)、，，，，，，，，，，，，，，．設(shè)，則，，，，，，，，解得：，，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．37．（2024·浙江·一模）已知四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)E是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，沿將翻折至（如圖1），所在的直線與交于點(diǎn)H．（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)（如圖2），則的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)取最大值時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】【分析】（1）如圖2所示，過(guò)D作的延長(zhǎng)線于，設(shè)，則，由折疊、平行四邊形可得，則，，可得，，，由勾股定理得，，即，計(jì)算求解即可；（2）由折疊、平行四邊形可得，則，由，可知當(dāng)最短時(shí)，最大，如圖所示，當(dāng)時(shí)，有最大值，由（1）可得之間的距離為，則，設(shè)，則，由折疊可得，由勾股定理得，，即，計(jì)算求解滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：如圖2所示，過(guò)D作的延長(zhǎng)線于，設(shè)，則，由折疊可得，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，由勾股定理得，，即，解得，故答案為：．（2）解：由折疊可得，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)最短時(shí)，最大，如圖所示，當(dāng)時(shí)，有最大值，由（1）可得之間的距離為，∴當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，由折疊可得，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理是解題的關(guān)鍵．題型03、矩形背景的壓軸題38．（24-25九年級(jí)下·浙江·階段練習(xí)）如圖，把一張矩形紙片沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，交于點(diǎn)．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，平分，則．【答案】/【分析】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可證，得到，設(shè)，，則，根據(jù)平行線分線段成比例得到，得到，能夠得到，根據(jù)勾股定理得，，能夠得到，先計(jì)算即可求得．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由折疊得，，，，平分，，在和中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，設(shè)，，則，在矩形中，，，，即，，即，，即，，在中，，在中，，，，即，化簡(jiǎn)得，解得（舍），，即，，即，故答案為：．39．（24-25九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)、以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)A時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，則的最大值為．【答案】【分析】連接交于點(diǎn)M，取中點(diǎn)，連接，證明，推出，即得到點(diǎn)M為定點(diǎn)，由，得到點(diǎn)G在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)G在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)重合時(shí)，有最大值，最大值為的長(zhǎng)，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，由勾股定理求出，在求出，由，求出，進(jìn)而求出，利用勾股定理即可求出，進(jìn)而得解．【詳解】解：連接交于點(diǎn)M，取中點(diǎn)，連接，∵四邊形是矩形，，∴，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即得到點(diǎn)M為定點(diǎn)，∵，∴，∴點(diǎn)G在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即點(diǎn)G在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)重合時(shí)，有最大值，最大值為的長(zhǎng)，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，如圖，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了兩動(dòng)點(diǎn)連線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題與圓中最值問(wèn)題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形，找到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．40．（2025九年級(jí)下·浙江·學(xué)業(yè)考試）如圖，在中，，在上有50個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)這50個(gè)點(diǎn)分別作的內(nèi)接矩形，每個(gè)內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)分別為，則．

【答案】200【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．首先過(guò)點(diǎn)A作于H，交于點(diǎn)M．由，可求得的長(zhǎng)，由勾股定理可求得的長(zhǎng)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形函數(shù)得到，又由四邊形是矩形，可得，則可求得的值，同理可求得，……，的值，繼而求得答案．【詳解】

解析：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，交于點(diǎn)M．，，，平分平分且垂直，為矩形，且，∴矩形的周長(zhǎng)．同理可求得其它的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)均為4，．41．（24-25九年級(jí)上·浙江湖州·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，以為直角邊向右作，使得，，連接，則長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，涉及矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，證明，設(shè)，根據(jù)相似三角形的相似比，用表示，并求得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理，用表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值，最后便可求得的最小值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，如圖所示：，，∵，，，，，設(shè)，則，∵，，，，，，∵，即拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，的最小值為，長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．42．（24-25九年級(jí)上·浙江·階段練習(xí)）在一次課題學(xué)習(xí)中，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，將正方形改編成矩形，如圖所示，由兩對(duì)全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．若，矩形與矩形的面積比為，則．【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的內(nèi)角關(guān)系，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．先利用矩形性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)判定，得出，設(shè)，，再分別表示出，，即可表示出和，利用矩形與矩形的面積比為，列式化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，，∴，∵，，且這四個(gè)三角形均為直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，，∴，，∵，∴，∴，∵在中，，∴，，∵矩形與矩形的面積比為，∴，化簡(jiǎn)得：，則（負(fù)值舍），即，故答案為：．43．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．記的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，則的值為．【答案】/【分析】證，得，過(guò)點(diǎn)作交于，則．先證，再證，過(guò)點(diǎn)作于，則，利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理解決問(wèn)題即可．【詳解】解：平分，，，，又，，，如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于，則．，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，．如圖2，過(guò)點(diǎn)作于，則，四邊形是矩形，，，，，，，，，又，，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．44．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得到，利用矩形的性質(zhì)得到，最后利用相似多邊形的性質(zhì)計(jì)算即可求解，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，∵四邊形是一張矩形紙片，∴，，由折疊的性質(zhì)得，，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，∴，解得，（不合，舍去），∴，故答案為：．45．（18-19九年級(jí)上·山東青島·單元測(cè)試）如圖，已知正方形紙片，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，將紙片沿翻折，點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)H，連接，，．交于點(diǎn)N，、、恰好交于一點(diǎn)M．若，，則線段的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】作于P，首先證明，，推出，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在中利用勾股定理求出a，再由，得，由，得，分別求出、即可解決問(wèn)題．【詳解】解：作于P，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，由翻折性質(zhì)可知，，∴，∵，，∴，又，∴，，∴，，∴，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在中，∵，∴，∴或（舍棄），∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．46．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊得，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，若，，，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，交交于點(diǎn)E，根據(jù)，，得，，根據(jù)四邊形是矩形得，，根據(jù)，以及勾股定理得，將沿折疊得得垂直平分，則，，根據(jù)得，可得，根據(jù)，得，，可得，即可得，則，計(jì)算得，在中，根據(jù)勾股定理得，即可得，掌握所考查的知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，交交于點(diǎn)E，∵，，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵將沿折疊得，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，故答案為：．47．（2025·浙江寧波·一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F在邊上，G為中點(diǎn)，連結(jié)分別與交于M，N兩點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及，可得，從而得到，然后連接，可得四邊形是菱形，從而得出平分，再證明，可得，最后證明，即可得解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴．如圖，連接，根據(jù)題意，得．∵，∴，∴四邊形是菱形，∴平分，∴，∴，∴，∴．設(shè)，∵，∴，∴，∴，即，解得（舍去）或，∴，∴．故答案為：4，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定，作出輔助線構(gòu)造全等（相似）三角形是解題的關(guān)鍵．48．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在矩形內(nèi)放置6個(gè)與正方形相同大小的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別落在上，則的值是，若點(diǎn)C，H，G在同一直線上，正方形的邊長(zhǎng)是1，則矩形的周長(zhǎng)是．【答案】/0.5/【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活利用相似三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．先利用矩形的性質(zhì)及已知條件證明、進(jìn)而得到，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求得的值；設(shè)，則、、，由可得，即；再證明可得，從而求得，然后求出、的長(zhǎng)度，最后根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式即可解答．【詳解】解：∵矩形，∴，∴∵，∴，∴，∴，同理：，∵，∴；設(shè)，則，，，∵，∴，解得：，∴∵，∴，∵∵，∴，即，解得：，∴，，∴矩形的周長(zhǎng)是．故答案為：，．49．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，在矩形中，，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，連接．若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的過(guò)程中，線段掃過(guò)的面積為，線段長(zhǎng)度的最小值為．【答案】/【分析】連接交于M，連接，取的中點(diǎn)O，連接，過(guò)點(diǎn)O作于N，易得四邊形為矩形，，推出和的長(zhǎng)，根據(jù)，得到當(dāng)O，H，D共線時(shí)，最??；再當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，則在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的過(guò)程中，線段掃過(guò)的面積為，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接交于M，連接，取的中點(diǎn)O，連接，過(guò)點(diǎn)O作于N，連接，則，∵矩形，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點(diǎn)，∴，，，，∴四邊形為矩形，，，∴，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，由于M和B點(diǎn)都是定點(diǎn)，所以其中點(diǎn)O也是定點(diǎn)，當(dāng)O，H，D共線時(shí)，此時(shí)最小，∴的最小值為；∵點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，∴在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的過(guò)程中，線段掃過(guò)的面積為，∴；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，斜邊上的中線．解題的關(guān)鍵是條件輔助線，構(gòu)造相似三角形和直角三角形，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到線段的最小值．50．（24-25九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊向右作等邊，連接．當(dāng)點(diǎn)落在邊BC上時(shí)，的度數(shù)為；當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，的度數(shù)為．【答案】【分析】當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，作出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可求出的度數(shù)；以為邊向右作等邊，連接．利用全等三角形的性質(zhì)證明，推出點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，設(shè)交于點(diǎn)，再證明是等腰直角三角形，可得結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖，是等邊三角形，，；以為邊向右作等邊，連接．是等邊三角形，，，，，在和中，，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，此時(shí)，，，，，，，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．51．（24-25九年級(jí)下·浙江杭州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在矩形中，，將矩形對(duì)折，得到折痕；沿著折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，與的交點(diǎn)為F；再沿著折疊，使得與重合，折痕為，此時(shí)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，則，．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理與折疊問(wèn)題、相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圖形證出合適的直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)得到，，利用角的和差以及平角的定義推出；利用矩形的性質(zhì)得到，，，，結(jié)合折疊的性質(zhì)證出四邊形、都是矩形，設(shè)，通過(guò)證明得到，再設(shè)，在中利用勾股定理建立方程，解出的值得到，即可解答．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得，，，，；矩形，，，，，，，，設(shè)，則，由折疊知，，又，，四邊形、都是矩形，，，，，即，，，，即，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，．故答案為：；．52．（24-25九年級(jí)上·浙江嘉興·階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．（1）當(dāng)時(shí)，求°；（2）當(dāng)時(shí)，能使與面積相等．【答案】或．【分析】（1）作于點(diǎn)，可證明，可得，，從而得到，即可求解；（2）點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，作于點(diǎn)，設(shè)，則，由（1）得，從而得到，，根據(jù)，求出m的值；點(diǎn)在矩形的外部，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可證明，設(shè)，則，可得，，根據(jù)，求出m的值，即可．【詳解】解：（1）如圖1，作于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，在和中，，，，，，，，，，故答案為：．（2）如圖2，點(diǎn)在矩形的內(nèi)部，作于點(diǎn)，，，設(shè)，則，由（1）得，，，，，，且，，解得，（不符合題意，舍去），；如圖3，點(diǎn)在矩形的外部，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，在和中，，，設(shè)，則，，，，，，且，，解得，（不符合題意，舍去），，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，能使與面積相等，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一元二次方程的解法，作適當(dāng)輔助線得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．53．（2024·浙江溫州·三模）在矩形中，，如圖1，將矩形沿折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，則折痕的長(zhǎng)為；如圖2，將矩形沿折疊．使得點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，得到四邊形，若則的長(zhǎng)為．【答案】//【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，折疊與軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是作出正確的輔助線．連接，過(guò)點(diǎn)E作，根據(jù)矩形的性質(zhì)及各角之間的等量代換得出，再由相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解；先證明，利用三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，利用勾股定理在中求出，在中求出與，在中求出，從而求得與的長(zhǎng)，證明，由此求出與的長(zhǎng)，從而得的長(zhǎng)，在中利用勾股定理求．【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)E作，∴，，∵矩形，∵矩形沿折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，，∴，∴，∴，，，；過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，．由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，，，，，，，，即，，解得．在中，．設(shè)，則，在中，，即，解得，，．在中，．．，，又，，，即，，，．在中，．故答案為：；．題型04、菱形背景的壓軸問(wèn)題54．（24-25九年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，直線分別與邊，交于點(diǎn)，，將沿翻折得，的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于點(diǎn)，已知，，則與的面積之比為．【答案】【分析】本題主考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積比的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由菱形性質(zhì)得，，，又和，設(shè)，，則，易求，再解可得，然后根據(jù)折疊可知，結(jié)合，建立方程求出，證，求出和，進(jìn)而求出，最后證，然后根據(jù)面積比等于相似比的平方即可得解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴設(shè)，，則，在中，，∴，如圖，過(guò)作于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，由折疊性質(zhì)可知：，∴，解得：，∴，，，由折疊性質(zhì)可知：，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴相似比為，∴與的面積之比為，故答案為：．55．（24-25九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在菱形的邊所在的直線上時(shí)，線段的長(zhǎng)為．【答案】或或【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于，在直線上，點(diǎn)右邊取一點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，由在菱形和垂直可得，得到四邊形為矩形，推出，，再旋轉(zhuǎn)可證明，得到，，再證明，得到，即可得到、、都在一條直線上，即點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，最后根據(jù)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在菱形的邊所在的直線上分情況討論，分別求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，在直線上，點(diǎn)右邊取一點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，∵在菱形中，，，∴，，∵，，∴，∴∥，，，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵點(diǎn)、、都在直線上，∴、、都在一條直線上，即點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，∵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在菱形的邊所在的直線上，∴當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在菱形的邊所在直線時(shí)，此時(shí)在處，在處，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在菱形的邊和所在直線時(shí)，此時(shí)在處，連接，則，，可得，由可得是等腰直角三角形，即在處，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在菱形的邊所在直線時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則，∵，，∴，∴，∴，∵中，，∴，，∴，解得，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在菱形的邊所在的直線上時(shí)，線段的長(zhǎng)為或或；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．56．（2024·浙江杭州·二模）如圖，在菱形中，過(guò)頂點(diǎn)作，，垂足分別為，，連結(jié)．若，的面積為1，則菱形的面積為．【答案】18【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得，則，設(shè)，再由平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而由銳角三角函數(shù)定義得，則，由三角形面積公式求出，然后由勾股定理求出，即可解決問(wèn)題，熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，四邊形是菱形，，，，在和中，，，，，即，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，故答案為：18．57．（2024·浙江·中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．線段與關(guān)于過(guò)點(diǎn)O的直線l對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，交于點(diǎn)E，則與四邊形的面積比為【答案】/【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．設(shè)，，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，連接，，直線l交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，得到點(diǎn)，D，O三點(diǎn)共線，，，，然后證明出，得到，然后證明出，得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵四邊形是菱形，∴設(shè)，∴，如圖所示，連接，，直線l交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，∵線段與關(guān)于過(guò)點(diǎn)O的直線l對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，∴，，∴∴點(diǎn)，D，O三點(diǎn)共線∴，∴∴∵∴由對(duì)稱可得，∴∴又∵∴∴∵∴又∵，∴∴∴．故答案為：．58．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，將菱形的邊翻折到，使C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，再將邊翻折到，使B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與的外心重合，連結(jié)．則與的面積比為．【答案】【分析】連接，則，由菱形性質(zhì)，則點(diǎn)A、在線段的垂直平分線上，即三點(diǎn)在同一直線上，即在菱形的對(duì)角線上，設(shè)交于點(diǎn)O，則，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a；易證，由相似三角形的性質(zhì)得，從而可求得，則與的面積比為，從而可求得比值．【詳解】解：如圖，連接，為的外心，，四邊形是菱形，，點(diǎn)A、在線段的垂直平分線上，即三點(diǎn)在同一直線上，在菱形的對(duì)角線上；設(shè)交于點(diǎn)O，菱形的邊長(zhǎng)為a；四邊形是菱形，，，，；，，，，；即，由已知得，，解得（負(fù)值已舍去），，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，解一元二次方程，外心的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明三點(diǎn)共線．59．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·期末）如圖，在菱形中，以對(duì)角線上一點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則半徑長(zhǎng)為；．【答案】8【分析】連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，由兩次勾股定理得，解得，設(shè)，則，則，由得到解得：，則半徑；由，得到，則，那么，而，則，則，由菱形的對(duì)稱性可知：，則，即可求解．【詳解】解：連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，解得：，設(shè)，則，則，∵，，∴，∴，∴解得：，∴半徑；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，由菱形的對(duì)稱性可知：，∴，∴，故答案為：8，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的概念，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．60．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，E是上一點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，使得點(diǎn)B落在上的點(diǎn)處，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，（1）若點(diǎn)E恰為中點(diǎn)，則的值為；（2）若，則的值為．【答案】【分析】（1）如圖，延長(zhǎng)、，交于，由折疊的性質(zhì)可得，，，由E為中點(diǎn)，可得，由菱形的性質(zhì)可得，，，則，，，證明，則，，證明，則，計(jì)算求解即可；（2）如圖，延長(zhǎng)、，交于，由折疊的性質(zhì)可得，，，，設(shè)，則，先證明，得到，則，證明，求出，則，再證明，得到；由，得到，則，可得，則，如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于G，則，則．【詳解】解：（1）如圖，延長(zhǎng)、，交于，

由折疊的性質(zhì)可得，，，∵E為中點(diǎn)，∴，由菱形的性質(zhì)可得，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，故答案為：；（2）如圖，延長(zhǎng)、，交于，

由折疊的性質(zhì)可得，，，，設(shè)，則，由菱形的性質(zhì)可得，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，即；∵，∴，∴，∴，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于G，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型05、正方形背景的壓軸題61．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）七巧板是中國(guó)古代人民創(chuàng)造的益智玩具，被譽(yù)為“東方魔板”．小明用一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形制作出如圖1的七巧板，再用這副七巧板拼出了如圖2的“靈蛇獻(xiàn)瑞”圖．過(guò)該圖形的三個(gè)頂點(diǎn)作圓，則這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)為．【答案】【分析】如圖，由題意易得，，④⑥⑤都為等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四邊形，然后根據(jù)拼圖前后可知，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，，，最后根據(jù)垂徑定理及勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖1，∵四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為4，∴，，∴，由圖可知：④⑥⑤都為等腰直角三角形，③是正方形，⑦是平行四邊形，∴，∴，，∴，設(shè)該圓的圓心為I，連接，延長(zhǎng)，交于一點(diǎn)J，與交于一點(diǎn)R，由拼圖可知：，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理可知：，在中，由勾股定理可知：，∴，解得：，∴，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、垂徑定理及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．62．（2025·浙江寧波·一模）已知正方形中，射線與邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作射線的垂線，垂足分別為．設(shè)，若，則的最小值為．【答案】【分析】本題是四邊形綜合題，考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的應(yīng)用，根據(jù)題意得出是解題的關(guān)鍵．連接，，根據(jù)三角形的面積公式得出，根據(jù)，推出，當(dāng)時(shí)，有最小值．【詳解】如圖，連接，，∵正方形的邊長(zhǎng)為1，由勾股定理得：∵和的邊上的高，，，當(dāng)時(shí)，有最小值，故答案為：．63．（24-25九年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折至，連結(jié)．若，則．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，可證明，則，，利用勾股定理求出，，進(jìn)而求出，，，，，，最后利用，得出，求得．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．正方形，，由折疊可知，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．64．（24-25九年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．連接，在上找一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到．，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，當(dāng)F，E，G三點(diǎn)共線時(shí)，．【答案】【分析】連接，過(guò)H作，交的延長(zhǎng)線于P，判定，得出，，根據(jù)，即可得到，，再設(shè)，則，根據(jù)，可得，根據(jù)，可得方程，即可得到，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)H作，交的延長(zhǎng)線于P，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則，，即是等腰直角三角形，又∵，，∴，∴，∴，，∵正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，∴，∴中，，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴中，，∵，，∴為等腰直角三角形，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，解得，∴，又∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，根據(jù)題意作出輔助線，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．65．（24-25九年級(jí)下·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，是邊上一點(diǎn)，．將沿翻折得，延長(zhǎng)、分別交于點(diǎn)、，過(guò)作交于點(diǎn)，則與的面積比為．【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求得，可得，再利用勾股定理求得，最后利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答，正確做出輔助線，利用勾股定理表示出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，四邊形為正方形，，在與中，，，，設(shè)，則,設(shè)，則，,在直角三角形中，，即，解得，，，，與的面積比為，故答案為：．66．（2025·浙江寧波·一模）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，P是中點(diǎn)，點(diǎn)F在上且滿足，延長(zhǎng)分別交于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接，過(guò)作于，交于，證明，求解，證明四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，可得，證明，設(shè)，則，求解，，求解，，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)作于，交于，∵正方形，∴四邊形，四邊形為矩形，，，，∴，，∵P是中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，設(shè)，則，∴，解得：，（舍去），∴，，∵，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；∵，，同理：，∴，∴，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，圓周角定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．67．（24-25九年級(jí)下·浙江溫州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，兩條互相垂直的線段，將正方形分割成①、②、③、④四塊，恰好拼成一個(gè)如圖所示的大正方形．連接，若圖1中的，，則圖中的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查銳角三角函數(shù)，正方形的性質(zhì)，全等三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，得，得到，，根據(jù)勾股定理，求出，根據(jù)，，得到，根據(jù)勾股定理，求出，再根據(jù)平移的性質(zhì)，可得，，，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，連接，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，得，推出，，最后根據(jù)勾股定理，即可．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由圖可得，正方形以為邊長(zhǎng)，且，，，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，連接，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．68．（24-25九年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，已知正方形，邊長(zhǎng)為4，正方形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，．連接，則線段的最小值為．【答案】/【分析】先得出動(dòng)點(diǎn)在的外接圓中的劣弧上，過(guò)圓心作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，設(shè)的優(yōu)弧上有一點(diǎn)，連接，再解直角三角形求出的長(zhǎng)，然后利用勾股定理可得的長(zhǎng)，最后根據(jù)即可得．【詳解】解：∵正方形，邊長(zhǎng)為4，∴，∵正方形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，，∴如圖，動(dòng)點(diǎn)在的外接圓中的劣弧上，過(guò)圓心作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，設(shè)的優(yōu)弧上有一點(diǎn)，連接，∴，∴，∵，∴，，∴，又∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，由三角形的三邊關(guān)系可知，（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立），∴線段的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．69．（2024九年級(jí)下·浙江寧波·競(jìng)賽）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別為邊，上一動(dòng)點(diǎn)，且連接，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，線段掃過(guò)的面積為．【答案】/【分析】取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，可證明，得，再證明，則，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作，則點(diǎn)、點(diǎn)都在上，可證明在上運(yùn)動(dòng)，則線段掃過(guò)的面積為所對(duì)的“弓形”的面積，求所對(duì)的“弓形”的面積即可．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，則，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，，，，在和中，，，，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，、分別為、的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在上，，，，，，，，，，，四邊形是正方形，，，，經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，即在上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作，，點(diǎn)、點(diǎn)都在上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，線段掃過(guò)的面積為所對(duì)的“弓形”的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線定理、平行線分線段成比例定理、扇形面積的計(jì)算、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題的求解等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．70．（24-25九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形紙片的四條邊上依次取點(diǎn)，，，，使，先沿著所在的直線折疊使點(diǎn)落在處，再沿垂直于的直線折疊，使點(diǎn)落在上，記作，折痕交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查正方形的折疊問(wèn)題，解答中涉及勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)和這一條件作為突破口，得到和，從而得出，再利用平行線，得到，得到線段的比，進(jìn)而求出，，根據(jù)即可求解，熟練掌握折疊和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，補(bǔ)上字母，四邊形是正方形，，，，，，，且，垂直平分，即，且，四邊形沿折疊，，，即，沿折疊得到，，，，，，，，又，．故答案為：．71．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖1是我校小杰同學(xué)設(shè)計(jì)的“溫”字圖案，圖2是他在設(shè)計(jì)圖案前所繪制的基本框架圖，其中是等腰三角形，，四邊形是正方形且點(diǎn)E在上，分別交于H，I．已知，C，D，F(xiàn)在同一直線上，則的值為．【答案】【分析】連接，，由正方形的性質(zhì)得，，則，，所以，再推導(dǎo)出，則，所以，由，得，可證明，由垂直平分，得，則，，即可求得，于是得到問(wèn)題的答案．【詳解】解：連接，，四邊形是正方形，，，，，，，，三點(diǎn)在同一直線上，，，，，，，，，，垂直平分，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．72．（24-25九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，把正方形的對(duì)角線繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到，以為一邊作正方形，過(guò)，作直線，過(guò)作，垂足為，連接，則的值是．【答案】【分析】過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，又四邊形是正方形，可得，，通過(guò)同角的余角相等得，即可證明，根據(jù)性質(zhì)得，過(guò)作交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，再證明，則，由勾股定理得出，最后代