第一次月考數(shù)學(xué)壓軸題（3月份）（考查范圍：第16?17章）

【人教版】

＞題型梳理

【類型一選擇壓軸題】

【題型1二次根式的化簡(jiǎn)求值】

【題型2勾股定理】

【題型3勾股定理的逆定理】

【題型4勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用】

【類型二填空壓軸題】

【題型5根據(jù)二次根式性質(zhì)求值】

【題型6利用勾股定理解決面積問題】

【題型7利用勾股定理解決翻折問題】

【題型8判斷能否構(gòu)成直角三角形】

【題型9勾股定理的應(yīng)用】

【類型三解答壓軸題】

【題型10利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】

【題型11利用勾股定理在網(wǎng)格中作圖】

【題型12勾股定理的應(yīng)用】

【題型13復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)求值】

A舉一反三

【類型一選擇壓軸題】

【題型1二次根式的化簡(jiǎn)求值】

【例1】（24-25八年級(jí)?遼寧沈陽(yáng)?期中）

1

643

1.已知x=~/I貝|Jx-2d2023x5-x+x-2J2024/+2x-J2024的值為()

V2024-V2023

A.0B.1C.V2023D.V2024

【變式1—1］（24—25八年級(jí)?浙江嘉興?開學(xué)考試）

2.化簡(jiǎn)，3-2收-，3+2后的結(jié)果是（）

試卷第1頁(yè)，共20頁(yè)

A.V2B.-V2C.2D.-2

【變式1一2］（24-25八年級(jí)?重慶北倍?期中）

3.已知旬=6,將旬的整數(shù)部分加上小的小數(shù)部分的倒數(shù)得到可,再將q的整數(shù)部分加上

q的小數(shù)部分的倒數(shù)得到出，以此類推可得到的，的，……，如G的整數(shù)部分為1，

1二1+與

小數(shù)部分為G-1,所以％=1+.根據(jù)以上信息,下列說法正確的有（)

V3-1

①名=號(hào)"②。2022的小數(shù)部分為當(dāng)L③%0一；Q

111_47

(%—"M%-(%-g)(〃6-6)(%8-6)(〃100-石)450'⑤

%+%+%+..+。40=1230+306.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式1—3］（24—25八年級(jí)?江蘇南通?期中）

4.已知正實(shí)數(shù)機(jī)，n滿足2加+如2加"+〃=2,則面的最大值為（）

A.-B.—C.—D.-

3333

【題型2勾股定理】

【例2】（24—25八年級(jí)?河北石家莊?期末）

4P

5.如圖，△zee的角平分線NR8E相交于點(diǎn)尸，^AB=AC=\3,BC=\0,則卡的值為

PF

（）

【變式2一1］（24-25八年級(jí)?浙江寧波?期末）

6.如圖，A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)順次在直線/上，AC=a,BD=b.以/C為底向下作等腰直

試卷第2頁(yè)，共20頁(yè)

角三角形NCE,以8。為底向上作等腰三角形2D尸，S.FB=FD=yBD.連接NF,Z）E,

6

當(dāng)5c的長(zhǎng)度變化時(shí)，尸與ACOE的面積之差保持不變，則。與6需滿足（）

A.u=—bB.a——bC.a=—bD.°=sfzb

【變式2—2]（24-25八年級(jí)?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）

7.如圖，△NBC中，44c2=90。，BC=6,NC=8,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，將A/CZ）沿CD

翻折得到AECD,連接BE,則線段BE的長(zhǎng)等于（）

【變式2一3]（24-25八年級(jí)?廣東深圳?期末）

8.如圖，在等腰△48C中，AB=AC=5,BC=6,。是△/BC外一點(diǎn)，。到三邊的垂線

段分別為。。，OE,OF,且OD:OE:OF=1:4:4,則/。的長(zhǎng)度為（）

【題型3勾股定理的逆定理】

【例3】（24-25八年級(jí)?安徽蚌埠?期中）

9.如圖是用三塊正方形紙片設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案，其中三塊正方形圍成的三角形是直

角三角形.現(xiàn)有若干塊正方形紙片，面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊（可重復(fù)選

?。┌磮D的方式組成圖案，則下列選取中，圍成的直角三角形面積最大的是（）

試卷第3頁(yè)，共20頁(yè)

A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4

【變式3—1］（24—25八年級(jí)?安徽合肥?期中）

10.如圖已知△4BC中，AB=5cm,BC=26cm,8c邊上的中線ZD=12cm,則△48C的

面積為（）cm2.

【變式3—2］（24—25八年級(jí)?山東德州?期中）

11.如圖，將三邊長(zhǎng)分別為3,4,5的△/8C沿最長(zhǎng)邊翻轉(zhuǎn)180。成則CG的長(zhǎng)等于

()

【變式3—31（2024八年級(jí)?浙江杭州?專題練習(xí)）

12.（2019白馬湖期中考）如圖，已知在A48C中，AC=6,5C=8,/B=10,/D平分NC43,

則△ABD的面積為（）

試卷第4頁(yè)，共20頁(yè)

A.14B.15C.16D.—

2

【題型4勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用】

【例4】（24-25八年級(jí)?全國(guó)?課后作業(yè)）

13.某航空公司經(jīng)營(yíng)中有A、B、C、D這四個(gè)城市之間的客運(yùn)業(yè)務(wù).它的部分機(jī)票價(jià)格如

下：A-B為2000元；A-C為1600元；A-D為2500元；B-C為1200元；C-D為900

元.現(xiàn)在已知這家公司所規(guī)定的機(jī)票價(jià)格與往返城市間的直線距離成正比，則B-D的機(jī)票

價(jià)格（）

A.1400元B.1500元C.1600元D.1700元

【變式4一1］（24—25八年級(jí)?云南昆明?期中）

14.如圖，教室墻面/DEF與地面48CD垂直，點(diǎn)尸在墻面上，若=米，A8=2米,

點(diǎn)P到4尸的距離是4米，一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)3,它的最短行程是（）米

A.722B.V23C.5D.426

【變式4—2］（24-25八年級(jí)?全國(guó)?課后作業(yè)）

15.如圖，已知圓柱的底面直徑2C=g,高48=3,小蟲在圓柱側(cè)面爬行，從C點(diǎn)爬到A

71

點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路程的平方為（）

A.18B.48C.120D.72

【變式4—3］（24—25八年級(jí)?廣東梅州?期中）

16.如題圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為3cm、高為12cm的長(zhǎng)方體紙箱的/點(diǎn)沿紙箱表面

試卷第5頁(yè)，共20頁(yè)

爬到3點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是（）

B

12

A4

A.13cmB.V241cmC.Vi93cmD.19cm

【類型二填空壓軸題】

【題型5根據(jù)二次根式性質(zhì)求值】

【例5】（24—25八年級(jí)?四川內(nèi)江?期中）

17.實(shí)數(shù)X、八z滿足條件6+Jz-2=；（x+y+z+9）,則中—的值是.

【變式5一1］（24—25八年級(jí)?浙江寧波?開學(xué)考試）

18.已知實(shí)數(shù)x,了滿足（x-J/—2018）卜一，/-2018）=2018,貝1］/+/的值為.

【變式5—2］（24—25八年級(jí)?重慶九龍坡?期中）

19.若加是正整數(shù)，切除以13的余數(shù)為2,則稱加是“阿二數(shù)例如：15是正整數(shù)，

15+13=1……2,則15是“阿二數(shù)”；52是正整數(shù)，且52+13=4,則52不是“阿二數(shù)”,對(duì)于

任意四位正整數(shù)?，。的千位數(shù)字為。，百位數(shù)字為6,十位數(shù)字為c,個(gè)位數(shù)字為d.有

一個(gè)四位正整數(shù)夕是“阿二數(shù)”，P的千位數(shù)字比百位數(shù)字少1,十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和為9,

且尸（。）=、用亙?yōu)橛欣頂?shù)，則滿足條件的。的值為____________.

\2a+b

【變式5一3］（24—25八年級(jí)?浙江寧波?期末）

20.已知正實(shí)數(shù)。，b,c滿足°+6+c=6,則+］&++32++50的最小值

為.

【題型6利用勾股定理解決面積問題】

【例6】（24-25八年級(jí)?安徽蕪湖?期末）

21.如圖，48=1,以為斜邊作直角△48C,以△48C的各邊為邊分別向外作正方形,

EMLKH于■M,GN1KH千N,則圖中陰影面積和的最大值為.

試卷第6頁(yè)，共20頁(yè)

F

D

【變式6一1］（24-25八年級(jí)?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試）

22.如圖，在ZU3C中，N4cB=90°,點(diǎn)、D、E分別在NC、2c上，且連接

【變式6—2］（24—25八年級(jí)?江蘇鹽城?期中）

23.如圖，在A/8C中，NC=90。，8c=16cm,AC=12cm,點(diǎn)￡是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P

從/點(diǎn)出發(fā)以每秒1cm的速度沿/一。-5運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是/秒，那么當(dāng)

t=__________________,AAPE的面積等于12.

【變式6—3］（24-25八年級(jí)?江蘇常州?期中）

24.如圖，在Rt“8C中，ZBAC=90°,分別以48、3C、/C為邊向上作正方形，已

知Rtv/BC的面積為6,則圖中陰影部分面積之和是.

試卷第7頁(yè)，共20頁(yè)

【題型7利用勾股定理解決翻折問題】

［例7］（24-25八年級(jí)?廣東深圳?期中）

25.如圖，長(zhǎng)方形A8C。中：AB=CD=8,40=8C=5.點(diǎn)E為射線48上的一動(dòng)點(diǎn)，將

△NDE沿。E折疊，得到AHOE（點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4）并連接//、A'B,當(dāng)△4/2為等

腰三角形，/￡的長(zhǎng)是.

【變式7一11（24-25?浙江寧波?八年級(jí)期末）

26.如圖，在△/8C中，4408=90。，AC=6,5C=8,。是N8的中點(diǎn)，點(diǎn)、E,尸分別

在邊/C,3c上，AE=\,將ABDF分別沿DE,。尸翻折使得/與4重合，B

與"重合，若A'E〃B'F,則aF=.

【變式7—2］（24—25?遼寧鐵嶺?二模）

27.如圖，在RtZk48C中，ZC=90°,44=30。，8c=2,點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是斜

邊N8上一動(dòng)點(diǎn)，沿。E所在直線把a(bǔ)/OE翻折到AHOE的位置，AD交于點(diǎn)F,若

尸為直角三角形，則NE的長(zhǎng)為.

試卷第8頁(yè)，共20頁(yè)

【變式7一3］（24-25八年級(jí)?廣東?專題練習(xí)）

28.如圖，將長(zhǎng)方形紙片N2C。沿折疊，使點(diǎn)/落在BC邊上點(diǎn)H處，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

D',連接4。交邊。于點(diǎn)￡,連接C。，若4B=9,4D=6,H點(diǎn)為5c的中點(diǎn)，則線段

ED'的長(zhǎng)為.

【題型8判斷能否構(gòu)成直角三角形】

［例8］（24—25?河南鄭州?八年級(jí)期末）

29.如圖，在RtA48C中，乙4c8=90。，AC=8,BC=6,點(diǎn)P是邊NC上一動(dòng)點(diǎn)，把A1SP

沿直線2尸折疊，使得點(diǎn)/落在圖中點(diǎn)⑷處，當(dāng)A4HC是直角三角形時(shí)，則線段C尸的長(zhǎng)

【變式8—1］（24—25八年級(jí)?全國(guó)?課后作業(yè)）

30.在A48C中，若/+〃=25,/一/=7,c=5,則最長(zhǎng)邊上的高為.

【變式8一2］（24—25八年級(jí)?湖北十堰?期末）

31.如圖，△NBC中，AB=2.5cm,AC=6cm,BC=6.5cm,Z4BC與//C2的角平分

線相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作垂足為。，則線段尸。的長(zhǎng)度為cm.

試卷第9頁(yè)，共20頁(yè)

A

【變式8一3]（24-25八年級(jí)?吉林白城?階段練習(xí)）

32.如圖，在等腰直角ZUBC的斜邊N8上任取兩點(diǎn)/,N,使/MCN=45。，記

AM=m,MN=n,BN=k,則以m,n,k為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是.

【題型9勾股定理的應(yīng)用】

[例9]（24-25八年級(jí)?江蘇無(wú)錫?期中）

33.愛動(dòng)腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時(shí)遇到下面的問題：己知，如圖一個(gè)棱長(zhǎng)為8cm

無(wú)蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體

盒子外壁/處，然后遙控甲蟲從4處出發(fā)沿外壁面正方形N38爬行，爬到邊8上后再

在邊CD上爬行3cm,最后在沿內(nèi)壁面正方形48CD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁8C的中點(diǎn)

甲蟲所走的最短路程是cm

【變式9—1]（24-25八年級(jí)?山東濱州?階段練習(xí)）

34.如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從/點(diǎn)繞到正上方8點(diǎn)共四圈，己知易拉

罐底面周長(zhǎng)是12cm,高是20cm,那么所需彩帶最短的是.

試卷第10頁(yè)，共20頁(yè)

B

-Y

【變式9一2］（24-25八年級(jí)?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）

35.如圖，在一個(gè)長(zhǎng)2米，寬1米的長(zhǎng)方形草地上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱和草地

寬4D平行且棱長(zhǎng)大于40,木塊從正面看是邊長(zhǎng)為0.2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)N處到

達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是米.

【變式9—3］（24—25八年級(jí)?陜西咸陽(yáng)?期中）

36.如圖，有一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為24dm、4dm、2dm,點(diǎn)A和點(diǎn)B

是這個(gè)三級(jí)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)8處去吃可口的食物，則螞

蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為.

A24

B

【類型三解答壓軸題】

【題型10利用勾股定理證明線段平方關(guān)系】

【例10］（24—25八年級(jí)?浙江紹興?期中）

37.如圖1,四邊形是正方形，E,尸分別在邊8c和CD上，且NE/尸=45。，我們把

這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法.小明為了解

決線段跖，BE,。尸之間的關(guān)系，將E繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后解決了這個(gè)問題.

試卷第11頁(yè)，共20頁(yè)

A

⑵如圖3,等腰直角三角形4RD,NB4D=90°,AB=AD,點(diǎn)、E,歹在邊8D上，且

ZEAF=45°,請(qǐng)寫出斯，BE,。尸之間的關(guān)系，并說明理由.

【變式10-11(24-25八年級(jí)?江蘇揚(yáng)州?期中)

38.在△4BC中，AB=AC,。是8C的中點(diǎn)，以NC為腰向外作等腰直角,

/E/C=90。，連接BE,交AD于點(diǎn)/，交/C于點(diǎn)G.

(1)若N8/C=50。，求44班的度數(shù)；

(2)求證：NAEB=NACF；

⑶求證：EF2+BF-=2AC2.

【變式10-2](24—25八年級(jí)?福建福州?期末)

39.如圖，△/C2和AEC。都是等腰直角三角形，CA=CB=6,CE=CD,△/(比的頂點(diǎn)

A在AECD的斜邊。￡上，連接80.

C

(1)求證：AECA咨ADCB；

(2)探究/￡、AD、N8的數(shù)量關(guān)系，并證明;

試卷第12頁(yè)，共20頁(yè)

(3)若/EM。=1:3,求兩個(gè)三角形重疊部分的面積.

【變式10-3](24—25八年級(jí)?河南鄭州?期中)

40.在△/8C和△/￡>￡中，點(diǎn)。在8c邊上，ZBAC=ZDAE=a,AB=AC,AD=AE.

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，連接EC,寫出。8,DC,之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

⑵如圖2,當(dāng)&=60。時(shí)，過點(diǎn)A作DK的垂線并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)尸,若BC=10,50=2,

求線段CF的長(zhǎng).

【題型11利用勾股定理在網(wǎng)格中作圖】

【例11](24-25八年級(jí)?江蘇鹽城?期中)

41.方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，我們把頂點(diǎn)都

是格點(diǎn)的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”.

圖1圖2

(1)在圖1中.點(diǎn)/、8都是格點(diǎn)，則48的長(zhǎng)度是；

(2)在圖1中，找出一個(gè)格點(diǎn)C,請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺畫一個(gè)以為腰的等腰△/BC；

(3)在圖2中，△ABC是格點(diǎn)三角形，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺找出一個(gè)格點(diǎn)。，使2。平分N/8C

不寫畫法，保留畫圖痕跡)

【變式11—1](24-25八年級(jí)?廣東佛山?期中)

42.小明對(duì)數(shù)學(xué)課上老師給出的一道思考題“在方格紙上畫一個(gè)面積為3的三角形”產(chǎn)生了濃

烈的興趣，課后他想進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)，請(qǐng)你與他一起來完成.(注：方格紙中每個(gè)小方格的

邊長(zhǎng)為1)

試卷第13頁(yè)，共20頁(yè)

【思考嘗試】（1）如圖（1）,線段的長(zhǎng)為6,請(qǐng)以42為一邊,畫出一個(gè)面積為3的鈍

角三角形，并直接寫出它的另外兩邊長(zhǎng)分別為（三角形的頂點(diǎn)均為

格點(diǎn)）

【實(shí)踐探究】（2）如圖（2）①，小明截取出方格紙的局部，你能剪一剪，并把它們拼成一

個(gè)無(wú)重疊無(wú)縫隙的正方形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D（2）①中畫出剪切線，在圖（2）②中畫出拼成的正

方形，并計(jì)算它的邊長(zhǎng).

【拓展遷移】（3）如圖（3）,邊長(zhǎng)分別為6的兩個(gè)正方形/BCD和BEFG擺放到一起，剪

一剪，并把它們拼成一個(gè)無(wú)重疊無(wú)縫隙的大正方形，請(qǐng)你在圖（3）中畫出裁剪線，并畫出

拼成的大正方形.

【變式11-2]（24-25八年級(jí)?湖北恩施?期中）

43.如圖是由小正方形組成的7x6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)

（1）如圖1中，點(diǎn)P是線段22上一點(diǎn)，先畫出△4BC的高BN；再在8C上畫出一點(diǎn)E,使

BE=BP.

（2）如圖2中，先在邊/C上畫出一點(diǎn)。，使N/8Q=45。；再在△ABC內(nèi)畫出一點(diǎn)。，使

OA=OB=OC.

【變式11—3]（2024?浙江寧波?一模）

44.如圖，在8x4的正方形網(wǎng)格中，按△N2C的形狀要求，分別找出格點(diǎn)C,且使BC=5,

試卷第14頁(yè)，共20頁(yè)

并且直接寫出對(duì)應(yīng)三角形的面積.

【題型12勾股定理的應(yīng)用】

【例12](24—25八年級(jí)?陜西西安?階段練習(xí))

45.2023年7月五號(hào)臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國(guó)很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響，據(jù)報(bào)道，這是今

年以來對(duì)我國(guó)影響最大的臺(tái)風(fēng)，風(fēng)力影響半徑250km(即以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，250km為半

徑的圓形區(qū)域都會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響)，如圖，線段8c是臺(tái)風(fēng)中心從C市向西北方向移動(dòng)到3市

的大致路線，/是某個(gè)大型農(nóng)場(chǎng)，且若C之間相距300km,A,8之間相距

400km.

北

(1)判斷農(nóng)場(chǎng)N是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，請(qǐng)說明理由.

(2)若臺(tái)風(fēng)影響該農(nóng)場(chǎng)持續(xù)時(shí)間為5.6h,則臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度是多少？

【變式12-1](24-25八年級(jí)?江西景德鎮(zhèn)?期中)

46.如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為12,圓柱的高為8,在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)C嵌有一

圈長(zhǎng)度最短的金屬絲.

圖②

(1)現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是

試卷第15頁(yè)，共20頁(yè)

ABC

(2)如圖①，求該長(zhǎng)度最短的金屬絲的長(zhǎng).

(3)如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)3繞四圈到達(dá)點(diǎn)工,則所需金屬絲最短長(zhǎng)度是多少？

【變式12-2](24—25八年級(jí)?廣東佛山?期中)

47.綜合與實(shí)踐

【問題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別

為5、3、1,A和8是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn).

【探究實(shí)踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到3點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿

圖①

(1)同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開成平面圖形，連接

經(jīng)過計(jì)算得到長(zhǎng)度即為最短路程，則43=_；(直接寫出答案)

圖②

【變式探究】

(2)如圖③，一只圓柱體玻璃杯，若該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是48厘米，高是7厘米，一只螞

蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)3,求該螞蟻爬行的最短路程是多少厘米？

試卷第16頁(yè)，共20頁(yè)

圖③

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖④，若圓柱體玻璃杯的高10厘米，底面周長(zhǎng)為24厘米，在杯內(nèi)壁離杯底2厘米的

點(diǎn)A處有一滴蜂蜜.此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿1厘米，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)8處,

則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不計(jì)）

圖④

【變式12-3]（24-25八年級(jí)?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）

48.背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們對(duì)它的證明門庭

若市，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的

證法.

小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為。、6、c.顯然，

ZDAB=ZB=90°,ACIDE.請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形/BCD、四邊形4EC。、AEBC

的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：

V二

Q四邊形ZECD—:

則它們滿足的關(guān)系式為,經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理02+〃=，.

試卷第17頁(yè)，共20頁(yè)

知識(shí)運(yùn)用：

（1）如圖2,鐵路上/、3兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、。為兩個(gè)村莊（看

作兩個(gè)點(diǎn)），ADJ.AB,BC1AB,垂足分別為/、B,/。=25千米，3C=16千米，則兩

個(gè)村莊的距離為千米（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若A8=40千米，/。=24千米，BC=16千米，要在N2上建造一

個(gè)供應(yīng)站尸，使得PC=PD,求出/P的距離.

知識(shí)遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式4^+J（16-x?+81的最小值

（0<x<16）.

【題型13復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)求值】

【例13]（24—25八年級(jí)?山西臨汾?期末）

49.閱讀下列解題過程：

1右-4）布3m石

V5+V4（^+74）（75-V4）（百）2_

11x（后-⑹娓-小杷

娓+泥（娓+#X娓一⑹（娓一（可7

請(qǐng)回答下列問題：

（1）觀察上面的解答過程，請(qǐng)寫出/：/=_______；

Vtt+1+y/l1

（2）利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：

11111

--------1------------1-----------p...~?--------------------1--------------------

1+V2V2+V3V3+V?72019+V2020V2020+V2021

（3）疵-而和加-舊的值哪個(gè)較大，請(qǐng)說明理由.

【變式13—1]（24-25八年級(jí)?福建三明?期中）

50.先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學(xué)在研究化簡(jiǎn)g+4g中發(fā)現(xiàn):首先把

,7+46化為g+2疝，由于4+3=7,4x3=12,即：（V?）2+（73）2=7,

V?x也=-\/1-2，所以

77+473=，7+2m=7（V4）2+2V4^3+（V3）2=（&"+后=2+6，

問題：

試卷第18頁(yè)，共20頁(yè)

（1）填空：“+2君=，，5-2&=

（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：形如J加土26的化簡(jiǎn),只要我們找到兩個(gè)正數(shù)。，b（a>b）,使

a+b=m,?b=",BP(4a)2+(4b)2=m,4axy/b=4n，那么便有：J〃z±2冊(cè)=

（3）化簡(jiǎn)：石二B（請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過程）

【變式13-2]（24-25八年級(jí)?廣西南寧?階段練習(xí)）

51.觀察下列各式:

1,

加+「@i)(G)；

11x(73-72)

=6-0；

,s/3+V2^3+V2—V2j

11x(74-73)

=V?-A/3.

V?+V3^\[A+y/3^^/4—y/3^

回答下列問題：

1

TTT——;

(2)當(dāng)“為正整數(shù)時(shí)，廠______；

7n+7n-1

(3)計(jì)算1+—+I-1L+L1L+…+I—1]—+I——1/——"的值.

1+V2V2+V3V3+V4798+799799+V100

【變式13一3](24-25八年級(jí)?湖南岳陽(yáng)?期末)

52.閱讀下列材料，然后回答問題.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其心一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們

的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已矢口4+6=2,。6=—3,求/+/我們可以把和

ab看成是一個(gè)整體，令x=a+b,y=,貝(|/+〃=(a+6y-2ab=x2-2y=4+6=10這樣,

我們不用求出a,b,就可以得到最后的結(jié)果.

道+血V3-V2_

⑴計(jì)算：耳F京面

，6V3+V2-

?1=(一卡后皿+l—yjm,J加+1+J根口、、4

(2)加是正整數(shù)，a=———=,b=-=~尸，且2a~+1955仍+26-=2023,求加.

y/m+1+y/1myjrm+l—y/m

試卷第19頁(yè)，共20頁(yè)

(3)己知415+X2-V19-x2=2，求715+X2+y/19-x2的值.

試卷第20頁(yè)，共20頁(yè)

1.c

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值、分母有理化等知識(shí)點(diǎn)，逐步把

x=V2024+V2023代入所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值是解題的關(guān)鍵.

先利用分母有理化對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，再依次代入所求的式子進(jìn)行運(yùn)算即可.

1

【詳解】解:

V2024-72023

1________J2024+J2023________

=72024+72023

V2024-72023(J2024-,2023)(J2024+12023)

???x6-2V2023x5-x4+x3-2A/2024X2+2x-J2024

=(V2024+V2023-272023)x5-+d—2j2024l+2x-j2024

432

=(j2024-j2023卜5_x+x-2V2024x+2x-72024

=(V2024-V2023)(72024+V2023)x4-x4+x3-2A/2024X2+2x-V2024

=x4-X4+x3-2V2024X2+2X-V2024

=/一2J2024/+2x-J2024

=(V2024+V2023-272024)x2+2x-V2024

=(J2023-J2024卜?+2x-J2024

=(J2023—J2024)(J2024+12023卜+2x-12024

=—x+2x—J2024

=x-j2024

=J2024+J2023-J2024

=J2023.

故選：C.

2.D

【分析】先將根號(hào)內(nèi)整理為(1-血y和(l+&)2,再化簡(jiǎn)，并計(jì)算即可.

【詳解】原式='1一2后+2-J1+2亞+2='(1一⑹，一&1+用=V2-l-(l+V2)=-2.

答案第1頁(yè)，共57頁(yè)

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)，理解3±20=（1土血/是解題的關(guān)鍵.

3.B

【分析】根據(jù)定義找到。”的規(guī)律，再逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：由題意得，%=1+7二=1+@±1=叵二，它的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分

V3-122

為心匚；

2

?2=2+^-=2+73+1=73+3,它的整數(shù)部分為4,小數(shù)部分為6-1；

%=4+7二=4+且以=色y,它的整數(shù)部分為5,小數(shù)部分為1二1；

V3-1222

%=5+媼［=5+石+1=6+6,它的整數(shù)部分為7,小數(shù)部分為G-1；

生=7+7二=7+避'=避上空，它的整數(shù)部分為8,小數(shù)部分為避二

V3-1222

0=8+￡^=8+百+1=有+9,它的整數(shù)部分為10,小數(shù)部分為6一1；

???〃為奇數(shù)時(shí)，為="±也，它的整數(shù)部分為2+3x-1="，小數(shù)部分為由二1；

〃為偶數(shù)時(shí)，冊(cè)=6幣,它的整數(shù)部分為4+3x—=2等，小數(shù)部分為百—1；

.?.①例=卓8,正確；

②出022的小數(shù)部分為G-1，錯(cuò)誤；

③?（）-〃i9=G+3。-=3+’,正確；

111

=-----+------+H------------

3x66x949x3x50x3

(^)%+出+“3+.............+。40

答案第2頁(yè)，共57頁(yè)

=(q+%+…+/9)+(42+%…+%0)

H----F+2——++3+A/3+6—I-V3+60)

=(1073+600)+(20A/3+630)=304+1230,正確；

綜上所述，正確的是①③⑤，共3個(gè)；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字類規(guī)律探究、估算無(wú)理數(shù)的大小，二次根式的混合運(yùn)算，通過計(jì)

算找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，完全平方公式，平方的非負(fù)性.根據(jù)二次根式的性質(zhì)將

2m+<2nm+n=2變形為+12mn+(〃")=2,配方得到-6)=2-3y12mn,

根據(jù)(技?一五『20得至!J2—3疝石20,進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：?.加〃均為正實(shí)數(shù)，

2m+yjlmn+n=2可化為(，2加)+N2mn+(6)=2,

???(42加)-2yl2nm+(6)=2-3d2mn,

即Z2m->/nj=2-3y12mn,

???(、2加一分)>0,

???2-3」2mn>0，

???y/mn<，

3

??.Jmn的最大值為.

3

故選：B

5.A

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)

AB=AC=13,BC=10,4b平分/A4C,利用勾股定理求出/尸，如圖，過點(diǎn)尸作PD_L45

交45于點(diǎn)。，證明尸(HL),得到5。=5產(chǎn)=5,=—8。=8,設(shè)尸。=%,

答案第3頁(yè)，共57頁(yè)

則/P=12-X,利用勾股定理求出NP，P。，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：,??/3=/C=13,2C=10,4F平分/B4C,

/.ZBAF=ZCAF,AF1BC,BF=CF=^BC=5,

ZAFB=90°,

AF=ylAB2-BF2=12，

如圖，過點(diǎn)尸作交N8于點(diǎn)

???△4BC的角平分線/相交于點(diǎn)尸，PDA.AB,AF1BC,

BP=BP,

RtABPD絲RtASPF(HL),

.：BD=BF=5,AD=AB-BD=S,

設(shè)尸D=x,貝|J/P=12-X,

在RtA/。尸中，AP2=AD2+DP2,

.-.(12-x)2=82+X2,

解得：x=g

—《mg

26

一

/尸3

13

一

7-一

尸10T

3一

故選：A.

6.A

【分析】過點(diǎn)后作應(yīng)以，4。于點(diǎn)〃，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)N,先根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)可得=BN』D=[利用勾股定理可得尸N=：6,再利用三角形的面

積公式可得/與ACDE的面積之差，然后根據(jù)“當(dāng)8C的長(zhǎng)度變化時(shí)，尸與ACZ)E的

答案第4頁(yè)，共57頁(yè)

面積之差保持不變”建立等式，化簡(jiǎn)即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)￡作瓦/。于點(diǎn)河，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)N,

/是等腰直角三角形，且NC=a

:.EM=-AC=-,

22

尸是等腰三角形，且AD=6,

:.BN=-BD=~,

22

FB=FD=-BD=-b,

66

_________r\

FN=yjFB2-BN2=-b,

3

：.^ABF與KDE的面積之差為48-LEMCD

22

=1x|ft(71C-JBC)-|x^(BJD-JBC)

=^b(a-BC)-^(b-BC)

1??當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，A4BF與ACDE的面積之差保持不變,

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.D

【分析】延長(zhǎng)8交NE于點(diǎn)b,作C下1/8,垂足為尸.首先證明。C垂直平分線段/E,

△/8E是直角三角形，求出/E的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理即可解決問題.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)。交/￡于點(diǎn)”，作CF1/8,垂足為尸.

答案第5頁(yè)，共57頁(yè)

c

E

在RtZk/BC中，BC=6,AC=8,

AB=y]AC2+BC2=V82+62=10?

?.?。為48的中點(diǎn)，

.-.AD=BD=DC=-AB^5.

2

?.-S.,?r=-ACBC=-ABCF,

-x6x8=-xl0xCF,

22

24

解得C尸=彳.

由翻折的性質(zhì)可知ZC=C￡,AD=DE,

CHA.AE,

AH=HE.

vDC=AD,S^ADC=^AD-CF=^DC-AH,

24

:.HE=CF=-.

48

/.AE=2HE=-.

根據(jù)折疊的性質(zhì)有：AD=DE,

AD=DE=BDf

/.ZDAE=ZDEA,ZDBE=ZDEB,

XZDAE+ZDBE+ZAEB=180°,AAEB=ADEA+ADEB,

?./AEB=90°,

為直角三角形.

BE=yjAB2-AE2=卜=y.

故選：D.

答案第6頁(yè)，共57頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)利用面積法求高，屬于中考?？碱}型.

8.D

【分析】連接CM,OB,OC,由OD:OE:OF=1:4:4,設(shè)=OE=4x,OE=4x,

證明RM/ObgRtA/OE,得到/。為NA4c的角平分線，再根據(jù)N8=/C,得到

AO±BC,根據(jù)三線合一及勾股定理求出/0=4,再根據(jù)$AJBC=S4/BO+S/vico一S^BCO，得

到方程求解即可.

【詳解】解：連接CM,OB,OC,如圖,

由OD:OE:OF=1:4:4,設(shè)OD=x,0E=4x,0E=4x,

■:OE=OF,ABVOF,ACVOE,AO=AO,

RL4O尸等RM/OE,即ZOAF=ZOAE,

為/歷IC的角平分線，

又?：AB=AC,

AOBC,

為△N2C的中線，

???BCLOD,

.??A、D、。三點(diǎn)共線，

：.BD=CD=-BC=3,

2

在RtZ\45。中，AD=ylAB2-BD2=752-32=4，

^^ABC~S/XABO+S叢ACOS叢BCO

12=10x+10x-3x,

12

x=一

17

答案第7頁(yè)，共57頁(yè)

.-.AO=AD+DO=4+—=—,

1717

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟知等腰三角形的三線合一、角平分線的判

定及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】根據(jù)題意可知，三塊正方形的面積中，兩個(gè)較小的面積之和等于最大的面積，圍成

的三角形是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積，分別計(jì)算出幾個(gè)較大的正方形紙片圍成的直

角三角形的面積，比較大小，即可解答本題.

【詳解】解：,??五種正方形紙片，面積分別是1,2,3,4,5,

??.五種正方形紙片的邊長(zhǎng)分別是1,0,百，“，邪,

由題意可得，三角形各邊的平方是對(duì)應(yīng)的各個(gè)正方形的面積，

當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是1,4,5時(shí)，1+4=5,圍成的三角形是直角三角形，面積

是一xlx4=1,

2

當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5時(shí)，2+3=5,圍成的三角形是直角三角形，面積

M—x>/2x^3=;

22

當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3,4,5時(shí)，圍成的三角形不是直角三角形；

當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2,2,4時(shí)，2+2=4,圍成的三角形是直角三角形，面積

是Lv5x友=1,

2

2

???所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2,3,5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理

解答.

10.C

【分析】根據(jù)中線，得到BD=13cm,再根據(jù)勾股定理的逆定理，得到是直角三角形,

2

進(jìn)而得到SJBO=30cm,再根據(jù)三角形中線得到SA3=以麗=30而，即可求出"BC的面積.

【詳解】解：是5c邊上的中線，

為8C中點(diǎn)，

答案第8頁(yè)，共57頁(yè)

,/BC=26cm,

:.BD=CD=-BC=Ucm,

2

.-.5￡>2=169cm2,

AB=5cm,AD=12cm,

AB2+AD2=25cm2+l44cm2=169cm2,

BD2=AB2+AD2,

:.ZBAD=90°,

2

SABD=g/B-AD=；x5xl2=30cm,

?.?。為8c中點(diǎn)，

S8Alic=S8ABD=30cm*,

,,S^ABC=^HABD+S&ADC=60CHI,

故選c.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題

關(guān)鍵.

11.D

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理判斷△/SC是直角三角形，根據(jù)翻轉(zhuǎn)得出43垂直平分CG，

根據(jù)三角形面