第一章集合與常用邏輯用語、不等式第5節(jié)一元二次函數(shù)、方程和不等式第二課時(shí)一元二次方程、不等式INNOVATIVEDESIGN1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù),了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

2.了解一元二次不等式的意義.

3.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)對點(diǎn)精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.一元二次不等式

只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式,稱為一元二次不等式.2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集__________________ax2+bx+c<0(a>0)的解集____________________

R{x|x1<x<x2}??3.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba=ba>b(x-a)·(x-b)>0{x|x<a,或x>b}______________________(x-a)·(x-b)<0{x|a<x<b}________________{x|x≠a}{x|x<b,或x>a}?{x|b<x<a}

常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

×√××

2.(人教A必修一P53練習(xí)T1改編)不等式-2x2+x≤-3的解集為

.

-33.(北師大必修一P41T1改編)若不等式x2+ax+b>0的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞),則a+b=

.

解析

由題意可得-a=-1+2,b=(-1)×2,即a=-1,b=-2,故a+b=-3.(-3,0)

考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一三個(gè)二次之間的關(guān)系

ACD

思維建模1.一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn),也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.2.給出一元二次不等式的解集,相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點(diǎn),可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).ABD

考點(diǎn)二不等式的解法ABD

思維建模對含參的不等式,應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論,常見的分類有:(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).(3)有兩個(gè)根時(shí),有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.

D

考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題

ACD

C角度3

給定參數(shù)范圍的恒成立例5

(2024·杭州調(diào)研)若不等式x2+px>4x+p-3,當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立,則x的取值范圍是(

) A.[-1,3]

B.(-∞,-1] C.[3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

解析

不等式x2+px>4x+p-3,可化為(x-1)p+x2-4x+3>0,

由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4),

令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4),D

思維建模恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下,求誰的范圍,誰就是參數(shù).(2)一元二次不等式在R上恒成立,可用判別式Δ,一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立,不能用判別式Δ,一般分離參數(shù)求最值或分類討論.訓(xùn)練3

已知關(guān)于x的不等式2x-1>m(x2-1).(1)是否存在實(shí)數(shù)m,使不等式對任意x∈R恒成立,并說明理由;解

原不等式等價(jià)于mx2-2x+(1-m)<0,當(dāng)m=0時(shí),-2x+1<0不恒成立;當(dāng)m≠0時(shí),若不等式對于任意實(shí)數(shù)x恒成立,則需m<0且Δ=4-4m(1-m)<0,無解,所以不存在實(shí)數(shù)m,使不等式恒成立.

課時(shí)對點(diǎn)精練3KESHIDUIDIANJINGLIAN

A

C3.若不等式(a-2)x2+4(a-2)x-12<0的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A.{a|-1≤a<2} B.{a|-1<a≤2} C.{a|-1<a<2} D.{a|-1≤a≤2}

解析

當(dāng)a=2時(shí),原不等式為-12<0,滿足解集為R;

當(dāng)a≠2時(shí),根據(jù)題意得a-2<0,且Δ=16(a-2)2-4(a-2)×(-12)<0,解得-1<a<2.

綜上,-1<a≤2,故a的取值范圍為{a|-1<a≤2}.B

A

B

6.(2025·恩施調(diào)研)已知關(guān)于x的不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

) A.[-3,-2)∪[4,5) B.(-3,-2]∪(4,5] C.(-3,-2]∪[4,5)

D.[-3,-2)∪(4,5]

解析

不等式x2-(a+1)x+a<0,可化為(x-a)(x-1)<0,

當(dāng)a=1時(shí),不等式x2-(a+1)x+a<0的解集為空集,不符合題意;

當(dāng)a>1時(shí),不等式x2-(a+1)x+a<0的解集為(1,a),

要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三個(gè)整數(shù)解,則4<a≤5;

當(dāng)a<1時(shí),不等式x2-(a+1)x+a<0的解集(a,1),

要使不等式x2-(a+1)x+a<0恰有三個(gè)整數(shù)解,則-3≤a<-2,

綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,-2)∪(4,5].D

A

A

CD

對于D,由題意得q,1是一元二次方程2x2+px-3=0的兩根,

ACD

11.(2025·淮南聯(lián)考)若存在m,n(m<n-1),使得0≤x2+ax+b≤c-x的解集為{x|m≤x≤m+1或x=n},則下列結(jié)論正確的是(

) A.x2+ax+b≥0的解集為{x|x≤m+1或x≥n} B.x2+ax+b≤c-x的解集為{x|m+1≤x≤n} C.c=-n D.a2+2a>4b-4cAD

13.一般地,把b-a稱為區(qū)間(a,b)的“長度”.已知關(guān)于x的不等式x2-kx+2k<0有實(shí)數(shù)解,且解集區(qū)間長度不超過3個(gè)單位,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

.

[-1,0)∪(8,9]

14.(2025·青島質(zhì)檢)若關(guān)于x的不等式0≤ax2+