第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用第12節(jié)函數(shù)與導數(shù)中的融合創(chuàng)新問題INNOVATIVEDESIGN高考中函數(shù)與導數(shù)的新定義壓軸題主要涉及以下幾個方面:1.定義新函數(shù).

2.定義函數(shù)的相關點、直線.

3.與帕德逼近、洛必達法則、泰勒公式、柯西中值定理(含羅爾中值定理)、微積分、微分幾何等高等數(shù)學知識相關聯(lián).目

錄CONTENTS課時對點精練題型一

定義新函數(shù)

解

由題意知f(x)的定義域(0,+∞),

(2)若函數(shù)f(x)只有一個零點,求實數(shù)m的取值范圍.

要保證f(x)只有一個零點,只需要當0<x<1時,f(x)=-4x3+mx-1沒有零點,

得0<m<3;④當m≤0時,當x∈(0,+∞)時,g(x)=-4x3+mx-1<0,此時f(x)只有一個零點x=1,綜上,f(x)只有一個零點時,m的取值范圍為(-∞,3)∪(5,+∞).

(2)對于函數(shù)y=f(x),x∈[a,b],存在常數(shù)k,對任意的x1,x2∈[a,b],有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|恒成立,求證:函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]為“絕對差有界函數(shù)”;

題型二

定義函數(shù)的相關點、線或性質

(2)若D=R,f(x)=ex,M(1,0),請判斷是否存在一個點P,它是M的“f最近點”,且直線MP與曲線y=f(x)在點P處的切線垂直.解

因為函數(shù)f(x)=ex,M(1,0),所以s(x)=(x-1)2+e2x,則s′(x)=2(x-1)+2e2x.記m(x)=s′(x)=2(x-1)+2e2x,則m′(x)=2+4e2x>0,所以m(x)在R上嚴格單調遞增.因為m(0)=s′(0)=0,所以當x<0時,m(x)=s′(x)<0;

令h(k)=k+e2k-1,易知h(k)有R上嚴格單調遞增,又h(0)=0,所以方程k+e2k-1=0有唯一解k=0,所以點P(0,1).綜上,存在滿足條件的一個點P(0,1). (3)若D=R,已知y=f(x)是可導的,y=g(x)的定義域為R且函數(shù)值恒為正,t∈R,

M1(t-1,f(t)-g(t)),M2(t+1,f(t)+g(t)).若對于任意t∈R,都存在曲線y=f(x)上的一點P,使得P既是M1的“f最近點”,又是M2的“f最近點”,試判斷y=f(x)的單調性.

特別地,當x=t時,

法二先證明一個結論:對于M(a,b),設P(x0,f(x0))為M的“f最近點”,曲線y=f(x)在點P處的切線為l,則MP⊥l.證明:因為s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2,所以s′(x)=2x-2a+2f′(x)(f(x)-b),所以當s(x)在x=x0處取得最小值時,s′(x0)=0,即x0-a+f′(x0)(f(x0)-b)=0,

題型三

與高等數(shù)學知識有關的新定義問題

(1)求實數(shù)a,b的值;(2)設h(x)=f(x)-R(x),證明:xh(x)≥0;

圖3

解

如圖1,圖1

所以由題意可知圍成的面積

所以切點坐標為(1,1),切線方程為y=2x-1.

證明

兩條拋物線的大致圖象及位置如圖2.圖2

由對稱性可知,兩條拋物線圍成