專題35圓中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型

圓在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模

型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動點為背景，與最值

相結(jié)合，綜合性較強，解析難度較大，學生難以找到問題的切入點，不能合理構造輔助圓來求解。實際上，

這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對其中的動點軌跡加以剖析，借助圓

的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考壓軸題的熱點和難點，既可以與最值結(jié)合考查，也可以

與軌跡長結(jié)合考查，綜合性較強、難度較大。

模型1.米勒最大張角（視角）模型

【模型解讀】已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當C在何處時，

∠ACB最大？對米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。

米勒定理：已知點AB是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的一動點，則當且僅當三角形ABC

的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大。

【模型證明】如圖1，設C’是邊OM上不同于點C的任意一點，連結(jié)A，B，因為∠AC’B是圓外角，∠ACB

是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

在三角形AC’D中，ADB=AC’D+DAC’ADBAC’D

’

又ACB=ADBACBACD

【解題關鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實際應用為背景進行考查。若能從題設中挖出隱含其中的米勒

問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解

題長度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費時化力。

例1．（2023·廣東珠海·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在足球訓練中，小明帶球奔向?qū)Ψ角蜷TPQ，僅從射門角度

大小考慮，小明將球傳給哪位球員射門較好（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

例2．（2023·四川宜賓·?？级＃┤鐖D，已知點A、B的坐標分別是0,1、0,3，點C為x軸正半軸上一

動點，當ACB最大時，點C的坐標是（）

A．2,0B．3,0C．2,0D．1,0

例3．（2023·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中點，點P

是BC上一個動點，若∠DPM的度數(shù)最大，則BP＝．

例4．（2023·陜西西安·?？寄M預測）足球射門時，在不考慮其他因素的條件下，射點到球門AB的張角越

大，射門越好．當張角達到最大值時，我們稱該射點為最佳射門點．通過研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，運動員

帶球在直線CD上行進時，當存在一點Q，使得CQAABQ（此時也有DQBQAB）時，恰好能使

球門AB的張角AQB達到最大值，故可以稱點Q為直線CD上的最佳射門點．

(1)如圖2所示，AB為球門，當運動員帶球沿CD行進時，Q1，Q2，Q3為其中的三個射門點，則在這三個

射門點中，最佳射門點為點______；(2)如圖3所示，是一個矩形形狀的足球場，AB為球門，CDAB于點

D，AB3a，BDa．某球員沿CD向球門AB進攻，設最佳射門點為點Q．①用含a的代數(shù)式表示DQ

5

的長度并求出tanAQB的值；②已知對方守門員伸開雙臂后，可成功防守的范圍為a，若此時守門員

4

站在張角AQB內(nèi)，雙臂張開MN垂直于AQ進行防守，求MN中點與AB的距離至少為多少時才能確保防

守成功．（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）

例5．（2023上·北京東城·九年級校考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：

對于C及C外一點P，M，N是C上兩點，當MPN最大，稱MPN為點P關于C的“視角”．

直線l與C相離，點Q在直線l上運動，當點Q關于C的“視角”最大時，則稱這個最大的“視角”為直線

l關于C的“視角”．

(1)如圖，O的半徑為1，①已知點A(1,1)，直接寫出點A關于O的“視角”；

已知直線y2，直接寫出直線y2關于O的“視角”；②若點B關于O的“視角”為90，直接寫出一個符

合條件的B點坐標；(2)C的半徑為1，①點C的坐標為(1,2)，直線l:ykxb(k0)經(jīng)過點D(231,0)，

3

若直線關于C的“視角”為60，求k的值；②圓心C在x軸正半軸上運動，若直線yx1關于C的

3

“視角"大于120，直接寫出圓心C的橫坐標xC的取值范圍．

模型2.定角定高模型（探照燈模型）

定角定高模型：如圖，直線BC外一點A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最

小值，即△ABC的面積有最小值。因為其形像探照燈，所以也叫探照燈模型。。

條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。

結(jié)論：當△ABC是等腰三角形（AB=AC）時，BC的長最??；△ABC的面積最小；△ABC的周長最小。

證明思路：如圖，作△ABC的外接圓eO，連接OA，OB，OC，

過點O作OE⊥BC于點E，設eO的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC=2BE=2OBsin=2rsin。

∵OA+OE≥AD（當且僅當點A，O，E三點共線時,等號成立），∴r+rcosa≥h，

.當取等號時r有最小值，此時BC的長最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；

2

△ABC的周長最小:2rsin+ADrsinAD2rsin。

例1．（2023·貴州貴陽·九年級?？茧A段練習）如圖，AOB45，邊OA、OB上分別有兩個動點C、D，

連接CD，以CD為直角邊作等腰Rt△CDE，且CDCE，當CD長保持不變且等于1㎝時，則OE長的最大

值為cm．

例2．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點E、F

分別為邊BC、CD上的兩個動點，且∠EAF＝60°，則△AEF的面積的最小值是．

例3．（2023·陜西·統(tǒng)考二模）問題探究

（1）如圖1．在ABC中，BC8，D為BC上一點，AD6．則ABC面積的最大值是_______．

（2）如圖2，在ABC中，BAC60，AG為BC邊上的高，O為ABC的外接圓，若AG3，試判斷BC

是否存在最小值？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明理由．

問題解決：如圖3，王老先生有一塊矩形地ABCD，AB6212，BC626，現(xiàn)在他想利用這塊地建

一個四邊形魚塘AMFN，且滿足點E在CD上，ADDE，點F在BC上，且CF6，點M在AE上，點N

在AB上，MFN90，這個四邊形AMFN的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存

在，請說明理由．

例4．（2020·陜西·陜西師大附中?？级＃﹩栴}探究，(1)如圖①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P為CD

邊上的中點，試比較∠APB和∠ADB的大小關系，并說明理由；(2)如圖②，在正方形ABCD中，P為CD

上任意一點，試問當P點位于何處時∠APB最大？并說明理由；

問題解決(3)某兒童游樂場的平面圖如圖③所示，場所工作人員想在OD邊上點P處安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)

控OC邊上的AB段，為了讓監(jiān)控效果最佳，必須要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB

＝2003米，問在OD邊上是否存在一點P，使得∠APB最大，若存在，請求出此時OP的長和∠APB的度

數(shù)；若不存在，請說明理由．

課后專項訓練

1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，A、B表示足球門邊框（不考慮球門的高度）的兩個端點，點C表示

射門點，連接AC、BC，則∠ACB就是射門角，在不考慮其它因素的情況下，一般射門角越大，射門進球

的可能性就越大，球員甲帶球線路ED與球門AB垂直，D為垂足，點C在ED上，當∠ACB最大時就是帶

球線路ED上的最佳射門角，若AB=4，BD=1，則當球員甲在此次帶球中獲得最佳射門角時DC的長度為（）

A．2B．3C．5D．15

2．（2022上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）矩形ABCD的對角線BD=4，DE⊥AC于點E，則當∠DBE最大時，

BE的長度為（）

43

A．10B．C．7D．22

3

3．（2023·江蘇南京·九年級校考期末）平面直角坐標系內(nèi)，已知點A(1,0)，B5,0，C0,t．當t0時，若

ACB最大，則t的值為（）

53

A．22B．C．5D．

22

4．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB6，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動點，AEDF，

連接DE，CF交于點P，過點P作PK∥BC，且PK3，若CBK的度數(shù)最大時，則AE長為（）

A．2B．3C．2D．3

5．（2023·遼寧沈陽·校考三模）如圖是一個矩形足球球場，AB為球門，CDAB于點D，AB=a米．某球

員沿CD帶球向球門AB進攻，在Q處準備射門，已知BD3a米，QD3a米，對方門將伸開雙臂后，可

成功防守的范圍大約為0.25a米；此時門將站在張角AQB內(nèi)，雙臂伸開MN且垂直于AQ進行防守，MN

中點與AB距離米時，剛好能成功防守．

6.（2023浙江·九年級?？计谥校榱擞有履甑牡絹砟呈信e辦了迎新年大型燈光秀表演。其中一個鐳射燈

距地面30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖：若將兩根光線(AB、AC)和光線與地面的兩交

點的連接的線段(BC)看作一個三角形，記為△ABC，三角形面積的最小值為_______平方米，其周長最小值

為_______米。

7.（2023·重慶·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD邊長為4，E、F分別是邊BC、CD上的動點，則△AEF

面積的最小值為________.

8．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由點O出發(fā)沿OB

方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，當觀景視角∠MPN最大時，游客P行走的距離OP是米．

9．（2023·浙江·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，直線a與圓相切于A，B是直線a上另一點，C、D在圓上，那么

∠CBD<∠CAD.如圖2，是人看廣告牌的情景.如圖3，廣告牌的桿子高BD=9.6米，廣告牌畫面高CD=10米，

人自高1.6米，為了使人看廣告牌的視角最大，人站立的地方距離廣告牌的水平距離應為米.

10、（2023重慶·九年級?？茧A段練習）如圖，有一塊矩形空地ABCD，AB=120m，BC=70m，現(xiàn)要對這塊

空地進行改造，根據(jù)設計要求，在AB的中點M處修建一個觀景臺，AD、BC邊上分別修建亭子E、F，且

∠EMF=120°，并在三角形MAE和三角形MBF區(qū)域種植景觀樹，在矩形其他區(qū)域均種植花卉，已知種植景

觀樹每平方米需200元，種植花卉每平方米需100元，試求按設計要求，完成景觀樹和花卉的種植至少需

費用多少元?（結(jié)果保留根號）。

11．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）【生活問題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員P帶球沿直線MN

接近球門AB，他在哪里射門時射門角度最大？

【操作感知】小米和小勒在研究球員P對球門AB的張角APB時，在MN上取一點Q，過A、B、Q三點

作圓，發(fā)現(xiàn)直線MN與該圓相交或相切．如果直線MN與該圓相交，如圖1，那么球員P由M向N的運動

過程中，APB的大小______：（填序號）

①逐漸變大；②逐漸變小；③先變大后變?。虎芟茸冃『笞兇?/p>

【猜想驗證】小米和小勒進一步探究發(fā)現(xiàn)，如果直線MN與該圓相切于點Q，那么球員P運動到切點Q時

APB最大，如圖2，試證明他們的發(fā)現(xiàn)．

【實際應用】如圖3，某球員P沿垂直于AB方向的路線MN帶球，請用尺規(guī)作圖在MN上找出球員P的位

置，使APB最大．（不寫作法，保留作圖痕跡）

12．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）課本呈現(xiàn)：如圖1，在射門游戲中，球員射中球門的難易程度與他所處的位

置C對球門AB的張角（C）有關．當球員在C，D處射門時，則有張角CD．某數(shù)學小組由此得

到啟發(fā)，探究當球員在球門AB同側(cè)的直線l射門時的最大張角．

問題探究：

（1）如圖2，小明探究發(fā)現(xiàn)，若過A、B兩點的動圓與直線l相交于點C、D，當球員在P處射門時，則有

ACBAPB．

小明證明過程如下：設直線BP交圓于點E，連接AE，則ACBAEB

∵AEB___________EAP∴∠ACB___________EAP∴ACBAPB

（2）如圖3，小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過A、B兩點的動圓與直線l相切于點F，當球員在F處射門時，則有

AFBACB，你同意嗎？請你說明理由．

問題應用：如圖4，若BOC45，OB102米，A是中點，球員在射線OC上的P點射門時的最大張角

為45，則OP的長度為___________米．

問題遷移：如圖5，在射門游戲中球門AB10，CD是球場邊線，DE25，ADC是直角，EFCD．若

125

球員沿EF帶球前進，記足球所在的位置為點P，求APB的最大度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：sin67，cos67，

1313

512

tan672.4，tan23，tan42．）

1213

13．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預測）最佳視點

如圖1，設墻壁上的展品最高處點P距底面a米，最低處的點Q距底面b米，站在何處觀賞最理想？所謂

觀賞理想是指看展品的視角最大，問題轉(zhuǎn)化為在水平視線EF上求使視角最大的點．

如圖2，當過P，Q，E三點的圓與過點E的水平線相切于點E時，視角PEQ最大，站在此處觀賞最理想，

小明同學想這是為什么呢？他在過點E的水平線HM上任取異于點E的點E，連接PE交O于點F，連

接QF，…

任務一：請按照小明的思路，說明在點E時視角最大；

任務二：若a3，b1.8，觀察者的眼睛距地面的距離為1.5米，最大視角為30，求觀察者應該站在距離

多遠的地方最理想(結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)31.73)．

14．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學?？级＃径x1】如圖1所示，像APB這樣頂點在圓外，兩邊和

圓相交的角叫圓外角；

【定義2】站在某一位置觀察測物體時，視線范圍所成的角度稱為視角，如圖2，在M和N點對矩形ABCD

觀測，會有不同的視角．

(1)【判斷】如圖3，連接BC，APB_____ACB．（，，）

(2)【問題解決】如圖4，在平面直角坐標系中，A3，0，B3，0，直線l:y3x5，P為直線l上一

點，連接PA,PB，求APB的最大值．

(3)【拓展應用】學校計劃組織學生春游，一條北偏東45走向的路上經(jīng)過紫色大廈時，小明發(fā)現(xiàn)在觀察紫色

大廈時的最大視角為45，小明認為，可以通過將公路和建筑物放在如圖所示的平面直角坐標系中，可以計

算出此時公路距離紫色大廈的最近距離AM的長度．請你協(xié)助小明完成計算，直接寫出答案．

15．（2023·廣東深圳·?？既＃締栴}發(fā)現(xiàn)】

船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)

過A，B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，ACB就是“危險角”．當

船P位于安全區(qū)域時，它與兩個燈塔的夾角與“危險角”ACB有怎樣的大小關系？

【解決問題】(1)數(shù)學小組用已學知識判斷與“危險角”ACB的大小關系，步驟如下：

如圖2，AP與O相交于點D，連接BD，由同弧或等弧所對的圓周角相等，可知DACB=DADB，

∵ADB是△BDP的外角，∴APBADB（填“＞”，“＝”或“＜”），

∴ACB（填“＞”，“＝”或“＜”）；

【問題探究】(2)如圖3，已知線段AB與直線l，在直線l上取一點P，過A、B兩點，作O使其與直線l

相切，切點為P，不妨在直線上另外任取一點Q，連接AQ、BQ，請你判斷APB與AQB的數(shù)量關系，

并說明理由；【問題拓展】(3)一位足球左前鋒球員在某場賽事中有一精彩進球，如圖4，他在點P處接到球

后，沿Q方向帶球跑動，球門AB8米，DP8米，BD16米，ADC90，tanQPC1．該球員在

射門角度（AMB）最大時射門，球員在PQ上的何處射門？（求出此時PM的長度．）

16．（2023·安徽阜陽·九年級統(tǒng)考階段練習）從多邊形的一個頂點引出兩條射線形成一個角，這個角的兩邊

與多邊形的兩邊相交，該多邊形在這個角的內(nèi)部的部分與角的兩邊圍成的圖形稱為該角對這個圖形的“投射

圖形”．(1)【特例感知】如圖1，EAF與正方形ABCD的邊BC、CD分別交于點E、點F，此時EAF對

正方形ABCD的“投射圖形”就是四邊形AECF；若此時CECF是一個定值，則四邊形AECF的面積______

（填“會”或“不會”）發(fā)生變化．

(2)【遷移嘗試】如圖2，菱形ABCD中，AB2，D120，E、F分別是邊BC、CD上的動點，若EAF

對菱形ABCD的“投射圖形”四邊形AECF的面積為3，求CECF的值．

(3)【深入感悟】如圖3，矩形ABCD中，AB3，AD4，EAF的兩邊分別與BC、CD交于點E、點F，

若EAF45，CF2，求EAF對矩形ABCD的“投射圖形”四邊形AECF的面積．

(4)【綜合運用】如圖4，在YABCD中，AB42，AD6，B45，點E是BC邊上的一個動點，△AEF

的外接圓過點C，且與DC邊交于點F，此時EAF對YABCD的“投射圖形”為四邊形AECF，當EF取最

小值時，CECF的值為______．

17．（2023下·江蘇鹽城·八年級景山中學?？计谀?）問題提出：如圖①，已知線段AB，請以AB為斜邊，

在圖中畫出一個直角三角形；（2）如圖②，已知點A是直線l外一點，點B、C均在直線l上，AD⊥l且

AD=4，∠BAC=60°，求△ABC面積的最小值；（3）問題解決：如圖③，某園林單位要設計把四邊形花園劃

分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=62m，點E、F分別

為AB、AD上的點，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值？若存