第六章

數(shù)列第4節(jié)數(shù)列中的構(gòu)造問(wèn)題INNOVATIVEDESIGN求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法除了我們前面學(xué)習(xí)過(guò)的公式法、累加法、累乘法,還有構(gòu)造法,其總的思想是根據(jù)數(shù)列的遞推公式,利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列(等差、等比數(shù)列或可利用累加、累乘求解的數(shù)列)求解.目

錄CONTENTS課時(shí)對(duì)點(diǎn)精練題型一

形如an+1=pan+f(n)型

角度2

an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)例2

(2025·廣東大聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,a1=3,且an+1=3an+4n-6(n∈N*),則{an}的通項(xiàng)公式為

.

an=3n-2(n-1)

法二因?yàn)閍n+1=3an+4n-6(n∈N*),所以an+1+2n=3an+4n-6+2n=3[an+2(n-1)],因?yàn)閍1=3,所以a1+2×(1-1)=3,所以{an+2(n-1)}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,則an+2(n-1)=3·3n-1=3n,所以an=3n-2(n-1).

D

法二設(shè)an+1+k×5n+1=2(an+k×5n),則an+1=2an-3k×5n,與an+1=2an+3×5n比較可得k=-1,所以an+1-5n+1=2(an-5n),所以數(shù)列{an-5n}是首項(xiàng)為a1-5=-3,公比為2的等比數(shù)列,所以an-5n=-3×2n-1,所以an=5n-3×2n-1.思維建模

2n+1-n-1訓(xùn)練1

(1)已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+n,a1=2,則an=

.

(2)(2025·煙臺(tái)質(zhì)檢)若數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-2an=3n-1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.

2n-1+3n-1

題型二

相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)列(形如an+1=pan+qan-1)型

例4

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.

思維建模可以化為an+1-x1an=x2(an-x1an-1),其中x1,x2是方程x2-px-q=0的兩個(gè)根,若1是方程的根,則直接構(gòu)造數(shù)列{an-an-1},若1不是方程的根,則需要構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列,采取消元的方法求數(shù)列{an}.訓(xùn)練2

若x=1是函數(shù)f(x)=an+1x4-anx3-an+2x+1(n∈N*)的極值點(diǎn),數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.

3n-1

思維建模

D課時(shí)對(duì)點(diǎn)精練KESHIDUIDIANJINGLIAN一、單選題1.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an+1,則a4的值為(

) A.15

B.23 C.32 D.42

解析

因?yàn)閍n+1=2an+1,

所以an+1+1=2(an+1),

所以{an+1}是以3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

所以an+1=3·2n-1,

所以an=3·2n-1-1,所以a4=23.B

C

C

C

D

C7.(2025·北京海淀區(qū)模擬)將一些數(shù)排成如圖所示的倒三角形,其中第一行各數(shù)依次為1,2,3,…,2

025,從第二行起,每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和,最后一行只有一個(gè)數(shù)M,則M等于(

)BA.2

025×22

022

B.2

026×22

023C.2

025×22

023

D.2

026×22

024

B

CD

ACD

AB

三、填空題12.(2025·海南質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,則an=

.

2n-1

2

026解析

由題設(shè),(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,a2-a1=4,故{an+1-an}是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列,則an+1-an=2n+