專題反比例函數(shù)綜合5大題型

反比例函數(shù)綜合

【類型一：反比例函數(shù)與一次函數(shù)】

、女_

1.（2024春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，若反比例函數(shù)yi?與一次函數(shù)及=〃%+6交于4、5兩點(diǎn)，當(dāng)OVgW

k

2.（2024春?新吳區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)>=辦+6與反比例函數(shù)y=嚏在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C（5,2）,則

k

3.（2024春?秦淮區(qū)校級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)y=-x+3的圖象與反比例函數(shù)y=qkKO）在第一象限的圖

2

象交于4（1,a）和2（2,6）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C,下列說(shuō)法①反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=了②根

據(jù)圖象，當(dāng)—％+3<嚏時(shí)，x的取值范圍為0<x<l或x>2；③若點(diǎn)尸在x軸上，S.SAAPC=-S^A0B,

點(diǎn)P的坐標(biāo)（8,0）.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

ki

4.(2024春?儀征市期末)將雙曲線》=￡(內(nèi)＞0,，=1,2,3,-1012)向左平移2個(gè)單位，再向下平移

1個(gè)單位后與直線y=3(x+2)-1相交于2024個(gè)點(diǎn)，這2024個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為()

A.-1012B.-2024C.-4048D.2024

__k

5.(2024春?秦淮區(qū)校級(jí)期末)平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫坐標(biāo)為0的點(diǎn)/在反比例函數(shù)yi=不＞＞0)的圖

象上，點(diǎn)/與點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，一次函數(shù)以=加葉〃的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4.函數(shù)為、及的圖象相交于第

一象限3點(diǎn).(1)用無(wú)刻度的直尺與圓規(guī)作出點(diǎn);

(2)若。=2,點(diǎn)3坐標(biāo)為(4,2).

①分別求函數(shù)為、及的表達(dá)式；

②直接寫出使為＞為＞0成立的x的范圍；

(3)若點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為3a,AAA'B的面積為16,求人的值.

6.(2024春?梁溪區(qū)校級(jí)期末)如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)/(-1,6),B(3,a-3),

與x軸交于點(diǎn)C,與了軸交于點(diǎn)D.

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)M在x軸上，若S4OAM=S&OAB，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【類型二：反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征】

k

7.（2024春?揚(yáng)州期末）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)平行四邊形N5CD的頂點(diǎn)C,D,若點(diǎn)/、點(diǎn)

8、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（3,0）,（0,4）,Q,6）,則左的值是.

8.（2024春?惠山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形CM5C的頂點(diǎn)/在x軸上，頂點(diǎn)C在y

k

軸上，矩形CD斯的頂點(diǎn)。在上，頂點(diǎn)尸在歹軸上.已知。是。尸的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=（（/c>0）

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,圖中陰影部分的面積為4,則左的值為（）

A.2B.4C.6D.8

6

9.（2024春?新吳區(qū)期末）如圖，點(diǎn)/在反比例函數(shù)y=4K>0）圖象上，且。4=6,過(guò)/作/C_Lx軸，垂

足為C,OA的垂直平分線交OC于B,則△48C的周長(zhǎng)為（）

10.（2023春?惠山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0/2C的頂點(diǎn)4、C在坐標(biāo)軸上，2在

k

第一象限，反比例函數(shù)y=.k>0）的圖象經(jīng)過(guò)中點(diǎn)E,與4B交于點(diǎn)、F,將矩形沿直線即翻折，點(diǎn)、B

恰好與點(diǎn)。重合.若矩形面積為8也，則點(diǎn)2坐標(biāo)是（）

k

11.（2023春?宜興市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸在反比例函數(shù)y=J；k>0,久>0）的圖象上，

其縱坐標(biāo)為3,過(guò)點(diǎn)P作PQHy軸，交x軸于點(diǎn)Q,將線段QP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM.若

點(diǎn)M也在該反比例函數(shù)的圖象上，則左的值為（）

k°c

12.（2024春?南京期末）反比例函數(shù)>=嚏的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（1,4）和2（m,n）,則加2+小的最小值

為.

_6

13.（2024春?玄武區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xO歹中，A,8是反比例函數(shù)y圖象上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)力

的橫坐標(biāo)為冽，點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為〃，且O,A,5三點(diǎn)不在同一條直線上.若OA=OB,則冽〃=

13

14.（2024春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖,點(diǎn)。分別在函數(shù)>=二一二的圖象上,點(diǎn)從C在x軸上，若

四邊形為正方形，點(diǎn)A在第二象限，則A的坐標(biāo)為

3

15.（2023春?灤陽(yáng)市期末）如圖，直線/：丫=一/+3與工軸交于點(diǎn)/,與y軸交于點(diǎn)5,菱形BCDE的

q

,k

邊5C〃x軸，另一邊在直線/,且點(diǎn)5是的中點(diǎn)，點(diǎn)。在反比例函數(shù)37=嚏（憶。0）的圖象上，則

k=.

k

16.（2023春?濱湖區(qū)期末）如圖，直線y=3x與雙曲線了=嚏交于/、3兩點(diǎn)，將直線48繞點(diǎn)/順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)45°,與雙曲線位于第三象限的一支交于點(diǎn)C,設(shè)直線NC的函數(shù)表達(dá)式為>="+6,則。=—；

若SA47?C=70,貝llk=.

17.(2024春?江都區(qū)期末)已知如圖，(-4,0),C(-1,4),過(guò)點(diǎn)。作。5口軸，垂足為5(。在C

k

上方)，AF平分NBAC,CE平分NACD,直線EC交射線/尸于點(diǎn)尸.若反比例函數(shù)y=嚏(x>0)的圖

象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,則k的值為.

18.(2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末)如圖，點(diǎn)/在y軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)/作x軸的平行線，交反比例函數(shù)以

62

=-(x>0)的圖象于點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)8作y軸的平行線，交反比例函數(shù)力(x>0)的圖象于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)

C作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)。，記四邊形48CD的面積為S.

(1)若點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為2,求S的值；

(2)求證：無(wú)論點(diǎn)/在y軸正半軸的何處，S的值不變.

19.(2024春?宜興市期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△45C中，ZABC=90°,ZA=30°,4C=4,

k

頂點(diǎn)/在x軸的正半軸上，軸，若雙曲線>=受(后W0)交邊NC于中點(diǎn)。，交邊于點(diǎn)￡.

(1)若。/=7,求左值;

20.(2023春?蘇州期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為(44，0),已知點(diǎn)C、點(diǎn)、M

r-k

(5,3平)在反比例函數(shù)y=嚏(％>0)圖象上.

(1)k=；

(2)若點(diǎn)4關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)。也在反比例函數(shù)圖象上，求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)5剛好落在〉軸的正半軸上，求線段45的長(zhǎng).

【類型三：反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題】

一k_

21.(2024春?玄武區(qū)期末)如圖，一次函數(shù)為=QX+6的圖象與反比例函數(shù)丫2=嚏的圖象交于點(diǎn)4(4,m),B

(-6,-2).

(1)求左的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；

k

(2)關(guān)于X的不等式a%+—的解集為；

X

(3)若點(diǎn)夕為直線43上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸?！ù踺S，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)。，當(dāng)△O。。的面

積為6時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)0的坐標(biāo).

6

22.(2024春?工業(yè)園區(qū)期末)如圖，一次函數(shù)y=fcc+6(B0)的圖象與反比例函數(shù)y=―1的圖象相交于

點(diǎn)/(-1,m),B(〃，-1).

6

(1)求〃?，〃的值，并直接寫出不等式版+6W——的解集；

x

(2)點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，過(guò)C作/軸的平行線交反比例函數(shù)在第四象限的圖象于點(diǎn)。，若△C。。

的面積為5,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

k_

23.(2024春?沛縣校級(jí)期末)如圖，一次函數(shù)y=x+8的圖象與反比例函數(shù)y=/x<0)的圖象交于/(a,

(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在y軸上存在點(diǎn)尸，使得4P+8尸的值最小，求/P+8P的最小值;

(3)M為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N,使是以"N為底的等腰

直角三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.(2023春?睢寧縣期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B、C兩點(diǎn)在x軸的正半軸上，以線段3C為邊向

~k

上作正方形/BCD,頂點(diǎn)/在正比例函數(shù)y=2x的圖象上，反比例函數(shù)>=、(x>0,k>0)的圖象經(jīng)過(guò)

點(diǎn)/,且與邊CO相交于點(diǎn)￡

(1)若8c=4,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)連接NE,OE.

①若△NOE的面積為24,求人的值；

②是否存在某一位置使得04若存在，求出左的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

25.(2024春?錫山區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-x+3的圖象與反比例函數(shù)y=嚏(左W0)

的圖象在第一象限交于4(1,a)和5(2,b)兩點(diǎn).則△405的面積為；若點(diǎn)尸在y軸上，

k

點(diǎn)0在反比例函數(shù)>=1(/cWO)的圖象上，當(dāng)以4、B、P、0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，寫出所

有符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)：.

26.(2024春?新吳區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有RtZUSC,ZA=90°,AB=AC,A(-2,0)、B

(0,1)、C(加，H).

(1)求C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)將△45。沿1軸的正方向平移，在第一象限內(nèi)5、。兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕、C正好落在某反比例函數(shù)

圖象上.請(qǐng)求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線5'C'的解析式；

(3)在(2)的條件下，直線3'C交歹軸于點(diǎn)G.問(wèn)是否存在x軸上的點(diǎn)M和反比例函數(shù)圖象上的

點(diǎn)尸，使得四邊形尸GMC，是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M和點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

27.(2023春?新吳區(qū)期末)如圖1,已知點(diǎn)/(a,0),B(0,b),且a、b滿足W+1+(a+b+3>=0

k

平行四邊形/BCD的邊/。與y軸交于點(diǎn)￡,且￡為中點(diǎn)，雙曲線y=浸過(guò)C、。兩點(diǎn).

(1)a—,b—；

(2)求反比例函數(shù)表達(dá)式：

k

(3)點(diǎn)P在雙曲線y=1上，點(diǎn)0在y軸上，若以點(diǎn)/、B、P、0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接

寫出滿足要求的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo).

圖1圖2(備用圖)

28.(2024春?姑蘇區(qū)期末)如圖，在△NB。中，AO=AB,點(diǎn)/的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)3(2,a)在反比例

ki

函數(shù)y=爰(x>0)的圖象上.若將線段N2繞點(diǎn)/按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得到線段/C,點(diǎn)C恰好在反

九2

比例函數(shù)y=—(%>0)的圖象上.

(1)求瓦，弱的值;

kik2

(2)若尸，。分別為反比例函數(shù)y=三(％>0),y=刀(%>0)圖象上一點(diǎn)，且以點(diǎn)。，P,Q,/為頂點(diǎn)

的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

29.(2024春?工業(yè)園區(qū)期末)如圖1,四邊形4BCD為正方形，點(diǎn)/在/軸上，點(diǎn)2在x軸上，且。/=6,

k

OB=3,反比例函數(shù)>(20)在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)正方形的頂點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖2,將正方形4BCD沿x軸向右平移入個(gè)單位長(zhǎng)度得到正方形點(diǎn)4恰好落在反比例

函數(shù)的圖象上，求此時(shí)點(diǎn)少的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)。，使以點(diǎn)。、4、P、0為頂點(diǎn)的四

邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（圖1）（圖2）

【類型四：與反比例函數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新題】

30.(2023春?太倉(cāng)市期末)定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,恰好落在函

數(shù)圖象印上，則稱點(diǎn)〃是點(diǎn)N關(guān)于函數(shù)圖象少的“直旋點(diǎn)”.例如.點(diǎn)(-1,1)是原點(diǎn)。關(guān)于函數(shù)〉

=x圖象的一個(gè)“直旋點(diǎn)”

(1)在①(-1,2)②(1,3)③(-3,2)三點(diǎn)中，是原點(diǎn)。關(guān)于一次函數(shù)y=2x-1圖象的“直

旋點(diǎn)”的有(填序號(hào))；

k~

(2)點(diǎn)M(-2,4)是點(diǎn)、N(1,0)關(guān)于反比例函數(shù)＞=［圖象的"直旋點(diǎn)”，求左的值；

Zck

(3)如圖1,點(diǎn)/(1,3)在反比例函數(shù)y圖象上，點(diǎn)8是在反比例函數(shù)y=\圖象上點(diǎn)/右側(cè)的一

31.(2023春?漂陽(yáng)市期末)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意點(diǎn)/(x,y),我們把點(diǎn)8(一,

X

1

-)稱為點(diǎn)/的“倒數(shù)點(diǎn)

(1)寫出平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)“倒數(shù)點(diǎn)”是本身的點(diǎn)的坐標(biāo)—；

(2)點(diǎn)尸是反比例函數(shù)丫=正(尤＞0)圖象上的一點(diǎn)，求出點(diǎn)尸的“倒數(shù)點(diǎn)”。滿足的函數(shù)表達(dá)式；

x

3

(3)如圖，矩形。CDE的頂點(diǎn)C為(4,0),頂點(diǎn)E在y軸上，函數(shù)y=1(x＞0)的圖象與。E交于點(diǎn)

A.若點(diǎn)3是點(diǎn)/的“倒數(shù)點(diǎn)”，且點(diǎn)8在矩形OCDE的一邊上，求△O8C的面積.

k

32.（2023春?常州期末）背景：點(diǎn)/是反比例函數(shù)y=（（左>0）的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接/。，將線段/。

繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到AB.如圖1,已知N（1,0,小李測(cè)得點(diǎn)8（5,3）.

A

x

（圖1）（圖2）

（1）填空：k=；

（2）探究：通過(guò)改變點(diǎn)/的位置，小李發(fā)現(xiàn)點(diǎn)8的縱坐標(biāo)與點(diǎn)/的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)幫助

小李解決下列問(wèn)題：設(shè)點(diǎn)2的縱坐標(biāo)與點(diǎn)/的橫坐標(biāo)分別為z,x,將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”.如

圖2,小李畫出了x>0時(shí)的“Z函數(shù)”的圖象.

①求這個(gè)“Z函數(shù)”的表達(dá)式；

②補(bǔ)畫x<0時(shí)“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）；

③過(guò)點(diǎn)（3,2）作一條直線，與這個(gè)“Z函數(shù)”圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求該交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

33.（2024春?葉胎縣期末）定義：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

除外），過(guò)點(diǎn)尸分別作x軸、y軸的垂線，若由點(diǎn)尸、原點(diǎn)。、兩個(gè)垂足N、8為頂點(diǎn)的矩形O/P8的周

長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等時(shí)，則稱點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系中的“美好點(diǎn)”.

6—

I---------

f—

—

I---------

r—4IIIIIIII

ALJLJLJLJ

IPJ3-----------

—

—

__—

____;

12-____

rrrr

「

「

「

----------「

O|B

圖1

備用圖

【嘗試初探】：

(1)點(diǎn)C(2,3)“美好點(diǎn)”(填“是"或"不是")；

【深入探究】：

(2)①若“美好點(diǎn)”E(加，6)(加＞0)在雙曲線y=((左W0,且左為常數(shù))上，則上=；

k

②在①的條件下，F(xiàn)(2,n)在雙曲線丫=嚏上，求SAEOF的值；

【拓展延伸】：

(3)我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點(diǎn)”，已知點(diǎn)尸(x,y)是第一象限內(nèi)的“美好點(diǎn)

①求V關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

②對(duì)于圖象上任意一點(diǎn)(x,＞),代數(shù)式(2-x)?(y-2)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，如

果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

34.(2023春?灌云縣期末)【定義】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形若滿足以下兩個(gè)條件：①各邊平行于坐標(biāo)軸;

②有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一反比例函數(shù)的圖象上，我們把這個(gè)矩形稱為該反比例函數(shù)的“伴隨矩形”.

例如：圖(1)中，矩形4BCD的邊4D〃3C〃x軸，AB//CD//y^i,且頂點(diǎn)/、C在反比例函數(shù)y=(x

＞0)的圖象上，則矩形/3CD是反比例函數(shù)＞=(無(wú)＞0)的“伴隨矩形”.

【解決問(wèn)題】：

(1)已知，在矩形EFG”中，點(diǎn)￡、G的坐標(biāo)分別為：①E(-3,8),G(6,-4)②E(1,2),G

(2,3)③E(3,4),G(2,6),其中可能是某反比例函數(shù)的“伴隨矩形”的是；(填序號(hào))

36

(2)如圖(1),已知點(diǎn)3(2,-)是反比例函數(shù)y=一的''伴隨矩形的頂點(diǎn)，求直線的解析

式;

(3)若反比例函數(shù)的“伴隨矩形"M7VP。如圖(2)所示，試說(shuō)明有一條對(duì)角線所在的直線一定經(jīng)過(guò)原

35.(2024春?廣陵區(qū)校級(jí)期末)定義：有一組對(duì)邊平行，有一個(gè)內(nèi)角是它對(duì)角的一半的凸四邊形叫做半對(duì)

角四邊形，如圖1,直線/1〃小點(diǎn)/，。在直線4上，點(diǎn)8,C在直線&上，若NBAD=2/BCD,則四

邊形48co是半對(duì)角四邊形.

(1)如圖2,點(diǎn)E是平行四邊形4BCZ)的邊4D上一點(diǎn)，//=60°,AB=2,AE=4.若四邊形N2CE

為半對(duì)角四邊形，則一.

(2)如圖3,以口/BCD的頂點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊CD所在直線為x軸，對(duì)角線/C所在直線為y軸，

建立平面直角坐標(biāo)系.點(diǎn)E是邊4D上一點(diǎn)，滿足8C=NE+CE.求證：四邊形N8CE是半對(duì)角四邊形;

2

(3)如圖4,在(2)的條件下，若點(diǎn)E是反比例函數(shù)y=—(圖象上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)2恰好

k

在反比例函數(shù)y的圖象上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出人的值—.

【類型五：反比例函數(shù)綜合題】

36.(2023春?錫山區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(0,10)、B(6,a+10)、C(6,a).

(1)BC=,四邊形OABC的面積是：

(2)當(dāng)四邊形ON8C是軸對(duì)稱圖形時(shí)，求。的值；

(3)連接08,過(guò)。8的中點(diǎn)￡作直線/,分別交線段N8、OC于點(diǎn)尸、G.連接。尸，尸G的面積為

k

20,反比例函數(shù)y=Jk>0,x>0)的圖象經(jīng)過(guò)直線/上兩點(diǎn)￡、F,求人的值.

(備用圖)

37.(2024春?惠山區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸正半軸與y軸正半軸分別交于點(diǎn)/、

B,設(shè)OB=b(a>0,6>0).將繞點(diǎn)N順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為點(diǎn)C;再將△4DC沿射線AB方向平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合得到△2ER點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,點(diǎn)、

K在y軸上，點(diǎn)G為線段斯的中點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)G恰好落在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式.

a

(2)求g的值.

(3)若線段2D、G。交于點(diǎn)尸，且△尸GC的面積為4,求a的值.

k

38.(2024春?錫山區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=(的圖象與正方形。/2C的邊

交于點(diǎn)E(-3,4),與邊BC交于點(diǎn)。，一次函數(shù)y=萬(wàn)萬(wàn)+臺(tái)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，與邊交于點(diǎn)F.

(1)求點(diǎn)尸的坐標(biāo)：

(2)連接。F0E,探究尸與NEOC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)在x軸上找兩點(diǎn)^^(〃在"的右側(cè))，使MN=2,且使四邊形/AWD的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)M的

坐標(biāo)為,四邊形NMVD的周長(zhǎng)最小為.

8

39.(2023春?無(wú)錫期末)如圖，一次函數(shù)〉=h+6(k>0)的圖象與反比例函數(shù)y=1(x>0)的圖象交于

點(diǎn)/,與x軸交于點(diǎn)2,與〉軸交于點(diǎn)C,4D，x軸于點(diǎn)。，CB=CD,點(diǎn)C關(guān)于直線4D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

E.

(1)點(diǎn)E是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)連接NE、DE,若四邊形/CDE為正方形.

①求晨6的值；

②若點(diǎn)P在〉軸上，當(dāng)|尸￡-必|最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

、女_

40.(2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末)如圖1,反比例函數(shù)y=(的圖象與一次函數(shù)歹=機(jī)%+〃的圖象相交于/(q,

1)5(-1,3)兩點(diǎn).

(1)直接填寫：k=；m=；n=；

(2)設(shè)直線48交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)NG,0)是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)"作軸交反比例

k

函數(shù)>=嚏的圖象于點(diǎn)連接CN,OM.若S四邊形co跖v>4,求才的取值范圍.

k

(3)如圖2,將一次函數(shù)了=如什"的圖象向下平移后，與反比例函數(shù)y=(的圖象在第二象限的交點(diǎn)為

點(diǎn)。，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)E,y軸上一點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,且DP=EP,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

41.(2024春?蘇州期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O4C3是矩形，頂點(diǎn)/在y軸上，頂點(diǎn)8在

18

x軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,6),雙曲線y=爰(x>0)分別交/C,BC于點(diǎn)、D,E.

(1)點(diǎn)。的坐標(biāo)為；

(2)若點(diǎn)尸是對(duì)角線OC上一點(diǎn).

①連接/P,將線段ZP繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到線段NQ.若點(diǎn)。恰好在雙曲線丫="(久>0)上,

求此時(shí)點(diǎn)尸坐標(biāo)；

②連接DE,DP,若/DPC=NDEC,請(qǐng)畫出圖形探究并求。P的長(zhǎng).

k

42.(2024春?姑蘇區(qū)校級(jí)期末)平面直角坐標(biāo)系xQy中，橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)N在反比例函數(shù)yi=1(x>0)的

圖象上，點(diǎn)H與點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，一次函數(shù)了2=加計(jì)"的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4.

(1)設(shè)。=2,點(diǎn)8(4,2)在函數(shù)為、刃的圖象上.

①分別求函數(shù)為、竺的表達(dá)式；

②直接寫出使為＞為＞0成立的x的范圍；

1

(2)設(shè)m=5，如圖②，過(guò)點(diǎn)/作軸，與函數(shù)力的圖象相交于點(diǎn)。，以/。為一邊向右側(cè)作正

方形4DEF,試說(shuō)明函數(shù)弦的圖象與線段斯的交點(diǎn)尸一定在函數(shù)為的圖象上.

43.(2024春?秦淮區(qū)校級(jí)期末)思考探究:

【形成概念】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直

角拐彎的方式行走.由此啟發(fā)，我們可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xQy,對(duì)兩點(diǎn)/

【初步理解】

(1)①已知點(diǎn)/(-2,1),則d(O,A)=.

②函數(shù)y=-2x+4(0WxW2)的圖象如圖①所示，3是圖象上一點(diǎn)，dCO,B)=3,則點(diǎn)2的坐標(biāo)

是

4

③函數(shù)y=（（x>0）的圖象如圖②所示，C是該函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，若d（。，C）的值最小，點(diǎn)C的

坐標(biāo)是.

【深入探究】

（2）如圖③，菱形/2CD頂點(diǎn)/的坐標(biāo)是（1,3）,B（3,2）.小明發(fā)現(xiàn)：菱形/2CD的邊上會(huì)有兩

個(gè)點(diǎn)分別到原點(diǎn)。的距離d相等.若點(diǎn)E在菱形的邊上且d（。，E）=dMB）,指出點(diǎn)E在菱形的

那條邊上，并求出它的坐標(biāo).

圖③圖④

（3）實(shí)數(shù)加（加>0）,如圖④，直接寫出在矩形/BCD邊上，且到原點(diǎn)。的距離d等于小的點(diǎn)的個(gè)數(shù)

與機(jī)值的關(guān)系.

一k

44.（2023春?常州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=嚏（攵>0）的圖象與一次函數(shù)歹=冽%+6（m<

0）的圖象在第一象限交于4、3兩點(diǎn).

y

（圖1）

探究一：

尸是平面內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/、B、尸分別作x軸、y軸的垂線，相應(yīng)的兩條垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面

積記為&、SB、SP,矩形周長(zhǎng)記為CA、CB、Cp.

（1）如圖1,P是線段上不與點(diǎn)/、8重合的一點(diǎn)，k=8.

S尸8,S,<Sp(填“〈”或“=”)；

猜想：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，礪的變化規(guī)律是；

(2)如圖2,P是雙曲線48段上不與點(diǎn)/、2重合的一點(diǎn)，加=-1,6=4.

CA=8,CA>CP.(填或"=")；

猜想：當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，CP的變化規(guī)律是.

探究二：

如圖3,過(guò)點(diǎn)/作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)8作y軸的垂線，兩條垂線交于直線右上方的點(diǎn)。，。。與反比

例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)G.若G是。。的中點(diǎn)，且△。48的面積為9,求左的值.

k

45.(2024春?儀征市期末)如圖1,已知反比例函數(shù)y=嚏與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相交于點(diǎn)4、B,直線

45與x軸、y軸交于點(diǎn)。、D.

(1)若點(diǎn)4(1,6),點(diǎn)5(2,m).

①一次函數(shù)解析式是;

②直接寫出線段5C的長(zhǎng)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(2)若點(diǎn)4(加，n),點(diǎn)B(n,m),則②中的結(jié)論是否仍然成立？試說(shuō)明理由.

(3)實(shí)際上，對(duì)于任意兩點(diǎn)4、B,②中的結(jié)論都成立，利用此結(jié)論解決問(wèn)題：

k

如圖2,已知矩形跖G”,點(diǎn)E(1,4),FG=2,若反比例函數(shù)y=以與矩形的對(duì)角線￡G有交點(diǎn)，則左

__9

46.(2024春葉R江區(qū)期末)在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)后，小華在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中iffl出了y=((x>0)和

y=-x+10的圖象，兩個(gè)函數(shù)圖象父于/(1,9),B(9,1)兩點(diǎn)，在線段上選取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸

作y軸的平行線交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)。(如圖1),在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)P。的長(zhǎng)度隨著點(diǎn)尸的

運(yùn)動(dòng)而變化.為了進(jìn)一步研究P0的長(zhǎng)度與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，小華提出了下列問(wèn)題：

1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

圖1

(1)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為x,P0的長(zhǎng)度為丹則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為(1WXW9)；

(2)為了進(jìn)一步研究(1)中的函數(shù)關(guān)系，決定運(yùn)用列表，描點(diǎn)，連線的方法繪制函數(shù)的圖象①列表

X13234969

22

y05m4157n0

22

表中m-，n=；

②描點(diǎn)連線：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在圖2中描出各點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；

③觀察圖2中函數(shù)圖象，當(dāng)》=—時(shí)，y的最大值為.

18

(3)已知某矩形的一組鄰邊長(zhǎng)分別為〃?，〃，且該矩形的周長(zhǎng)沙與〃存在函數(shù)勿=——+28,求加取

71

最大值時(shí)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)；

(4)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=-2履-2(左＞0)與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)/、B,點(diǎn)M為反比

k

例函數(shù)丫=泮一象限圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MCLx軸于點(diǎn)C,軸于點(diǎn)D.直接寫出四邊

形ABCD面積的最小值

答案與解析

【類型一：反比例函數(shù)與一次函數(shù)】

、九_(tái)

1.（2024春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，若反比例函數(shù)yi=以與一次函數(shù)乃="+6交于4、3兩點(diǎn)，當(dāng)0<yiW

【分析】寫出在x軸的上方，且一次函數(shù)的圖象不在反比例函數(shù)的圖象下方的自變量的取值范圍即可.

【解答】解：觀察圖象可知，當(dāng)0<乃?為時(shí)，x的取值范圍是xW-1.

故答案為：xW-1.

k

2.（2024春?新吳區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)了=辦+6與反比例函數(shù)y=^在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C（5,2）,則

【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)兩函數(shù)在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C,找出一次函數(shù)圖象在反比例圖象上方時(shí)x的范圍即

可.

k_

【解答】解：???一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=嚏在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C（5,2）,

k

:?由圖象可知：當(dāng)x>0時(shí)，辦+6——>0的解集為x>5.

x

故答案為：x>5.

k

3.（2024春?秦淮區(qū)校級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)-x+3的圖象與反比例函數(shù)y=JkK0）在第一象限的圖

一2

象交于/(1,。)和8(2,6)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C,下列說(shuō)法：①反比例函數(shù)的關(guān)系式丫=丫②根據(jù)

k10

圖象，當(dāng)一x+3<J寸，x的取值范圍為0<xVl或x>2；③若點(diǎn)P在x軸上，且SA4PC=WSMOB，點(diǎn)尸

的坐標(biāo)(8,0).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】①先把點(diǎn)/(1,?)代入y=-x+3中求出a得到/(1,2),然后利用待定系數(shù)法即可得到反比

例函數(shù)的表達(dá)式；

②根據(jù)圖象得出取值范圍；

③先求得SZUOB=SA4OC-SABOC=5,進(jìn)而得出SZUPC=5,設(shè)PG,0),則OC=|「3|,利用三角形面

11

積公式得到SA4PC=5。。,2=]X2x|t—3|=5,求解即可.

【解答】解：①把點(diǎn)/(1,a)代入丁=-x+3,得a=2,

：.A(1,2),

k

把4(1,2)代入反比例函數(shù)yH0),

:?k=1X2=2；

2

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為歹

???結(jié)論①正確；

2

②把3(2,b)代入歹=丁得6=1,

：.B(2,1),

k

根據(jù)圖象可知，當(dāng)一%+3〈一時(shí)，x的取值范圍為OVxVl或x>2,

x

???結(jié)論②正確；

113

，9x3

(3)-S/\AOB=S^AOC~S/\BOC=2x2—5x3x1=萬(wàn)，

又.：SMPC—~^AAOB^

103

?'?S^APC=—^-=5,

設(shè)尸(/,0),則OC=\t-3\,

11

?'?S/\APC=20C，2=]X2x|t—3|=5,

解得：t=8或f=-2,

：.P(8,0)或(-2,0).

???結(jié)論③錯(cuò)誤.

故選：A.

4.(2024春?儀征市期末)將雙曲線y=：■(扁＞0,i=l,2,3,-1012)向左平移2個(gè)單位，再向下平移

1個(gè)單位后與直線y=3(x+2)-1相交于2024個(gè)點(diǎn)，這2024個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為()

A.-1012B.-2024C.-4048D.2024

【分析】直線y=3(x+2)-1可由直線y=3x向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到，這與雙曲線y

=[?(左?＞(),i=1,2,3,…1012)的平移方式相同，從而可知雙曲線y=[*(左?＞(),1=1,2,3,…

1012)與直線y=3(x+2)-1的交點(diǎn)也可以由雙曲線y(左＞0,i=l,2,3,-1012)與直線y=3x