2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期北京市第十二中學(xué)高一3月練習(xí)

數(shù)學(xué)

考生須知：

1.答題前，考生務(wù)必先將答題卡上的學(xué)校、班級(jí)、姓名、教育ID號(hào)用黑色字跡簽字筆填寫(xiě)

清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的教育ID號(hào)、姓名、在答題卡的“條形碼粘貼區(qū)”貼好條形

碼.

2.本次練習(xí)所有答題均在答題卡上完成.選擇題必須使用2B鉛筆以正確填涂方式將各小題

對(duì)應(yīng)選項(xiàng)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦除干凈后再選涂其它選項(xiàng).非選擇題必須使用標(biāo)準(zhǔn)黑色

字跡簽字筆書(shū)寫(xiě)，要求字體工整、字跡清楚.

3.請(qǐng)嚴(yán)格按照答題卡上題號(hào)在相應(yīng)答題區(qū)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在練習(xí)

卷、草稿紙上答題無(wú)效.

4.本練習(xí)卷滿(mǎn)分共150分，作答時(shí)長(zhǎng)90分鐘.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本部分共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出

最符合題意的一項(xiàng).

1,已知向量°=（0,3）,則|T|=（）

A.73B.y/5C.3D.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，再利用坐標(biāo)計(jì)算模即得.

【詳解】向量a=（L5）,6=（0,3）,則a—Z?=（l,2）,

所以|a—b|=,付+22=6.

故選：B

2.若,建?｝是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（）

（HirH15

A.伯一24,一^+jB.j2,+6,'+'G,

C.+2^2,6^+4e2|D.-2e2,e1+3e2]

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用平面向量基底的定義及共線(xiàn)的充要條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)镚—2e2=—(—e；+2e2),則9一202與—弓+26共線(xiàn)，

所以｛,-202，-6+2e2｝不能作為平面向量的基底，故選項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?6+62=21e1+ge2),則2q+e2與6共線(xiàn),

fHITIT1IT]

所以彳26+4，G+]6：不能作為平面向量的基底，故選項(xiàng)B正確,

對(duì)于選項(xiàng)C,3弓+24=g(6q+4^2j,則36+2e2與6e1+4弓共線(xiàn)，

所以｛36+24,6耳+44｝不能作為平面向量的基底，故選項(xiàng)C正確，

ITIT/ITITx

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)幾，使6—202=4(6+3?2),即6一202與令+3,不共線(xiàn),

所以-2：,：+3,｝能作為平面向量的基底，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,

故選：ABC.

3.已知角e的終邊與單位圓交于點(diǎn)-1),則cos2a=()

24716

A.---B.——cD.—

2525-125

【答案】C

【解析】

【分析】

先由三角函數(shù)的定義求出cosa,再由二倍角公式即可求出.

4_3

【詳解】角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P5，-5

4

coscr=—,

5

__1c1617

/.cos2a=2cos2a-l=2x---1=—.

2525

故選：C.

71

4.在VABC中，已知a,b,c三邊分別對(duì)應(yīng)A,B,C三角，a=5,Z?=4,C=—,則。=()

3

A.3B.721C.V41D.國(guó)

【答案】B

【解析】

【分析】已知邊角邊，可由余弦定理求第三邊即可.

【詳解】由余弦定理可得/=a2+b2-labcosC=25+16-2x5x4x—=21,

2

c=V21-

故選:B.

5.向量。，b，c在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若e為與e同方向的單位向量，則

()

【答案】D

【解析】

【分析】首先建系，確定向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由圖可知a=(—1,1),匕=(一2,-1),e=(l,0),

則a+Z;=(—3,0),所以(a+bje=-3.

6.在cABCD中，G為VABC的重心，滿(mǎn)足A&=xAB+yAO(x,yeR),則x+2y=()

45c

A.-B.-C.0D.1

33

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作圖，根據(jù)重心的幾何性質(zhì)，得到線(xiàn)段的比例關(guān)系，利用平面向量的運(yùn)算可得

AG=-AB+-AD,結(jié)合平面向量基本定理可求演V,由此可得答案.

33

【詳解】設(shè)AC,5。相交于點(diǎn)。，G為4ABe的重心，

可得。為中點(diǎn)，BG=2GO>

AG=AO+OG=AO+^OB=AO+^DB=^AB+AD)+^AB-AD)

=-AB+-AD,

33

所以x=g,y=；,

224

所以冗+2y=—+—=—.

333

故選：A.

7.已知a,A是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，/IwO,那么“。=財(cái)”是“,+叫=同+小卜的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合向量平行定理，即可判斷.

【詳解】若。=比，4/0,

所以,+叫=|(2+彳叫=|2H忖，同+2忖=|勸|+2忖=(囚+刈,，

當(dāng)2>0時(shí)，卜+勸卜同+布卜當(dāng)/<0時(shí)，忖+悶=一2即|,同+乖卜0,此時(shí)

卜+勸卜同+4忖

故"a=W是“卜+肪|=同+則”的不充分條件，

因?yàn)椴?勸閆a|+同，若卜+叫=同+用］則同+小|<同+?=同+|川忖，當(dāng)且僅當(dāng)a,X。

方向相同時(shí)取到等號(hào)，則/14|4恒成立，故allb，但兩個(gè)向量間的系數(shù)不確定，不能推出

綜上可知，2^0,那么“。=勸”是“卜+叫=同+州”的既不充分也不必要條件.

故選：D

8.若0<々<半4</<0,cos「+“=；,cos(7—,)=理，則cos]tz+g=()

A6RW「5君nV6

-----------JJ.-----------------\_z.--------------.-----------------

3399

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得sin[?+a]和sin[(-']的值，結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求解.

_.—?__/nTC7TTCTCTC13TC

【詳解】由寇a思，可r得一<—CC<—，—<-----<一，

4424422

因?yàn)閏os(f+&]=1,cos(e—2)=走，可得sin(e+々)=迪，sin1-—2)=逅，

<4；3<42；3<4J3<42；3

貝i]cos(a+?=cos=c0(n)(兀/3、.

(4J(42)(4J(42)

173272V6573

=-X--1---X--=---.

33339

故選：C.

9.若不共線(xiàn)的兩個(gè)向量。，b滿(mǎn)足|d—切=|。|,則下列結(jié)論一定正確的是()

A.|2a|>|2a-b\B.|2a|<l2a-b\

C.\2b\>\a-2b\D.\2b\<\a-2b\

【答案】c

【解析】

【分析】畫(huà)出圖形如圖所示，設(shè)0A=a，OB=b，由題設(shè)知三角形。45等腰三角形，由|。6|〉13cl

可得|〃|>|ga-6|,從而得出結(jié)論.

【詳解】如圖,

則癡=a-b，

由已知|a—切=|。|,有|。例=|前，

所以三角形。46為等腰三角形.

設(shè)C為。4的中點(diǎn)，則,且3。=工4一人，

2

所以|。3|〉|8。|,^\b\>\^a-b\,

所以|26\>\a-2b\.

故選：C.

10.向量集合5={。|。=(羽丁),蒼丁€11},對(duì)于任意a，beS>以及任意4e[0,1],都有

2G+(1-2)Z?GS,則稱(chēng)集合S是“凸集”，現(xiàn)有四個(gè)命題：

①集合M={a|a=(x,y),yN12}是“凸集"；

②若S為“凸集”，則集合N={2a|aeS}也是“凸集”；

③若A，4都“凸集”，則也是“凸集”；

④若A，4都是“凸集”，且交集非空，則Ac4也是“凸集”.

其中，所有正確的命題的序號(hào)是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題目中“凸集”的定義，結(jié)合集合的運(yùn)算，證明命題的正確性；利用舉反例的方法，證明命題

的錯(cuò)誤，可得答案.

【詳解】由題意得，若對(duì)于任意。4,OBeS,線(xiàn)段A3上任意一點(diǎn)C，者B有。CeS，

則集合S是“凸集”，由此對(duì)結(jié)論逐一分析

對(duì)于①，M={a'=(x,y),y?尤2},若對(duì)于任意4(%,%),3(%2，72)滿(mǎn)足%2x；，%2%，則

OAeM,OBwM,

由函數(shù)y=%2的圖象知，對(duì)線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)。(%,%)，都有為2后，

即。CeM，故/為“凸集"，①正確

對(duì)于②，若S為“凸集”，則對(duì)于任意a4eN,

此時(shí)a=2a,f3—2b,其中a,bGS,

對(duì)于任意2?+(l-2)^-2(2a+(l-2)Z?)GN,故N為“凸集”，②正確

對(duì)于③,可舉反例，若于={即=(x,y),y=x},&={a|a=(x,y),y=-x},

任取〃，=(%,王)￡A,〃=(%2，W)eA，

則對(duì)于任意任意4c[0,1],2m+(l-2)7i=(2^+x2-2x2,2x,+x2-2x2)G,

所以集合A是“凸集”，

任取dG4,d=(x2,-x2)eA,,

則對(duì)于任意任意4e[0,1],2c+(1—X)d=(a%+x,—九v,,—A,Xy—%+彳％)e^2，

所以集合上是“凸集”，

取°=(1,1)6山4，/=l)eW4，

但ge+5/=(1,0)wA,

所以不是“凸集”，故③錯(cuò)誤，

對(duì)于④，若A，4都是“凸集”，則對(duì)于任意g,/zeA「4，

任意義e[0,1],則Xg+(1—eA,且4g+(1—幾)為w4,

故2g+(l-X)/zeAc4,故Ac4也是“凸集”，④正確；

故選：B.

第II卷(非選擇題共100分)

二，填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知向量a=(L2),b=(-3,k),若aHb，則實(shí)數(shù)左=

【答案】—6

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求解即可.

【詳解】由a//，則lx左=2x(—3),解得上=—6.

故答案為：-6.

12.已知sina-cosa,aGf0,^-j,貝(Jsina+cosa=

2

【答案】顯

2

【解析】

【分析】可先對(duì)sina-cosa=也^兩邊平方，求出2sinecoscr的值，再將(sine+cosaf展開(kāi)并代入

2

2sincrcoscif的值，最后結(jié)合a的取值范圍確定sina+cosa的直

【詳解】將sina-cose=j?兩邊平方可得(sintz-cost/)?=(-^-)2-

則l-2sinacosa=—,2sinacosa=—

22

將(sina+cosa)2=sin2a+2sin。cosa+cos2。=1+2sinacos。

JI

因?yàn)閍w(0,5),在這個(gè)區(qū)間內(nèi)sina>0,cosa>0,所以sinc+cosa>0.

B_瓜

可得sina+cosa=

~2~^2

故答案為：旦

2

13.已知角。為第二象限角，且sin[a+,71)=一不，則tan2a=

2

24

【答案】y

【解析】

【分析】先利用誘導(dǎo)公式求出cosa,再利用三角函數(shù)同角關(guān)系求出cos%tanc的值，然后利用正切的二

倍角公式可求得結(jié)果

43

【詳解】因?yàn)閟in所以cosa=-

55

因?yàn)閍是第二象限角,

所以sin。=A/1-cos2a=—,

4

sina54

所以tana=------=8=一彳,

COS6Z_￡3

14.已知。為VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿(mǎn)足。4+QB+OC=0,且網(wǎng)=2,畫(huà)=3,兇=4,設(shè)夕為

向量。A。3的夾角，則cos6=OAOB+OAOC=

【答案】①.%#。25②.T

【解析】

【分析】由已知Q4+OB+OC=0可知OC=-(OA+OB)，兩邊同時(shí)平方可求0403，然后利用向量數(shù)

量積公式即可求解cos。；同理可求O4OC，即可求得。4-O5+04-OC.

【詳解】OA+OB+OC^O>..OC^-(OA+OB),

:.\OC\={-OA-OB)1=|<9A|2+|OB|2+2OAW,即16=4+9+204.05，解得04.05=3,

3

cOAOB21

cos'=?--------1==—■

OAn082x34

同理可得：=(—QA—0C)22a即9=4+16+204.OC，解得

OAOC=--.

2

311

:.OAOB+OAOC=-——=-4.

22

故答案為：一；—4.

4

15.乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八個(gè)卦象組成，分別代表天、地、雷、風(fēng)、水、火、

山、澤八種自然現(xiàn)象.如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFG"，其中

OA=2,則下列命題：

②。4+0。=-后。尸；

③OA在0B上的投影向量為走。8；

2

④若點(diǎn)P為正八邊形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP/3的最大值為4.

其中正確命題的序號(hào)是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷①，利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算判斷②，利用投影

向量公式判斷③，找到=最大時(shí)的條件，合理作出圖形，將目標(biāo)式的最大值轉(zhuǎn)化為求

,⑷JAM］的最大值，最后結(jié)合二倍角公式求解最大值判斷④即可.

【詳解】由題意，正八邊形每個(gè)邊所對(duì)的角都是45，中心到各頂點(diǎn)的距離都是2,

有0CLQ4,OC^OE,

如圖，以。為原點(diǎn)，oc為x軸，OE為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)椤?=2,所以由正八邊形性質(zhì)得。4=05=OE=O尸=2,

則0(0,0),5(6-揚(yáng),及0,2),4(0,—2),C(2,0),尸(—倉(cāng)物,

下面，我們開(kāi)始逐個(gè)分析題目中給定結(jié)論的正確性，

對(duì)于①，易得O3=(J5,—、。)，OE=(0,2),則ORO應(yīng)=—20，故①錯(cuò)誤，

對(duì)于②，易得。4=(0,—2),0c=(2,0),OF=(-同向,

則OA+OC=(2,—2),-V2OF=(2,-2),滿(mǎn)足OA+OC=-0OP,故②正確，

對(duì)于③，易得04.03=20，。@2=(—后)2+(夜)2=4,

OAOB2①42

由投影向量公式得0A在08上的投影向量為n—F°B=T°B=-^~°B,故③正確,

\OB\一/

對(duì)于④，易得A3=(JI,2—后)，且設(shè)AB,A尸的夾角為巴

而。(立,0),則CD=(夜—2,后)，易得AB.CD=O，故ABLCD，

如圖，延長(zhǎng)。C交A3的延長(zhǎng)線(xiàn)于以，連接AC,此時(shí)AP在A5上的投影為AM，

當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段。上時(shí)，此時(shí)AP在AB上的投影網(wǎng)cosZBAP=,回最大,

3兀7T

易得一。4c是等腰直角三角形，ZOAB=—,則NCAM=2,

88

JT

由勾股定理得AC=20，在直角三角形C4M中，AM=ACcos-,

8

7T

在等腰三角形Q45中，AB=2OAsin-f

8

則AP-AB的最大值為|A臥|⑷0=20Asin--ACcos三=2義叵義2丘=4，故④正確.

1111882

故答案為：②③④

三、解答題：本題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.在VABC中，a2+b2-c2=ab.

(1)求NC的大小；

⑵若a=2,再?gòu)臈l件①、條件②中任選一個(gè)作為已知，求)的值.

條件①：VA5C的面積為38；

2

條件②：cosA=----.

7

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

TT

【答案】⑴-

3

(2)b=3

【解析】

【分析】(1)將已知等式化為cos。，由此可得C；

(2)若選①，利用三角形面積公式可直接構(gòu)造方程求得》；若選②，由同角三角函數(shù)關(guān)系可求得sinA,

利用正弦定理可得c,根據(jù)余弦定理可構(gòu)造方程求得6.

【小問(wèn)1詳解】

a2+/-c2

由a2+b2—c2=ab得:—,即cosC=—,

lab22

Ce(O,7i),=

【小問(wèn)2詳解】

若選條件①，SARr--absmC-bsva—=^-b=,二〃=3；

ABC2322

若選條件②，-cosA=2互，Ae(O,7i),

asinC

由正弦定理得:

sinA

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=4+b2-2b=l，

解得：b=—l(舍)或6=3,.'.b=3.

17.如圖，在梯形ABC。中，AB=2DC,ZBAD=9Q°,AB=AD=2,E為線(xiàn)段BC中點(diǎn)，記

AB=a,AD=b'

(1)用。，6表示向量4￡；

(2)求AE的值;

(3)求4E與80夾角的余弦值.

?31

【答案】(1)AE=-a+-b

42

⑵半

⑶-等

【解析】

【分析】(1)利用向量加減法的三角形法則，結(jié)合向量的線(xiàn)性運(yùn)算得到結(jié)果即可.

(2)由向量的數(shù)量積定義和向量模的求法求解即可.

(3)由向量的數(shù)量積和向量的夾角公式計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

如圖，連接AC,

因?yàn)镋為線(xiàn)段3C的中點(diǎn)，AB=a,AD=b

所以AE=g(A3+AC),因?yàn)锳B=2Z)C,所以。C=—4,

12

由向量的加法法則得AC=AD+DC=AD+-AB=b+-a,

22

故一(/LB+AC)=—f6?+Z?H—=一OH—b,即AE=—ci-\—b成立.

2212)4,24"2

【小問(wèn)2詳解】

由于/BAD=90，可得〃./?=()，又有同=2,忖=2,

所以AE2=|AEj=["「+；a”+；M；

=2—,故網(wǎng)=理

1644

【小問(wèn)3詳解】

由向量的減法法則得3D=AD—A3=Z?—a，

由于ZBAD=90°，可得。0=0，又有同=2利=2,

得到=卜_《2=|『—2。0+同2=4+4=8,故,4=20,

則AEBD=1；。+口)(5_(7)=-1-|a|2+=_：x4+gx4=—l,

[―AEBD-1V26

由上問(wèn)得他=半，故"SAE，必阿囪=正短=一三

18.已知函數(shù)/(x)=sin2x—百cos2x+l.

(1)求/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間;

jr5兀

⑵若XC時(shí)，不等式〃力+加＞2恒成立，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【答案】(1)+]2-+而(左eZ)

(2)(l+"+oo).

【解析】

【分析】(1)利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

兀5兀

(2)參變分離可得機(jī)＞2—/(x)在xe上恒成立，求出/(同面/即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(%)=sin2x-6cos2%+l=2—sin2x-cos2x+1=2sin^2x--1-j+l.

令“+2左兀＜2x——＜+2左兀(kGZ),解得上^+左兀＜x?11兀+左兀(：eZ),

232v71212v7

5兀1Ijr

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為—+kit,+kit(ZEZ).

【小問(wèn)2詳解】

JT5元JT5冗

當(dāng)XC時(shí)，不等式/(X)+機(jī)＞2恒成立，即不等式相＞2-7(%)在XC—,—上恒成立,

,「兀5兀]~?兀「2兀4K1??.J兀、百石

因t為，所以—~，所以sin2%—彳￡—，

_26J3|_33J13)22

所以〃加=20吟+1=1-3

所以根＞2—(1—6)=根＞1+石，即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(1+6,+。).

r(1百)

19.己知向量a=(G,-1),b=—-.

(22J

(1)求與。平行的單位向量e的坐標(biāo)；

(2)設(shè)x=a+(/+2)〃，y=—2HS+6,若存在/e[0,2],使得成立，求左取值范圍.

/迂4、(也61

【答案】(1)—或一--

\227\227

【解析】

【分析】(1)先由坐標(biāo)計(jì)算模長(zhǎng)，再得到與其平行的單位向量即可;

(2)由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)/(X),利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的取值范

圍和單調(diào)性以及判別式討論即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可得同=(3+1=2,所以與。平行的單位向量為:或/=一￥，^

【小問(wèn)2詳解】

r⑸

因?yàn)椤?(6,一1),b=—,所以。=0，

(22J

x-y=［a+(廠+2)》］,［―2k,to+Z?J=—2,ktu2+a-b—2kt(t?+2)b,4+(『+2)Z?~,

xLy,:.-2kt\a^+(Z2+2)|Z?|2=O,|?|=2,|/?|=1,

—4R+2=0.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程』一48+2=0在。e［0,2］內(nèi)有解.

令/(。=r—4位+2,

①當(dāng)2左W0，即左W0時(shí)，/⑺在［0,2］內(nèi)為增函數(shù)，/(0)=2,

方程7—4Q+2=0在［0,2］內(nèi)無(wú)解.

②當(dāng)0<2左W2,即?！醋驥1時(shí)，由△=16^—820,