典型例題：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式_第1頁(yè)
典型例題：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式_第2頁(yè)
典型例題：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式_第3頁(yè)
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1/3數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【典型例題】例1求證：．分析：該命題意圖：本題主要考查應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法和一般步驟.用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的．但從證題的難易來(lái)分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過(guò)程中結(jié)構(gòu)不變．證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，右邊=，不等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即.則當(dāng)時(shí)，所以則當(dāng)時(shí)，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切均成立．點(diǎn)評(píng)：本題在由到時(shí)的推證過(guò)程中，（1）一定要注意分析清楚命題的結(jié)構(gòu)特征，即由到時(shí)不等式左端項(xiàng)數(shù)的增減情況；（2）應(yīng)用了放縮技巧：例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：⑴當(dāng)時(shí)，左邊右邊，⑵假設(shè)時(shí)，命題成立，即則當(dāng)時(shí)，左邊右邊而所以左邊右邊，即時(shí)不等式成立。由⑴⑵知原不等式對(duì)一切均成立。例3求證：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，原不等式成立（2）設(shè)n=k時(shí)，原不等式成立即成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，即n=k+1時(shí)，命題成立綜合（1）、（2）可得：原命題對(duì)恒成立。例4已知，為正整數(shù)．（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，≥；（Ⅱ）對(duì)于≥，已知，求證：，；（Ⅲ）求出滿足等式的所有正整數(shù)．解：（Ⅰ）證明從略．（Ⅱ）證明：當(dāng)≥，≤時(shí)，由（1）得≥，于是≤，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)≥時(shí)，＜，所以，即＜，即當(dāng)≥時(shí)，不存在滿足

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