導數(shù)中的加線問題

目錄

題型一在某一點的切貨.............................................................2

題型二過某一點的切線.............................................................2

題型三切線中平行、垂直、蟲合問題...................................................3

題型四求公切線（兩個切點）.........................................................4

題型五切線的條數(shù)問題.............................................................5

題型通關..........................................................................6

題型一在某一點的切線

【解題規(guī)律?提分快招】

在某一點的切線方程

切線方程g—/（g）=r（g）Q-g）的計算:函數(shù)g=/Q）在點Z（g。，/（g））處的切線方程為g—/（g）=

r（g）（,—刈）,抓住關鍵也二斤。［.

［典例訓練】

一、單選題

1.（2025高三?全國?專題練習）函數(shù)/3）=資-1+*111刀的圖象在點（1,/（1））處的切線方程是（）

A.2c—g—1=0B.2rr+y—3=0C.2N—g—3=0D.c+g—2=0

2.（2025高三?全國?專題練習）曲線/3）=//+力在點（1,京）處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為

（）

A.4B.—C.JD.春

9333

3.（24-25高三上?河北保定?期末）已知點A（-1,-2）在拋物線C:x2=2py（p>0）的準線上，過點A的直

線與拋物線在第一象限相切于點記拋物線的焦點為凡則出尸|=（）

9-R11C13D.學

A，2B-TC-T

二、填空題

4.（24-25高三上?湖南?期中）曲線/Q）=ln（2x—1）在點（1J（1））處的切線方程為.

5.（24-25高三上?山東濰坊?期中）已知點P（y,0）在函數(shù)/（,）=sinoc—手（0V0V3）的圖象上，則曲

線沙=/（2）在點P處的切線方程為.

題型二

【解題規(guī)律?提分快招］

過某一點的切線方程

r

設切點為P（XO,%），則斜率k=f（xo）,過切點的切線方程為：y—%=r（g）3—20）,

又因為切線方程過點4M，九）,所以乃—%=/'（/0）（館一g）然后解出新的值.（而有幾個值，就有

幾條切線）

【典例訓練】

一、單M

6.（2024高三.全國.專題練習）設曲線4=t+In/的一條切線過點（0,1）,則此切線與坐標軸圍成的三角形

面積為（）

________P

C——De2

A-2(l+e)E-1+e

'2(e2+l)-e2+l

7.(24-25高三上?貴州遵義?階段練習)若函數(shù)/Q)=a\nx+2T的圖象在點(1,2)處的切線不經(jīng)過第二象

限，且該切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為則。=()

6

92

A.-1B.—仔C.5D.1

oo

8.(24-25高三上?天津武清?階段練習)若直線y二二近c與曲線g=hi7+々一相切，則k=()

2x

A.In2+：B.-yC.4D.4

4

二、填空題

9.(2024?天津和平?二模)過點(0,0)作曲線y=2"(>e_R)的切線，則切點的坐標為.

10.(2024高三?全國?專題練習)寫出曲線夕=In⑶過坐標原點的切線方程：,.

11.(24—25高三上?廣東?開學考試)已知函數(shù)口交'過原點0(0,0)作曲線"=/(為的切線，其

I111vt-,JUU?

切線方程為.

?重切線中平行、垂直、重合問題

【典例訓練】

一、單選題

12.(24—25高三上?湖北?期末)函數(shù)/⑸=—1II(2T)在宓=力處的切線與直線夕=32+5垂直，則a=

X/

()

B(

A--f,一今CJ，J6_D-^1―2

13.(2024?山西?模擬預測)已知函數(shù)/(力)=(a—3)爐+(a—2)/2+(a—l)x+a若對任意gG_R,曲線g=

f(x)在點(％/(&))和(—g,/(—g))處的切線互相平行或重合，則實數(shù)。=()

A.0B.1C.2D.3

14.(23-24高二下?河北石家莊?期中)設曲線/(2)=aex+b和曲線gQ)=cos掾+c在它們的公共點

F(0,2)處有相同的切線，則+c的值為()

A.0B.7tC.2D.3

15.(2024高三?全國?專題練習)已知/(力)=x3+nx—52,g(rc)=x2—31n/,若直線/+0+??2=0是曲線g=

/(/)與曲線g=gQ)的公切線，則TH—72=()

A.-30B.-25C.26D.28

16.（2024?湖南長沙?三模）斜率為1的直線Z與曲線y=ln（rr+a）和圓/+才=J都相切，則實數(shù)a的值為

（）

A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或1

17.（23-24高三上?四川內江?階段練習）若曲線y=In宓在點（g,lng）處的切線也是夕=e。的切線，則為一

定是下列函數(shù)（）的零點.

A.f{x}=Inx———B.f（x）=Inrc—

x+1x—1

c./（c）=Inx-D.f（x）=Inrc-

x±2x-rl

二、填空題

18.（2024高三?全國?專題練習）已知曲線夕=（T2+rr）lnx+2在點（1,2）處的切線為Z,若直線小〃Z,則直線

TH的方程可能是.（寫出一個正確答案即可）

2

19.（24—25高三上?湖南永州?期末）已知直線l:ax—4y+3=0是曲線C1-.y—3Vx和C2：y=kx的一條公切

線，則a+A;=.

題型四求公切線（兩個切點）

【解題規(guī)律?提分快招］

求公切線方程

已知其中一曲線上的切點，利用導數(shù)幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點;不知切點

坐標,則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關系式，解方程.

具體做法為：設公切線在y=f（x）上的切點/（◎，/3J）,在夕=。3）上的切點￡（電,9（，2）），

則廣（g）=g，（g）=細匕以垃

0—62

【典例訓練】

一、單地

20.（24—25高三上?江蘇南通?階段練習）設函數(shù)/㈤=爐+，①2+QN.若函數(shù)y=于⑸在①=g和N=g+

1的切線互相平行，則兩平行線之間距離的最大值為（）

21.（24-25高三上?廣東廣州?階段練習）若直線y=kx+b是曲線/（①）=e"-2023與g（/）=e"+2024-2025的

公切線，則k=（）

2

A]R2023c2025口

.2025,2024*4047,4047

22.（2025高三?全國?專題練習）已知直線4=心力+》是曲線沙=1:的切線，也是曲線夕=—0-，的切線,則k+

b=（）

A.—B.1C.eD.1+e

e

二、填空題

23.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）若曲線y=111（2?+2）在1-,0）處的切線也是曲線y=ex+x+

a的切線，則a=.

24.（24-25高三上?江蘇?階段練習）若曲線G?=靖與曲線C2:y=ae"存在公切線，則a的最大值.

25.（24—25高三上?福建福州?階段練習）若曲線夕=Imc在點P（如幼）處的切線與曲線夕=e”相切于點

。（電,紡），則一\+電=

力1-1

26.（24-25高三上?山東聊城?階段練習）一條直線與函數(shù)y=111?和夕=T的圖象分別相切于點P（g,%）和

點（3（立2,改）,則（21一1）（2：2+1）的值為.

題型五切線的條數(shù)問題

【解題規(guī)律?提分快招]

切線的條數(shù)問題

切線條數(shù)判斷，一般轉化為關于切點橫坐標的函數(shù)零點個數(shù)判斷問題.

【典例訓練】

一、單i&H

27.（2023?四川涼山?一模）函數(shù)/（＞）=Jd+alnc在區(qū)間（1,2）的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則a的

取值范圍為（）

A.（—2,1）B.（—2,—1）C.（—2,0）D.（—3,—2）

28.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習）過點⑶1）作曲線夕=InQ-1）的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

29.（23-24高二下?浙江衢州?期末）若曲線夕=（ax+l）lnx有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是

（）

A-（y）B.（0芳）C.D.（^,e2）

30.（2024.四川內江.模擬預測）若過點（小,"）（巾>0）可以作兩條直線與曲線4=[in多相切，則下列選項正

確的是（）

A.2n<himB.2n>InmC.2m>Inn>0D.2m<Inn<0

31.（2024.山東.模擬預測）若過點（1,小）可以作沙=（c+l）e工的三條切線，則實數(shù)力的取值范圍是（）

A.（-4b2,0）B.（—6e-3,0）C.（—6e/2e）D.（e,2e）

32.（2024?福建泉州?模擬預測）若曲線與夕=te“t￥0）恰有兩條公切線，則力的取值范圍為（）

A-（°4）B.%,+8）

C.（-8,0）U段,+8）D.（―8,0）U⑶

二、多選題

33.（24-25高三上?河北邢臺?期末）若過點尸（a,0）恰好可作曲線夕=—的兩條切線，則a的值可以為

e。

（）

A.eB.e2C.—eD.—e2

34.（24-25高三上?四川成都?階段練習）對于函數(shù)/Q）=Imc-1,則下列判斷正確的是（）

A.直線"=空是/Q）過原點的一條切線B./（c）關于y=rr對稱的函數(shù)是0=e，+i

C.過一點（a,b）可以有3條直線與/（為相切D.—2

三、填空題

35.（24-25高三上?江蘇南通?開學考試）已知曲線/Q）=靖與g（乃=a+Inrr有公共切線,則實數(shù)a的最大

值為?

36.（2024?云南昆明?三模）過點（l,m）可以向曲線/（力）=加。作n條切線，寫出滿足條件的一組有序實數(shù)對

（m,n）___

37.（24-25高三上?湖北?階段練習）已知函數(shù)/3）=&。，93）=!108。（*+1）,其中￡1>1,當兩函數(shù)圖象對

應曲線存在2條公切線時則a的取值范圍是.

題蟄通關

一、單選題

38.（24—25高三上?天津?期中）已知函數(shù)/⑺=+爐+cose,則曲線y=f（x）在點（y,/（f））處切線的斜

率為（）

A.44+iB.44-iC.44D.42+1

39.（24—25高三上?甘肅天水?階段練習）/（/）=2（2021+Imc）,若/，（0）=2022,則g等于（）

A.e2B.1C.In2D.e

40.（24-25高三上?安徽?階段練習）已知曲線/Q）=鏟_ITnQ+l）,（x>-l）在點（0,/（0））處的切線與

直線x+2y+5=0垂直,則a的值為（）

A.1B.—1C.3D.—3

41.（24-25高三上?江蘇淮安?階段練習）已知P是曲線C-.y=e?”上一點，直線l-.x+2y+c=0經(jīng)過點P,且

與曲線。在P點處的切線垂直,則實數(shù)c的值為（）

1Y12

A.-4-ln2B.-4-3C.-2D.-1

42.（24-25高三上?福建?期中）若直線g=Q/與曲線g=e2。相切，則Q=（）

A.2B.eC.2eD.e2

43.（2024.四川眉山.一模）曲線g=（1—Me?/在點（1,0）處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（）

44.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）已知曲線夕=宙在N=1處的切線/恰好與曲線夕=。+1113相切,

則實數(shù)Q的值為（）

A.1B.2C.3D.4

45.（24—25高三上?四川成都?階段練習）已知曲線G：y=4e"在點P處的切線與曲線。2：9=—?。á?gt;0）

22x

在點Q處的切線平行，且直線PQ垂直于2軸,則|PQ|=（）

A.eB.2eC.3eD.e或3e

46.（24-25高三上?河南?階段練習）若直線y=x-九是函數(shù)/（c）=ln（T+m）的一條切線，則m2+n2的最

小值為（）

A.1B.2C.!D.4

24

47.（24-25高三上?山西?階段練習）曲線/（乃=Inx-1與gQ）=InQ-1）的公切線的斜率為（）

A.1B.-1C.eD.—e

48.（2024.江蘇徐州.模擬預測）若曲線^="（上〈0）與^=63恰有2條公切線，則k=（）

x

A.—4B.--C.—士D.-1

Veee2

49.（24-25高三上?云南昆明?期中）已知函數(shù)_f（c）=lnc和兩點4（l,0）,B（em,a）,設曲線口二/原）過原點

的切線為Z,且〃/AB,則小所在的大致區(qū)間為（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）

二、多選題

50.（2024.全國.模擬預測）已知函數(shù)/（尤）=爐+/,點A（a,2a）（aW0）,則下列說法正確的是（）

A.過點A與/（1）的圖象相切的切線的斜率恒不為1

B.若a>l,則過點人可作3條直線與/（為的圖象相切

C.若過點A且斜率為4的直線與/（工）的圖象有2個交點，則a=l

D.若以①）圖象上任意兩點連線所在直線的斜率恒大于點A與點（0,1）連線所在直線的斜率，則a的取

值范圍是（0,1]

51.（24-25高三上?重慶?階段練習）記函數(shù)/（c）=|ln引的圖象為曲線。，點P（a,b）不在曲線。上，過點P

作曲線C的切線，則下列說法正確的是（）

A.若