第18章勾股定理提優(yōu)測評卷

時(shí)間：120分鐘總分:150分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

1.如圖，在長方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上,若以點(diǎn)A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧，交數(shù)軸于

點(diǎn)M,則點(diǎn)M表示的數(shù)為（）.

A.2B.V5C.V5-1D.V10-1

I)

-1012M

(第1題)（第3題）

2.以下列各組數(shù)為三角形的三邊，能組成直角三角形的是（）.

A.32,423B.W6的C.11,12,13D.8,15,17

3.從前有一天，一個(gè)笨漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺.他的鄰居

教他沿著門的兩個(gè)對角斜著拿竿，這個(gè)笨漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了.求竹竿有多長.設(shè)竹竿長x尺，則根據(jù)題意，

可列方程（）.

2222

A.(x+4)2+(x+2)=B.(x-4)2+(x-2)=

C.(x—4)2+(%+2)2=X2D.(x+4)2+(%—2)2=X2

4.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（).

A.1,2,V5B.0.6,0.8,111D.9,40,41

’4'5'3

5.已知直角三角形的三邊a,b,c滿足c>a>b,分別以a,b,c為邊作三個(gè)正方形，把兩個(gè)較小的正方形放置在

最大正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個(gè)正方形無重疊部分的面積為Si，均重疊部分的面積為S2,則（）.

AS1>S2B.S1<S2

C.S]=S2D.S],S2大小無法確定

6.如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB,CD,EF,GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊

的線段是（）.

A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF

7.若3,x,5分別是一個(gè)直角三角形的三邊長，則x的值是（).

A.4B.V34C.4或34D.4或回

8.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖⑴）.圖⑵由弦圖變

化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別

為(Si，S2,S3，若Sr+S2+S3=27,則S2的值是().

A.6B.9C.12D.15

（第8題）〈第9題）

9.如圖，其中能夠驗(yàn)證勾股定理的圖形有（）.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

10.如圖，在學(xué)校工地的一根空心鋼管外表面距離左側(cè)管口2cm的點(diǎn)M處有一只小蜘蛛，它要爬行到鋼管內(nèi)表

面距離右側(cè)管口5cm的點(diǎn)N處覓食，已知鋼管橫截面的周長為18cm,長為15cm,則小蜘蛛需要爬行的最短距離

是（）.

（第10題）

A.5cmB.4cmC.SVScmD.15cm

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11.若三角形的三邊長a,b,c滿足2a6=（a+匕A-c?,則此三角形的形狀是一三角形.

12.傳統(tǒng)文化《九章算術(shù)》勾股定理在《九章算術(shù)》中的表述是：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦.”即c=

V^+^（a為勾，b為股，c為弦）,若“勾”為2，“股為3,則“弦”最接近的整數(shù)是

13.小瑩計(jì)劃購買一臺圓形自動掃地機(jī)，有以下6種不同的尺寸可供選擇，直徑（單位：cm）分別是:34,34.5,37,39.5,

40,42.如圖是小瑩家衣帽間的平面示意圖，掃地機(jī)放置在該房間的角落（鞋柜、衣柜與地面均無縫隙），在沒有障礙物

阻擋的前提下，掃地機(jī)能從底座脫離后打掃全屋地面，小瑩可選擇的掃地機(jī)尺寸最多有種.

o9cm

c

門

100cm鞋柜

地面

-----冷地機(jī)

108cm

底座*卜8°cin-|--120cm—?-100cm-

（第13題）

14.如圖，在等腰直角三角形ABC中，乙ACB=90。點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CP=1,BP=魚，AP=2,以

CP為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，作等腰直角三角形DCP.

⑴線段AB的長度為;

（2）△4PB的面積為.

三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

15.（2024.廣東廣州南沙區(qū)期末）如圖，在R）△4BC中,乙4cB=90°,AC=6,BC=8,以點(diǎn)A為圓心,AC長

為半徑畫弧交AB于點(diǎn)D,求BD的長.

（第15?）

16.如圖，小肖同學(xué)從滑雪臺A處開始向下滑至B處.已知滑雪臺的高度AC為14米，滑雪臺整體的水平距離

BC比滑雪臺的長度AB短2米，則滑雪臺的長度AB為多少米?

〈第16題）

四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

17.如圖，在四邊形ABCD中，AD||8C,,對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，且8。團(tuán)CD于點(diǎn)D,若CD=2,。。=倔求

△04B的面積.

18.傳統(tǒng)文化趙爽弦圖（2024.清遠(yuǎn)模擬）三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽第一次對勾股定理加以證明：用4個(gè)全等的直

角三角形拼成如圖所示受圖”.RtAABC中,NACB=9（T,AC=b,BC=a,AB=c,大正方形的面積=小正方形的面積+4

個(gè)直角三角形的面積，化簡證得勾股定理：a2+b2=c2.

⑴若（b=2a,則.S小正方形S大正方形=」

（2）如果大正方形的面積是13,a=2,求小正方形的面積.

B

（第18題）

五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）

19.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

（1）求四邊形ABCD的周長；

（2）連接AC,試判斷△ACD的形狀,并說明理由.

（第19題）

20.如圖，在4ABC中，AD,AE分別是高和角平分線.

⑴若/BAC=86o,NC=32。,求/DAE的度數(shù)；

⑵若AB=15,AC=20,AD=12,求證:/BAC是直角.

六、（本題滿分12分）

21.閱讀:如圖⑴，在△ABC中,3/A+NB=18（T,BC=8,AC=10或AB的長.

小明的思路如圖⑵作BEXAC于點(diǎn)E,在AC的延長線上取點(diǎn)D,使得DE=AE,連接BD,易得NA=/D,AABD

為等腰三角形，由3NA+/ABC=18。。和/A+/ABC+/BCA=180。,易得/BCA=2/A,ABCD為等腰三角形，依據(jù)已

知條件可得AE和AB的長.

回答下列問題：

⑴在圖⑵中」AE=,AB=-----------;

⑵在^ABC中,NA,NB,NC的對邊分別為a,be如圖⑶，當(dāng)3NA+2NB=180。時(shí)，用含a,c的式子表示b.

七、（本題滿分12分）

22.［問題情境］

小剛遇到這樣一個(gè)問題如圖⑴，在RtAABC中,NACB=90。,/A=60。,CD平分NACB,試判斷BC與AC,AD

之間的數(shù)量關(guān)系.

［操作發(fā)現(xiàn)］

小剛發(fā)現(xiàn)，如圖⑵，利用軸對稱做一個(gè)變化，在BC上截取（C4=CA,,連接DA1得到一對全等的三角形，

從而將問題解決.

請回答：（1）在圖⑵中，小剛得到的全等三角形是4；

（2）BC與AC,AD之間的數(shù)量關(guān)系是.

［解決問題］

參考小剛思考問題的方法，解決問題：

如圖（3）,在四邊形ABCD中,AC平分/BAD,BC=CD=5,AC=3代，AD=2.求四邊形ABCD的面積.

八、（本題滿分14分）

23.如圖，在△ABC中./B=90。,AB=16cm,BC=12cm,P,Q是△ABC邊上的兩個(gè)動點(diǎn),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A

-B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B-C-A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，

設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.

⑴出發(fā)2秒后，求PQ的長.。

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動時(shí)間t.5\￡

（第23題）

1.D［解析］由題意得AC=7AB2+BC2=山15+402=同,故可得AM=舊.由題意，知點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，，點(diǎn)M表示的

數(shù)為丁花-1.故選D.

易錯(cuò)警示在RMABC中利用勾股定理求出AC的長，繼而得出AM的長，但需要注意的是點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,所以點(diǎn)M表

示的數(shù)要減去1,即為VIU-1.

2.D［解析］4(32)2+(42)2*(52)2,,不符合題意；B.(V3)2+(V4)2*(逐)2,不符合題意；C.II2+122#132,不符合題意；D

.82+152=172,,符合題意.故選D.

3.B［解析匕竹竿的長為x尺，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺，

..門框的寬為(x-4)尺，長為(x-2)尺,

...可列方程為(x-4)2+(x-2尸=/.故選B.

4.D［解析］選項(xiàng)A,B,C的三個(gè)數(shù)不都是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)D中，92+402=4",是勾股數(shù)，符合題意.故選

D.

■知識拓展欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩條短邊的平方和是否等于最長邊的平方.

5.C［解析了.直角三角形的三邊a,b,c滿足c>a>b，，該直角三角形的斜邊為c.

c2=a2+b2,■■■c2—a2—b2=0,

2222

■■■S1=c—a—b+b(a+b—c)=ab+b—be

2

?：S2=b(a+b—c)=ab+b—be,

Si=S2.故選c.

?思路引導(dǎo)本題重點(diǎn)考查勾股定理、正方形的面積公式、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想解決面積問題等知識與方法，確定三邊為a,b,c的直角三

角形的斜邊是解題的關(guān)鍵.由直角三角形的三邊a,b,c滿足c>a>b，可知該直角三角形的斜邊為c,則c2=a2+爐，所以c2-a2~

b2=0,依次表示出Si和Sz進(jìn)行比較即可得到問題的答案.

6.B［解析］設(shè)每個(gè)正方形的邊長為1,則由勾股定理可得AB2=8,CD2=20,EF2=5,GH2=13,易得AB2+EF2=GU,即能構(gòu)成

一個(gè)直角三角形三邊的線段是AB,EF,GH.故選B.

7.D［解析］當(dāng)邊長為x的邊為直角邊時(shí)，則5為斜邊，由勾股定理，得x=府工行=4；當(dāng)邊長為x的邊為斜邊時(shí)，由勾股定理,

得x=V52+32=原故選D.

易錯(cuò)警示本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是看到3,5分別是一個(gè)直角三角形的邊長，就想到"勾3,股4,弦5",運(yùn)用勾股定理求得第三

邊長為4.其實(shí)在運(yùn)用勾股定理時(shí)，斜邊不一定是5,斜邊也可能是所求的第三邊.

8.B［解析］:圖中八個(gè)直角三角形全等，由圖形可知，Si=S2+4SADHG,S3=S2-4SADHG.

又S［+§2+S3=27,S2+4SADHG+S2+S2-4SADHG=27,二3S2=27,S2—9.故選B.

9.D［解析］第一個(gè)圖形：中間小正方形的面積(c2=(a+b)2-4x片瓦化簡，得c2=a?+眄可以證明勾股定理；第二個(gè)圖形：

222

中間小正方形的面積(b—a/=c-4x1a瓦化簡a+b=c?,可以證明勾股定理；第三個(gè)圖形：梯形的面積=|(a+b)(a+

b)=2X：xab+#化簡，得a?+/=c?,可以證

明勾股定理.故能夠驗(yàn)證勾股定理的有3個(gè).故選D.

關(guān)鍵提醒本題考查了勾股定理的證明、正方形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，運(yùn)用面積法得出等式是

解決問題的關(guān)鍵.

10.D［解析］①如圖(1),為圓柱體側(cè)面展開圖，

過點(diǎn)M作MALAN于點(diǎn)A，作出點(diǎn)N關(guān)于底面直徑所在直線的對稱點(diǎn)N',連接MN',

根據(jù)題意可知，AM=1x18=9(cm),AN=15-2+5=18(cm),

在Rt△AMN'中，根據(jù)勾股定理彳導(dǎo)

MN'=VAMP+AN'2=/92+182=975(cm)；

②如圖(2),為圓柱體側(cè)面展開圖,

過點(diǎn)N作NB，BM于點(diǎn)B,作出點(diǎn)M關(guān)于底面直徑所在直線的對稱點(diǎn)M',連接M'N,

根據(jù)題意，可知BW=1x18=9(cm),BM'=15-5+2=12(cm),

在RfBM'N中，根據(jù)勾股定理彳導(dǎo)M,N=

VBN2+BM，2=792+122=15(cm).

9V5cm>15cm,

小蜘蛛需要爬行的最短距離是15cm.故選D.

解后反思本題考查了平面展開——最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，轉(zhuǎn)化為直角三角形

利用勾股定理解答.

11.直角［解析］將等式展開，得2ab=a?+2ab+b2-C2,移項(xiàng)、整理，得c?=a?十爐,即該三角形為直角三角形.

12.4［解析］由題意，得"弦"是叵不孕=V13,

?.-9<13<16,13-9=4,16-13=3,

更接近于16,二反最接近的整數(shù)是4.

13.2［解析］如圖，過點(diǎn)A,B分別作墻的垂線，交于點(diǎn)C,貝UAC=108-80=28(cm),BC=80-59=21(cm).

在Rt^ABC中，AC2+BC2=AB?,即282+212=AB?用星得AB=V282+212=35(cm).

1.掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，

，掃地機(jī)的直徑不大于AB長，即35cm,

...小瑩可選擇的掃地機(jī)尺寸直徑可以為34,34.5，共2種.

14.(1)710(2)1［解析］Q)如圖，連接AD.

■.zDCP=zACB=90°,A

.-.zACD=zBCP.

在AACD與ABCP中，

DC=PC,

{ZACD=NBCP,

AC=BC,(第14題)

."ACD當(dāng)BCP(SAS).

AD=PB=V2,ZCAD=NCBP.

■.zAED=zCEB,

.-.zADB=zACB=90o.

?.zDCP=90°,DC=PC=l,

DP=y/DC2+PC2=V2,

-BD=DP+BP=2V2

22

J(V2)+(2V2)=V10.

(2)”.=|BP-/1D=|XV2XV2=1.

15在Rt^ABC中,AC=6,BC=8,

AB=VXC2+BC2=V62+82=10.

二?以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D,

：AD=AC=6,

?.BD=AB-AD=10-6=4.

16.?AB的長為x米.則BC的長為(x-2)米

?.AC=14米3BC是直角三角形/C=90。，

AC2+BC2=AB2,

???142+(%-2)2=解得x=50.

故滑雪臺的長度AB為50米.

歸納總結(jié)本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到NC=90。，從而利用勾股定理列方程解決問題.

17/.BD±CD,.-.zCDO=90°.

在RfCOD中油勾股定理彳導(dǎo)

OD=y]OC2-CD2=J(V5)2-22=1.

?.ADIIBC,/.SAABD=SAACD,

:，S^ABD-S^AOD—^LACD-S&AOD，

S^OAB=S^OCD=QCD,OD=-x2xl=l.

解后反思本題考查了勾股定理、平行線的性質(zhì)以及三角形面積等知識,熟練掌握勾股定理，證明SAOM=S.oe是解題的關(guān)鍵.

18.(1)1：5［解析了?大正方形面積為c，直角三角形面積為|ab，小正方形面積為((b-a)2,b=2a,a2+b2=c2,a2+(2a)2=c2=5a2,

S._.?S,_.=(2a—a)2:(5a2)=-^-7=1:5.

小正方形大形''''5Q2

(2)?.大正方形的面積=c2=13,a=2,

62=c2-a2=13-22=13-4=9,

..b=3(負(fù)值已經(jīng)舍去),

.?.小正方形的面積=(b-a)2=(3-2)2=1.

19.Q)由題意知，AB=V32+由=3V2,

AD=V22+I2=V5,DC=V42+22=2V5,

BC=V22+32=V13,

二四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=尺+3魚+3西.

(2)AACD是直角三角形.理由如下：

VAD=V5,DC=2底AC=5,

AD2+CD2=AC2,.-.L4CD)是直角三角形.

2O.(l)vAE平分工ABC,

^EAC=-ZBAC=43°.

2

-.AD±BC,

ZDAC=90°-ZC=58°,

.zDAE=zDAC-zEAC=58°-430=15°.

(2)-.AD±BC,/.zADB=zADC=90°,

BD=y]AB2-AD2=V152-122=9,CD=^AC2-AD2=V202-122=16,

/.BC=BD+DC=9+16=25.

vAB2+AC2=152+202=625,BC2=625,

AB2+AC2=BC2,

NBAC=90°.

21.（1）912

(2)如圖，作BE,AC,交AC延長線于點(diǎn)E,在AC的延長線上取點(diǎn)D,使得DE二AE,連接BD,

?蜉

(第21題)

則BE是線段AD的垂直平分線，

/.AB=BD,zA=zD.

o

?/3zA+2zABC=180/zA+zABC+zBCA=180°r-.2zA+zABC=zACB.

/zACB=zD+zDBC,

..2NA+NABC=ND+NDBC.

.NA二ND,..NA+NABC=NDBGBD二AB二c,即NDCB=NDBC,「.DB=DC=c.

由題意，得DE=4E=等，

■.EC=AE-AC=-2-b=—2.

在Rt^BEC中，BE2=BC2-EC2,

在RbBEA中，BE2=BA2-EA2,

BC2-EC2=BA2-EH即a?_（-丫=c2-（等）［整理，得b=

22」操作發(fā)現(xiàn)］⑴ACDA,CD

(2)BC=AC+AD

［解決問題］根據(jù)［操作發(fā)現(xiàn)］中小剛的解法，如圖，在AB上截取.4D'=4D,,連接CD：得到AADC當(dāng)ADC

/r>

D'E

（第22題）

'.AD=AD=2,CD=CD.