青島實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中診斷

七年級數(shù)學(xué)試題

（考試時間：120分鐘：滿分：120分）

說明：

1.本試題分第I卷和第II卷兩部分，共25題.I卷為選擇題，共10個小題，30分；第H

卷為非選擇題，共兩個大題，90分.

2.所有題目均在答題卡上作答，在試題上作答無效.

第I卷（選擇題，共30分）

一、單項選擇題（本題10小題，每小題3分，共30分）

1.“燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺.”這是詩仙李白眼里的雪花.單個雪花的重量其實很輕，只有

0.00003kg左右，0.00003用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.3x10-5B.3X10-4C.0.3x10^D.0.3xlO-5

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟記科學(xué)記數(shù)法的定義：將一個數(shù)表示成ax10"的形式，其

中1＜忖＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與

小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于或等于10時，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，〃是負(fù)

整數(shù).

【詳解】解：0.00003用科學(xué)記數(shù)法可表示為3x10-5.

故選：A.

2.下列計算正確的是（）

A.a+2a—3a2B.a5a2=a3

C.（-a）'/=—a，D.（2a'）=2a6

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了整式的運算，根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)幕的乘除法、積的乘方逐項運算即可判斷

求解，掌握整式的運算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、a+2a=3a,該選項錯誤，不合題意；

B、a5^-a2=a3,該選項正確，符合題意；

C、（―。）2./=〃5,該選項錯誤，不合題意；

D、=4/,該選項錯誤，不合題意；

故選：B.

3.若單項式-a”?與g/。"的和仍是單項式，則相〃的值是（）

A.-16B.8C.9D.16

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查了同類項的定義和代入求值，由題意可得，兩個單項式為同類項，根據(jù)同類項的定義，

“所含字母相同且相同字母的指數(shù)相等”，求出相、”的值，代入計算即可.

【詳解】解：；單項式-廢1尸與;的和仍是單項式，

.'.7/2=4,〃=2,

2

m"=4=16-

故選：D.

4.已知。一》=3,貝12024+2。一4b的值是（）

A.2018B.2021C.2027D.2030

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查代數(shù)式求值，利用整體代入法進行求值即可.

【詳解】解：—%=3,

/.2024+2a-4b=2024+2（。-2〃）=2024+2x3=2030；

故選D.

5.數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，我們要會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用

數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，例如，體育課上老師測量跳遠(yuǎn)成績時，測量線段A3的長度即可.這樣做的數(shù)學(xué)

道理是（）

測量跳遠(yuǎn)成績

A.垂線段最短

B.兩條直線相交只有一個交點

C.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

D.兩點確定一條直線

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了垂線段最短的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵.根據(jù)垂線

段最短作答即可.

【詳解】解：體育課上老師測量跳遠(yuǎn)成績時，測量線段A3的長度即可.這樣做的數(shù)學(xué)道理是垂線段最

短，

故選：A.

6.如圖，直線AB、CD交于點。，0E平分NA8,若4=36°,則/COE等于（）

A.72°B.95°C.108°D.144°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計算，平角結(jié)合角平分線的定義，求出NDOE的度數(shù)，再根據(jù)平角的

定義，進行計算即可.

【詳解】解：???NL=36°,

ZAOD=1800-Zl=144°，

?：OE平分NAO。，

/DOE=-ZAOD=72°,

2

ZCOE=180°-ZDOE=108°；

故選：c

7.若(％-1)(%+2)=依2+次+0,則代數(shù)式a+b+c的值為()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，代數(shù)式求值，根據(jù)多項式乘以多項式計算法則得到

(X-1)(X+2)=X2+X-2,據(jù)此得到。=1,b=l,c=-2,再代值計算即可.

【詳解】解：?.,(x-l)(x+2)=4a2+〃x+c,

,?x?—x+2.x-2=cix2+bx+c>

,,%2+%—2=ax2+bx+c，

a=Lb=1,c=—2,

a+Z?+c=l+l—2=0,

故選：B.

8.電動曲臂式高空作業(yè)車在高空作業(yè)時只需一個人就可操作機器連續(xù)完成升降、前進、后退、轉(zhuǎn)向等動

作，極大地減少了操作人員的數(shù)量和勞動強度.如圖所示是一輛正在工作的電動曲臂式高空作業(yè)車，其中

AB//CD//EF,BC//ED.若NABC=60°,則NDEF的度數(shù)為()

A.100°B.120°C.140°D,160°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、鄰補角的定義，延長A3交OE于點G,由平行線的性質(zhì)得到

NBGD=/A5C=60。，根據(jù)鄰補角的定義得NHGE=180?！?5GD=120。，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)

可得結(jié)論.解題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【詳解】解：延長A3交DE于點G,

,/BC//ED,ZABC=6Q°,

：.ZBGD^ZABC=60°,

：.ZBGE=180°-ZBGD=180°-60°=120°,

AB//EF,

：.ZDEF=ZBGE=120°.

故選:B.

9.正方形的邊長增加了2cm,面積相應(yīng)增加了24cm2,則這個正方形原來的面積為（）

A.16cm2B.25cm2C.36cm2D.49cm2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式，解一元一次方程.設(shè)原來正方形的邊長為xcm,根據(jù)題意列出方程,

求出方程的解，根據(jù)正方形面積公式即可得到結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)原正方形的邊長為xcm,

根據(jù)題意得：（％+2）?—尤2=24,

解得％=5,

...這個正方形原來面積為5x5=25cm2,

故選：B.

10.將一副三角板按如圖的方式放置，則下列結(jié)論：①N1=N3；②若N2=30°,則有③若

Z2=45°,則有④若N4=NC,則必有N2=30°,其中正確的有（）

A.①②③B.①②④C.③④D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)進行判定即可得出答案.本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握

平行線的判定與性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①"Zl+Z2=90°,N2+N3=90°,

N1=N3,

故①結(jié)論正確；

②，Z2=30°,

.?.Zl=90°-Z2=60°,

.-.ZE=Zl=60o,

/.AC//DE.

故②結(jié)論正確；

③，22=45°,

.?.Z3=90°-Z2=45°,

:.Z3=ZB=45°,

：.BC//AD.

故③結(jié)論正確；

④如圖

Z4=ZC,

/.ACDE,

:.ZEFA+ZCAF=180°,

:.ZEFA=90°,

.../2+/￡=90。，

Z2=90°—NE=90°-60°=30°.

故④結(jié)論正確.

故選：D

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（本題6小題，每小題3分，共18分）

11.計算：3100xQy=.

【答案】工

3

【解析】

門、100

【分析】本題主要考查了積的乘方的逆運算，同底數(shù)幕乘法的逆運算，先把原式變形為3°°X：xj,

(1Y001

進一步變形得到3x±x-據(jù)此代值計算即可.

13j3

【詳解】解：3100xf^

(1Y001

=rdxi

=l100xl

3

_lxl

3

=—，

3

故答案為：—.

3

12.如圖，已知AB〃CD,Z1=130°,則/2=__________

F、

A--------±\B

C................—------D

E

【答案】50°

【解析】

【詳解】解：如圖：

VZl=130°,

AZ3=180°-Z1=180°-130°=50°,

VAB/7CD,

Z2=Z3=50°

故答案為：50°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì).

13.已知一個角的余角是這個角的4倍，那么這個角的度數(shù)是.

【答案】18。##18度

【解析】

【分析】本題主要考查了余角的定義，設(shè)這個角的度數(shù)為羽則這個角的余角度數(shù)為4x,根據(jù)互余的兩個

角的度數(shù)之和為90度建立方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)這個角的度數(shù)為尤，則這個角的余角度數(shù)為4x,

x+4x=90°,

解得x=18°,

???這個角的度數(shù)為18°,

故答案為：18°.

14.如圖，現(xiàn)給出下列條件：①N1=N2,②ZB=Z5,③/3=/4,@ZB+ZBCD=180°.能夠得

到AB//CD的條件是（填序號）.

1

BCE

【答案】②③④

【解析】

【分析】本題考查的是平行線的判定，熟知同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)

角互補，兩直線平行是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線的判定定理對各小題進行逐一判斷即可.

【詳解】解：①：N1=N2，

-.AD//BC,故本條件不符合要求；

②：ZB=Z5,

：.AB//CD,故本條件符合要求；

③：/3=/4,

：.AB//CD,故本條件符合要求；

④；ZB+ZBCD=180°,

--AB//CD,故本條件符合要求.

故答案為：②③④.

15.如果多項式*+（加+1）*+16是一個完全平方式，則根的值是.

【答案】7或—9

【解析】

【分析】本題考查了求完全平方式中的字母，根據(jù)完全平方式得出（機+1）X=±2-X-4,求出即可.

【詳解】解：?多項式￡+（加+1）1+16是一個完全平方式，

.,.（m+l）x=±2-x-4,

解得：772=7或—9,

故答案為：7或—9.

16.如圖是由邊長相同灰、白方塊拼成的圖形、第1個圖形中有4個白色方塊，第二個圖形中有7個白

色方塊…，按照此規(guī)律擺放，則第”個圖形白色方塊共有個.（用含”的代數(shù)式表示，結(jié)果保留最

簡形式）

①②③

【答案】（3〃+1）##。+3〃）

【解析】

【分析】此題考查了圖形類規(guī)律,分別計算出前3個圖案中白色正方形的個數(shù)，然后總結(jié)得到規(guī)律解決問題.

【詳解】第1個圖形中有4=3xl+l個白色方塊；

第二個圖形中有7=3義2+1個白色方塊；

第三個圖形中有10=3x3+1個白色方塊；

■,?，

按照此規(guī)律擺放，則第力個圖形白色方塊共有（3〃+1）個白色方塊；

故答案為：（3〃+1）.

三、解答題（本題共8題，共72分）

17.尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

已知：如圖，點。是三角形ABC邊A3上一點.

求作：點E,使DE〃BC,DE=DB.（找到滿足條件的一個點E即可）

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題主要考查了平行線和線段的尺規(guī)作圖，先過點E作小〃BC,再以。為圓心，6D的長為

半徑畫弧交。尸于E,點E即為所求.

【詳解】解；如圖所示，點E即為所求；

先過點E作小〃5C,再以。為圓心，的長為半徑畫弧交。/于E,點E即為所求.

18.計算下列各式，能簡算的要簡算：

(1)3a2+2a—儲—7。；

⑵+

(3)(12〃3—63+3〃)+3〃；

(4)(-ip+Qy-(3.14-4；

(5)1022;

(6)(x+2)(x—4)—(x+3)(x—3).

【答案】⑴2a2-5a

⑵2a,

(3)4a2-2a+l

(4)4

(5)10404

(6)—2,x+1

【解析】

【分析】本題考查整式的混合運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)合并同類項即可解題；

(2)先運算同底數(shù)塞的乘法和除法，然后合并解題；

(3)運用多項式除以單項式的法則解題即可；

(4)先運算乘方、零指數(shù)次塞和負(fù)整數(shù)指數(shù)次塞，然后合并即可;

(5)運用完全平方公式計算即可；

(6)先運算多項式的乘法和平方差公式，然后合并解題.

【小問1詳解】

3ci~+2。-cr—7a

—2a—5〃；

【小問2詳解】

角牛：?〃+I，

=a4+a4

=2a4;

【小問3詳解】

解：(12Q3—6々2+3Q)+3Q

—12/4-3ci-6/4-3a+3a+3a

—4〃—2〃+1；

【小問4詳解】

=1+4—1

二4；

【小問5詳解】

解：1022

=(100+2『

=1002+400+22

=10000+400+4

=l(M04；

【小問6詳解】

解：(x+2)(x—4)—(x+3)(x—3)

=(爐_2］一8)——9)

=X2—2.x—8—%2+9

=—2x+1.

19.(1)先化簡，再求值：—x(x-3y)卜2y,其中％=2,y=-1.

(2)已知Q+Z?=3,ab=2,求〃2+。2.

Y

【答案】(1)——+2y,-3；(2)5

2

【解析】

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，完全平方公式的變形求值：

(1)先根據(jù)完全平方公式和單項式乘以多項式的計算法則去小括號，然后合并同類項，再根據(jù)多項式除以

單項式的計算法則去中括號，最后代值計算即可；

(2)根據(jù)。2+/=(。+人7―2。人進行求解即可.

【詳解】解；(1)[(x-2y『_x(x—3月卜2y

=(x?-4xy+4y2-x2+3孫)+2y

2

當(dāng)x=2,y=-l時，原式=-]+2x(-l)=-3；

(2),/a+b=3>ab=2,

：.a2+Z?2=(a+Z?)2-2aZ?=32-2x2=5.

20.如圖，某中學(xué)校園內(nèi)有一塊長為(x+2y)米，寬為(2x+y)米的長方形地塊，學(xué)校計劃在中間留下一

個“T”型的圖形(陰影部分)修建一個文化廣場.

(1)用含x,y的式子表示“T”型圖形的面積并化簡;

(2)當(dāng)x=2,>=3時，求文化廣場的面積.

【答案】(1)2x2+5xy

(2)38平方米

【解析】

【分析】本題主要考查多項式乘以多項式與圖形面積；

(1)根據(jù)圖形及題意可直接進行求解；

(2)由(1)可知綠化部分的面積為2必+5盯平方米，然后把久=2,y=3代入求解即可.

【小問1詳解】

解：“T”型區(qū)域的面積為：

(2x+y)(x+2y)-2y2

=2x2+4xy+xy+2y2-2y2

=2x2+4xy+xy

=2x2+5x_y.

【小問2詳解】

當(dāng)x=2,y=3時，

2x2+5xy=2x22+5x2x3=38(平方米)

答：“T”型區(qū)域的面積是38平方米.

21.如圖，DB工BC于點B,EF，BC于煎F,N1=N2,試說明45〃。。.請補充完整下面的說理

解：AB//DC,理由如下：因為EF±BC

所以NDfiC=NEFB=90。(①)

所以ZDBC+ZEFB=180°,

所以￡>B〃EF(②)

所以/BDC=N2(③)

又因為N1=N2(已知)所以④(等量代換)

所以(@)

【答案】垂直定義；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；NBDC=N1；內(nèi)錯角相等,

兩直線平行

【解析】

【分析】本題考查了垂直的意義，平行線的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意，熟練掌握平行線

的判定方法.根據(jù)垂直的定義，平行線的判定方法判斷出。5〃所，再利用平行線的性質(zhì)找到相等的角，

最后等量代換利用平行線的判定方法證明即可.

【詳解】解：ABDC,理由如下：因為EF±BC

所以NZ汨C=NEFB=90。（垂直定義）

所以NDBC+NEFB=180°,

所以QB〃所（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

所以NBDC=N2（兩直線平行，同位角相等）

又因為N1=N2（已知）

所以N3DC=N1（等量代換）

所以A5DC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

故答案為：垂直定義；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；NBDC=N1；內(nèi)錯角相

等，兩直線平行.

22.如圖，ZA+ZD=180°,CD//EF.若NC￡E=75°,求-5的度數(shù).

AB

【答案】4=75°

【解析】

【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是判定由平行線的性質(zhì)推出4=由

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行推出。C〃AB,而CD〃EF.推出得到N3=NCFE=75。.

【詳解】解：???NA+ND=180°,

DC//AB,

'：CD//EF,

FE//AB，

，ZB=ZCFE=75°.

23.用同樣大小正方形紙片，按如圖方式拼成長方形:

第①個圖形中有2張正方形紙片；

第②個圖形中有2(1+2)=6=2x3張正方形紙片；

第③個圖形中有20+2+3)=12=3x4張正方形紙片；

第④個圖形中有20+2+3+4)=20=4x5張正方形紙片;

①②③④

請你觀察上述圖形與算式，完成下列問題：

⑴觀察可得：1+2+3++n=(用含”的代數(shù)式表示)；

(2)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計算：101+102+103++200.

加、n(n+\\

【答案】(1)△——2

2

(2)15050

【解析】

【分析】此題考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，能根據(jù)題中所給已知條件找到計算的規(guī)律并應(yīng)用解決問題是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知條件可得規(guī)律第〃個圖形中有2。+2+3++〃)=〃(〃+1)張正方形紙片，據(jù)此可得答

案；

(2)將原式變形為(1+2+3+…+200)—(1+2+3+…+100),根據(jù)得到的公式計算即可.

【小問1詳解】

解：...第①個圖形中有2張正方形紙片；

第②個圖形中有2(1+2)=6=2x3張正方形紙片；

第③個圖形中有20+2+3)=12=3x4張正方形紙片；

第④個圖形中有20+2+3+4)=20=4x5張正方形紙片；

以此類推可知,

.?.第〃個圖形中有2。+2+3+.+”)=〃(“+1)張正方形紙片;

〃(7Z+1)

1+2+3H-----\-n=~2

,,…生、，n(n+l)

故答案為：」——

2

【小問2詳解】

解：101+102+103+---+200

=(1+2+3+…+200)—(1+2+3+…+100)

200x(200+1)100x(100+1)

22

=20100-5050

=15050.

24.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想方法.對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到

一個數(shù)學(xué)等式，例如圖①可以得到（。+人）2=/+2皿+/,請解答下列問題:

圖①圖②圖③

（1）圖②所表示的數(shù)學(xué)等式為：；

（2）利用（1）的結(jié)論，解決問題：若a+Z?+c=12,tz2+Z?2+c2=60，求仍+Qc+bc的值;

（3）將面積相等的方法遷移到體積相等，如圖③表示的是一個棱長為（。+外的正方體，請你根據(jù)圖③求

這個正方體的體積，寫出一個整式乘法的等式：.

【答案】（1）（＜a+b+cy=a2+Z?2+c2+2ab+2bc+2ac

（2）42（3）（fl+Z?）3=a3+b3+3a2b+3ab~

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合，會用不同的方法表示

同一圖形的面積.

（1）根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一種可以是3個正方形的面積和6個長方形的面

積，另一種是大正方形的面積，（a+b+c）1=a2+b2+c2+2ab+2bc+lac；

（2）利用（1）中的乘法公式，進行變形得出答案即可；

⑶根據(jù)正方體體積計算公式可得，棱長為（。+。）的正方體體積為（。+力，而棱長為（a+?。┑恼襟w體

積又等于兩個棱長分別為。和。的正方體體積之和，再加上兩個長、寬、高分別為服b、b,a、a、。的長

方體體積，據(jù)此求解即可.

【小問1詳解】

解：由圖可得，大正方形的面積可以表示（a+b+cj,

也可以表示為a?+）2+/+2a^+2bc+2ac，

（a+Z?+c）2=/+/+/+2"+2bc+2ac；

22

故答案為：(a+Z?+c)2=a+/+c+2ab+2bc+2ac；

【小問2詳解】

解：由（1）可得:

ab+bc+ac—^(\a+Z?+C)2_(〃2+/+)]

=1(122-60)

=42；

【小問3詳解】

解：由圖可得，大正方形的體積可以表示（a+。）3,

也可以表示+/+3a2b+3ab2,

(a+媒=+人3+3Q2人+3QZ;2;

故答案為：(a+Z?y=〃3+63+3〃2b+3〃/.

25.【提出問題】睿睿在學(xué)習(xí)完平行線的基本模型——豬蹄模型后，想繼續(xù)研究相關(guān)模型的特點，于是他

組織數(shù)學(xué)興趣小組進行了以下探究：

c

【分析問題】如圖，已知直線直線c分別與直線a,6相交于點E,E點A,B分別在直線a,b

上，且在直線c的左側(cè)，點尸是直線c上一動點（不與點E,尸重合），設(shè)NK4E=N1，ZAPB=Z2,

NPBF=Z3.

【解決問題】（1）問題一：如圖1,當(dāng)點尸在線段EF上運動時，試探索Nl,Z2，N3之間數(shù)量的關(guān)

系，并給出證明.睿?；貞涁i蹄模型的證明方法：“過點P作……”請你用直尺和鉛筆在圖1

中作出這一輔助線，并幫助睿睿完成證明；

【類比探究】（2）問題二：當(dāng)點尸在線段E戶外運動時，（1）中的結(jié)論是否還成立呢？興趣小組的同學(xué)們

認(rèn)為要分兩種情況進行討論，請你結(jié)合圖形幫助他們探究這三個角的數(shù)量關(guān)系.

①如圖2,當(dāng)動點P在線段所之外且在直線a的上方運動（