浙江省紹興市2025屆高三下學(xué)期4月高考科目適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，，且的夾角為，則（

）A． B．3 C． D．74．直線被圓截得的弦長為（

）A．2 B．4 C． D．5．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則可以是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則（

）A．當時，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增B．當時，是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減C．當時，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減D．當時，是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增7．已知雙曲線的左焦點為，點在的右支上，且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．10 D．148．已知的兩個內(nèi)角都是關(guān)于的方程的解，其中，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在某校文藝匯演中，六位評委對某小品節(jié)目進行打分，得到一組分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一個最高分和一個最低分，則（

）A．這組分值的極差變小B．這組分值的均值變大C．這組分值的方差變小D．這組分值的第75百分位數(shù)不變10．已知函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間內(nèi)存在零點B．0是的極小值點C．在區(qū)間內(nèi)存在極大值D．在區(qū)間上單調(diào)遞減11．已知數(shù)列滿足，則（

）A．數(shù)列為遞增數(shù)列B．C．D．三、填空題（本大題共3小題）12．記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則.13．已知偶函數(shù)的定義域為，且，則的值域為.14．設(shè)點在“笑口”型曲線上，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)記的兩個零點分別為，求曲線在點處的切線方程.16．已知數(shù)列滿足(1)記，求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記，求滿足的所有正整數(shù)的值.17．已知橢圓的焦距為2，且過點.(1)求的方程；(2)設(shè)為的左、右頂點，在過點且垂直于軸的直線上任取一點，過作的切線，切點為（異于），作，垂足為.記和的面積分別為，求的值.18．如圖，在四面體中，，記二面角為分別為的中點.(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)在四面體內(nèi)有一個半徑為的球，若，求證：.19．某科技公司招聘技術(shù)崗位人員一名.經(jīng)初選，現(xiàn)有來自國內(nèi)三所高校的10名應(yīng)屆畢業(yè)生進入后面試環(huán)節(jié).其中校和校各4名，校2名，10名面試者隨機抽取1，2，3，...10號的面試序號.(1)若來自校的4名畢業(yè)生的面試序號分別為，且，來自校的4名畢業(yè)生的面試序號分別為，且，來自校的2名畢業(yè)生的面試序號分別為，，且.（i）求概率；（ii）記隨機變量，求的均值.(2)經(jīng)面試，第位面試者的面試得分為，且他們的面試得分各不相等，公司最終錄用得分最高者.為提高今后面試效率，現(xiàn)人事部門設(shè)計了以下面試錄用新規(guī)則：，且，集合中的最小元素為，最終錄用第位面試者.如果以新規(guī)則面試這10名畢業(yè)生，證明：面試得分第一?二（按得分從高到低排）的兩名畢業(yè)生之一被錄用的概率不小于0.59.

參考答案1．【答案】A【詳解】.故選A.2．【答案】B【詳解】.故選B.3．【答案】C【詳解】因為，，且的夾角為，所以，所以.故選C.4．【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑，又圓心到直線的距離，所以弦長為.故選B.5．【答案】A【詳解】因為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)，所以，則，，，，當時，，時，，故選A.6．【答案】D【詳解】對AB：當時，，其定義域為，，故為偶函數(shù)；又，當時，令，因為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故AB都錯誤；對CD：當時，，其定義域為，，故為奇函數(shù)；又，當時，均為減函數(shù)，故為上的減函數(shù)，故為上的增函數(shù)，故C錯誤，D正確.故選D.7．【答案】C【詳解】對于雙曲線，根據(jù)雙曲線的標準方程（），可得，．則．設(shè)雙曲線的右焦點為，由雙曲線的定義可知，點在雙曲線的右支上，則，即；同理，點在雙曲線的右支上，則，即．所以．根據(jù)三角形三邊關(guān)系，，當且僅當，，三點共線時，等號成立．又，則，即．所以的最小值為10．故選C．8．【答案】B【詳解】方程變形為，由題，是方程的兩根，則，，又，又，所以，，又，則，，.故選B.9．【答案】AC【詳解】對于A，原來6個數(shù)據(jù)的極差為，去掉一個最高分和一個最低分后這組數(shù)據(jù)的極差為，極差變小了，故A正確；對于B，原來6個數(shù)據(jù)的均值為，后來這4個數(shù)據(jù)的均值為，所以均值不變，故B錯誤；對于C，原來6個數(shù)據(jù)的方差為，后來這4個數(shù)據(jù)的方差為，所以這組分值的方差變小，故C正確；對于D，因為，所以原來6個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，又，所以后來這4個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，故D錯誤.故選AC.10．【答案】BCD【詳解】函數(shù)，令，則或或．由，解得；由，解得，；由，即，解得．在區(qū)間內(nèi)，不存在上述使的值，所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點，A選項錯誤．當在附近時，，在上單調(diào)遞增，且．當時，，，所以；當時，，在附近正負交替，但，所以是的極小值點，B選項正確．對求導(dǎo)，得：．當時，，，，．，且在內(nèi)，隨著的變化，會先大于后小于，所以在區(qū)間內(nèi)存在極大值，C選項正確．當時，，，，則．對分析，在上，，，，所以；，，，所以；，，，所以．即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項正確．故選BCD．11．【答案】ACD【詳解】設(shè)，對其求導(dǎo)可得．因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增．已知，則，依次有，,，設(shè)，，對求導(dǎo)得．當時，，所以，在上單調(diào)遞減．則，即，所以為遞增數(shù)列，A選項正確．由上述分析可知，所以不存在，使得，B選項錯誤．要證，即證．設(shè)，，對求導(dǎo)得．令，求導(dǎo)得，當時，，所以在上單調(diào)遞減．則，所以在上單調(diào)遞增．所以，即，所以，，C選項正確.由選項C知，移項可得，兩邊同時乘以得.兩邊同時取倒數(shù)得，移項可得.因為，所以，即.利用累加法：.已知，則，所以，兩邊同時取倒數(shù)得，移項可得，選項D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】，由正弦定理可得，，又由余弦定理可得，，，.13．【答案】【詳解】對，令，則，解得；對，令，則，又為偶函數(shù)，，故，解得；又，故其值域為.14．【答案】/-0.125【詳解】當時，，即，平方得，即，此時，.當時，，即，平方得，即，此時，綜上，的最小值為.15．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當時，；當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，，因此函數(shù)有兩個零點，且，即，則所求切線的切點坐標為，斜率，切線方程為所以曲線在點處的切線方程為.16．【答案】(1)，證明見解析(2)【詳解】（1）因為，所以.又因為所以數(shù)列是首項為5，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以，所以，因為單調(diào)遞增，且，所以正整數(shù)的所有取值為.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，且過點，即，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為，代入的方程得.因為直線與相切，所以，化簡得，所以，

所以，代入直線的方程得，設(shè)與交于點，又，直線的方程為，因為，代入直線的方程得，所以，所以為中點.因此點到直線的距離相等，所以.18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【詳解】（1）取中點，連接，又分別為的中點，則，，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知是二面角的平面角，所以.如圖，以為原點，分別為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，則，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）因為與的面積為，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，即平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以為二面角的平面角，所以點到平面的距離，因此四面體的體積為.又，平面，所以，所以到直線的距離等于，所以邊的高，所以的面積，注意到，因此的面積也為，所以四面體的表面積為，因此四面體的內(nèi)切球半徑，所以，即.19．【答案】(1)（i）；（ii）(2)證明見解析【詳解】（1）（i），（ii）的可能取值為，則，所以（2）①第一種情況，錄用了面試得分第一的人.若面試得分第一的人在第位，要使得其被錄用，則在他前面的個人中的最高分必然在前3位，其他個人可以任意排列，在得分第一后面的個人任意排列，這種情況的概率為：.②第