/山東省齊魯名校教研共同體2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期第六次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，則=（

）A．8 B．10 C．12 D．163．已知z是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．4．已知，則的最小值是（）A． B．4 C． D．85．現(xiàn)有5種顏色的筷子各一雙，從中任取兩根筷子，若已知取到的筷子中有紅色的，則兩根筷子都是紅色的概率為（

）A． B． C． D．6．在一個(gè)建筑工程中，工程師需要根據(jù)斜坡的傾斜角度來計(jì)算一些結(jié)構(gòu)的受力情況.設(shè)斜坡的傾斜角度為，經(jīng)測算分析，發(fā)現(xiàn)，若該斜坡的摩擦系數(shù)為，則此系數(shù)的值為（

）A． B． C． D．7．小王到某公司面試，一共要回答道題，每道題答對得分，答錯(cuò)倒扣分，設(shè)他每道題答對的概率均為，且每道題答對與否相互獨(dú)立，記小王答完道題的總得分為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．8．在銳角三角形PMN中，，，垂足為Q，，則點(diǎn)P的軌跡為（

）A．長軸長為2，離心率為的橢圓的一部分B．長軸長為，離心率為的橢圓的一部分C．實(shí)軸長為2，離心率為的雙曲線的一部分D．實(shí)軸長為，離心率為的雙曲線的一部分二、多選題（本大題共3小題）9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列，則t的可能取值為（

）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)，均在拋物線C：上，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．直線軸C．若，則 D．若，則11．已知函數(shù)，為常數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．的最小正周期為B．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．在，上單調(diào)遞增D．若對于任意的，函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象均與曲線總有公共點(diǎn)，則三、填空題（本大題共3小題）12．現(xiàn)有一個(gè)圓錐與一個(gè)球，它們的表面積相等，圓錐的母線長與球的直徑相等，則圓錐的底面直徑與母線長的比值為．13．已知函數(shù)，的定義域均為R，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．14．已知三個(gè)正數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，圓：，過圓上一點(diǎn)P分別作圓，的切線，切點(diǎn)分別為，若，則．四、解答題（本大題共5小題）15．下表是2020—2024年中國出生人口數(shù)y（單位：十萬人）的數(shù)據(jù)：年份20202021202220232024年份代碼x12345出生人口數(shù)y/十萬人120106969095(1)求2020—2024年中國每年出生人口數(shù)的平均數(shù)；(2)某研究人員建立了y關(guān)于x的回歸模型，用該回歸模型預(yù)測從哪一年開始中國出生人口數(shù)將低于700萬；(3)求（2）中回歸模型的決定系數(shù)，并評(píng)價(jià)其擬合效果．（如果，就認(rèn)為擬合效果好，如果，就認(rèn)為擬合效果一般，如果，就認(rèn)為擬合效果差）附：，．16．如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在之間，．(1)求的值；(2)若，，求的值．17．如圖，四棱錐的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球的球面上，且，，平面．(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐體積的最大值；(3)當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．18．已知，函數(shù)．(1)若，，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意，至多有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．19．已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)．(1)求C的離心率．(2)設(shè)A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，P，Q為C上異于A，B的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率恒為直線的斜率的5倍．①當(dāng)b的值確定時(shí)，證明：直線過x軸上的定點(diǎn)；②按下面方法構(gòu)造數(shù)列：當(dāng)時(shí)，直線過的定點(diǎn)為，且，設(shè)，證明：．

參考答案1．【答案】A【詳解】由題意可得，集合A中的元素中，屬于B的有0，1，e．故.故選A.2．【答案】B【詳解】由題意可得，故．故選B．3．【答案】B【詳解】由題，因?yàn)?，所以z和是方程的兩個(gè)根，所以，即，所以.故選B.4．【答案】D【詳解】由可得，即，故，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為8.故選D.5．【答案】D【詳解】設(shè)事件M為“兩根筷子都是紅色的”，則．設(shè)事件N為“取到的筷子中有紅色的”，則．所求即為．故選D.6．【答案】B【詳解】已知，則，即，解得，因?yàn)?，故，故．故選B．7．【答案】C【詳解】設(shè)答對題的個(gè)數(shù)為，由已知可得，所以，，因?yàn)槊康李}答對得分，答錯(cuò)倒扣分，為小王答完道題的總得分，所以，所以，，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.故選C.8．【答案】D【詳解】以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸，MN的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨令，，設(shè)，則，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，則|，，，由，得，整理得，其為雙曲線的一部分，且雙曲線的實(shí)軸長為，離心率為，故點(diǎn)P的軌跡為實(shí)軸長為，離心率為的雙曲線的一部分．故選D.9．【答案】CD【詳解】當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，則，因?yàn)檫f增數(shù)列，則對任意的正偶數(shù)恒成立，則，解得，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，則，因?yàn)檫f減數(shù)列，則對任意的正奇數(shù)恒成立，則，解得，所以的取值范圍是，故的可能取值為，．故選CD.10．【答案】BCD【詳解】對于A．將的坐標(biāo)代入C：，得，故A錯(cuò)誤．對于B，由題可得，點(diǎn)A，F(xiàn)的橫坐標(biāo)相同，所以直線軸，故B正確．對于C，因?yàn)辄c(diǎn)A，B均在C上，所以，，要使，只需．若，由于，所以，，故C正確．對于D，若，因?yàn)?，所以，故，解得，故D正確．故選BCD.11．【答案】ACD【詳解】，易得的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，其值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；令，得，故在上單調(diào)遞增，故C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，因函數(shù)的圖象均與曲線總有公共點(diǎn)，則且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，綜上所述，，故D正確.故選ACD．12．【答案】【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為，母線長為，則其表面積為，球的表面積為，所以，即，解得（負(fù)值舍去），故圓錐的底面直徑與母線長的比值為．13．【答案】【詳解】∵是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，在中，用去代換x，得，∴，，∵，∴由，可得，令，則在上單調(diào)遞增．若，則的圖象的對稱軸為直線，圖象開口向上，符合題意；若，則的圖象的對稱軸為直線，圖象開口向下，則需，即；若，則在上單調(diào)遞增，符合題意．綜上，．14．【答案】3【詳解】不妨設(shè)，，，三個(gè)圓心分別為，，，根據(jù)勾股定理得，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，故可設(shè)點(diǎn)，其中，則，整理得，即，解得．15．【答案】(1)(2)2028年(3)，這個(gè)模型的擬合效果一般【詳解】（1）．（2）中國出生人口數(shù)低于700萬，即．，解得：,,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，對應(yīng)2028年，即預(yù)測從2028年開始中國出生人口數(shù)將低于700萬．（3）當(dāng)，，，當(dāng)，，，當(dāng)，，，當(dāng)，，，當(dāng)，，，所以因?yàn)椋赃@個(gè)模型的擬合效果一般．16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，且，所以，可得，即，所以．?）解：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以?7．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）由題意知四邊形存在外接圓，故，而，即，所以，故，由平面，平面，可得，而，平面，平面，故平面，又因?yàn)槠矫?，故平面平面．?）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，由（1）平面平面，又平面平面，平面，所以平面．設(shè)四邊形的面積為，則四棱錐的體積，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，當(dāng)時(shí)，PH最大，最大值為．因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，此時(shí)底面ABCD是正方形．所以四棱錐體積的最大值為．（3）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)A且與平面ABCD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由（2）可知，，，．所以，，．設(shè)平面PBD的法向量為，則，取，則，所以為平面PBD的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和(3)【詳解】（1）若，，則，，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由題易知，所以．令，得，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和．（3）若，則，僅有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意．若，由至多有2個(gè)零點(diǎn)，可知至多有1個(gè)極值點(diǎn)，則至多有1個(gè)變號(hào)零點(diǎn)．由，可得．設(shè)，則，可得在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以的極大值為，極小值為，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出的大致圖象如下：根據(jù)題意，直線與的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn)（切點(diǎn)除外），所以或，解得或．綜上，a的取值范圍是．19．【答案】(1)(2)①