第五章<<<5.3.1函數(shù)的單調(diào)性1.能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.2.進(jìn)一步理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和其單調(diào)性的關(guān)系，利用單調(diào)性比較大小、解不等式.學(xué)習(xí)目標(biāo)提示在x=0的左右兩側(cè)，都有f'(x)>0，且該函數(shù)在x=0處連續(xù)，故不會(huì)影響該函數(shù)在R上是增函數(shù).對(duì)于函數(shù)f(x)=x3，我們發(fā)現(xiàn)，它的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=3x2并沒有恒大于0，當(dāng)x=0時(shí)，有f'(0)=0，這是否會(huì)影響該函數(shù)的單調(diào)性？問題1也就是說對(duì)于導(dǎo)函數(shù)有有限個(gè)等于0的點(diǎn)，不影響函數(shù)的單調(diào)性，其實(shí)即便是無數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)使得f'(x)=0，也不會(huì)影響函數(shù)的單調(diào)性，比如f(x)=x-sinx，它的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=1-cosx≥0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ，k∈Z時(shí)，f'(x)=0，但這并不影響函數(shù)f(x)=x-sinx在R上是增函數(shù).提示不是，因?yàn)檫@里的“≥”有兩層含義，大于或等于，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，f'(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的充要條件嗎？問題2對(duì)于這個(gè)復(fù)合命題而言，只要大于或等于這兩個(gè)條件有一個(gè)成立，它就是真命題，如果f'(x)≥0成立的條件是f'(x)=0，即該函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間.知識(shí)梳理在某區(qū)間I上，單調(diào)遞增單調(diào)遞減f'(x)≥0f'(x)≤0若f'(x)<0?函數(shù)f(x)在I上

.若f'(x)>0?函數(shù)f(x)在I上

；在某區(qū)間I上，若函數(shù)f(x)在I上單調(diào)遞增?

；若函數(shù)f(x)在I上單調(diào)遞減?

.見課本P86(1)一般采用分離參數(shù)的方法解決恒成立的問題；

<<<(2)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min；(3)需要對(duì)等號(hào)進(jìn)行單獨(dú)驗(yàn)證.例

1f'(x)=x2-a，因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，故f'(x)=x2-a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.

反思感悟(1)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f'(x)≥0(或f'(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f'(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“=”時(shí)是否滿足題意.(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f'(x)=0在(a，b)上有解(需驗(yàn)證解的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)).(2)若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間(k-1，k+1)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.(-∞，-3]∪[-1，1]∪[3，+∞)B.(-3，-1)∪(1，3)C.(-2，2)D.不存在這樣的實(shí)數(shù)k√由題意得，f'(x)=3x2-12=0在區(qū)間(k-1，k+1)上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.又f'(x)=3x2-12=0的根為±2，且f'(x)在x=2或-2兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而區(qū)間(k-1，k+1)的區(qū)間長度為2，故只有2或-2在區(qū)間(k-1，k+1)內(nèi)，∴k-1<2<k+1或k-1<-2<k+1，∴1<k<3或-3<k<-1，故選B.f'(x)=6x2+6x-36=6(x+3)(x-2).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-3)，(2，+∞)；(2)f(x)=2x3+3x2-36x+1.令f'(x)=0，解得x=-3或x=2，x=-3和x=2把函數(shù)的定義域劃分為三個(gè)區(qū)間，f'(x)在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)以及f(x)的單調(diào)性如表，單調(diào)遞減區(qū)間是(-3，2).

反思感悟利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域.(2)求出導(dǎo)數(shù)f'(x)的零點(diǎn).(3)用f'(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

反思感悟(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).已知導(dǎo)函數(shù)f'(x)的下列信息：當(dāng)x<0或x>7時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)0<x<7時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x=0或x=7時(shí)，f'(x)=0，試畫出函數(shù)f(x)的大致圖象.例

4當(dāng)x<0或x>7時(shí)，f'(x)>0，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)和(7，+∞)上都是單調(diào)遞增的；當(dāng)0<x<7時(shí)，f'(x)<0，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，7)上單調(diào)遞減；當(dāng)x=0或x=7時(shí)，f'(x)=0，這兩個(gè)點(diǎn)比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點(diǎn)”.故函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.

反思感悟(1)由導(dǎo)函數(shù)圖象畫原函數(shù)圖象的依據(jù)：根據(jù)f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，f'(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減.(2)由原函數(shù)圖象畫導(dǎo)函數(shù)圖象的依據(jù)：若f(x)單調(diào)遞增，則f'(x)的圖象一定在x軸的上方；若f(x)單調(diào)遞減，則f'(x)的圖象一定在x軸的下方；若f(x)是常函數(shù)，則f'(x)=0.

(1)已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能是圖中的跟蹤訓(xùn)練4√由題意可知，當(dāng)x<0和x>2時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<2時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的圖象如圖D.(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象可能為√∵f(x)在(-∞，1)，(4，+∞)上單調(diào)遞減，在(1，4)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x<1或x>4時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)1<x<4時(shí)，f'(x)>0.課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(3)求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)由導(dǎo)數(shù)的信息畫函數(shù)的大致圖象.2.方法歸納：方程思想、分類討論.3.常見誤區(qū)：忽略定義域的限制.1.(多選)函數(shù)f(x)=(x-3)ex在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是A.(-∞，2) B.(0，3)C.(3，4) D.(2，+∞)∵f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex，√√由f'(x)>0得(x-2)ex>0，∴x>2.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，+∞)，CD符合.

√3.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是√由f'(x)的圖象可得，在(-∞，b)上，f'(x)≥0，在(b，+∞)上，f'(x)<0，根據(jù)原函數(shù)圖