/排列與組合目錄【解密高考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計(jì)算【題型二】數(shù)字排列【題型三】幾何問題【題型四】捆綁法【題型五】插空法【題型六】定序問題（先選后排）【題型七】列舉法【題型八】多面手問題【題型九】錯(cuò)位排列【題型十】涂色問題【題型十一】分組問題【題型十二】分配問題【題型十三】隔板法【題型十四】分解法模型與最短路徑問題【題型十五】環(huán)排問題【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂：排列組合和二項(xiàng)式定理是高考熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，有了多選題型后常和概率結(jié)合起來考察，所以需要考生對(duì)于排列組合的基礎(chǔ)題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當(dāng)然在掌握題型的基礎(chǔ)上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運(yùn)用好排列組合的解題思維。：根據(jù)高考回歸課本的趨勢(shì)，排列數(shù)與組合數(shù)的運(yùn)算以及術(shù)與式的歸納理解要求要相繼變高，而這塊內(nèi)容也是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的固定題型容易被學(xué)生忽略的知識(shí)點(diǎn)，需要重視起來。【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計(jì)算【例1】已知為正整數(shù)，若，則．【例2】排列數(shù)和組合數(shù)都有豐富的性質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【變式1】已知，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式2】（1）已知，求n．（2）．【題型二】數(shù)字排列【例1】用這五個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則不同的奇數(shù)共有（

）A．120個(gè) B．72個(gè) C．60個(gè) D．48個(gè)【例2】設(shè)一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別為，，，若，，則稱這個(gè)三位數(shù)為“峰型三位數(shù)”，例如251和121都是“峰型三位數(shù)”，在由0，1，2，3，4，5中的部分?jǐn)?shù)字組成的三位數(shù)中，“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為.【變式1】設(shè)集合A中的元素均為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個(gè)相乘所得均為5的倍數(shù)，則A的元素個(gè)數(shù)最多為．【變式2】用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，求滿足下列條件的數(shù)各有多少個(gè)．(1)六位數(shù)；(2)六位奇數(shù)．【題型三】幾何問題【例1】平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無三條直線交于同一點(diǎn)（除原10點(diǎn)外），無兩條直線互相平行.求：(1)這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（除原10點(diǎn)外）；(2)這些直線交成多少個(gè)三角形.【例2】在正方體中，下列說法正確的是（

）A．正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可以確定28條不同的線段B．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的直三棱柱有12個(gè)C．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐有64個(gè)D．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱錐有48個(gè)【變式1】連結(jié)正三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)，可以組成個(gè)四面體．【變式2】點(diǎn)集且，則由中的點(diǎn)可以組成多少個(gè)不同的三角形？【題型四】捆綁法【例1】名男生與名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數(shù)，按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答.(1)從中選出名男生和名女生排成一列；(2)全體站成一排，男生互不相鄰；(3)全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾；(4)全體站成一排，甲、乙必須站在一起；【例2】甲、乙、丙等7名同學(xué)站成一排照相．(1)甲、乙、丙3名同學(xué)相鄰的排法共有多少種？(2)甲、乙、丙3名同學(xué)不相鄰的排法共有多少種？【變式1】現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)4名男學(xué)生互不相鄰；(2)老師站在最中間，2名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學(xué)生兩邊各2人；(3)2名老師之間有男女學(xué)生各1人.【變式2】6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州里運(yùn)會(huì)4個(gè)不同的項(xiàng)目（記為A，B，C，D）的志愿者活動(dòng)，每位同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目．(1)6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種?(2)若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式?【變式3】數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某校有共6位同學(xué)獲獎(jiǎng)，在競(jìng)賽結(jié)束后站成一排合影留念時(shí)，假設(shè)兩人必須相鄰且站在正中間，兩人不能相鄰，則不同的站法共有種.【題型五】插空法【例1】《哪吒2》9天登頂中國影史票房榜，之后持續(xù)狂飆，上映16天票房突破100億；21天登頂全球動(dòng)畫電影票房榜，電影中哪吒需要從風(fēng)、火、水、雷、土五種靈珠中選出四個(gè)，按順序排列成法陣對(duì)抗敵人，已知風(fēng)靈珠和火靈珠不能相鄰，問共有多少種法陣組合方式．（用數(shù)字作答）【例2】在體育課上，某項(xiàng)體育測(cè)試需要對(duì)，，在內(nèi)的名同學(xué)依次進(jìn)行測(cè)試，下列說法正確的是（

）A．同學(xué)在最先或最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種B．，，三名同學(xué)需要相鄰，安排方法一共有種C．，，三名同學(xué)都不相鄰，安排方法一共有種D．，兩名同學(xué)既不在最先也不在最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種【變式1】2024年4月26日，神舟十九號(hào)與神舟十八號(hào)航天員順利會(huì)師中國空間站，激發(fā)了全國人民的民族自豪感和愛國熱情.齊聚“天宮”的6名宇航員分別是“70后”蔡旭哲、“80后”葉光富、李聰、李廣蘇，“90后”宋令東、王浩澤.為記錄這一歷史時(shí)刻，大家準(zhǔn)備拍一張“全家?！?假設(shè)6人站成一排，兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有（

）A．16種 B．32種 C．48種 D．64種【題型六】定序問題（先選后排）【例1】在一張節(jié)目單中原有7個(gè)節(jié)目已排好順序，現(xiàn)要插入3個(gè)節(jié)目，并要求不改變?cè)?個(gè)節(jié)目前后相對(duì)順序，則一共有種不同的插法．【例2】一條鐵路線原有個(gè)車站，為了適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加了2個(gè)車站，客運(yùn)車票增加了58種，問：原有多少個(gè)車站？現(xiàn)有多少個(gè)車站？【例3】花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為_________【變式1】14名同學(xué)合影，站成前排5人后排9人，現(xiàn)攝影師要從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2】城步苗族自治縣“六月六山歌節(jié)”是湖南省四大節(jié)慶品牌之一，至今已舉辦25屆.假設(shè)在即將舉辦的第26屆“六月六山歌節(jié)”中，組委會(huì)要在原定排好的10個(gè)“本土歌舞”節(jié)目中增加2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目.若保持原來10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則不同的排法種數(shù)為（

）A．110 B．144 C．132 D．156【變式3】某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了甲?乙?丙3位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，且甲?乙2位同學(xué)互不相鄰，丙同學(xué)不站在兩端，則不同的加入方法共有（

）A．360種 B．144種 C．180種 D．192種【題型七】列舉法【例1】數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【例2】已知字母，，各有兩個(gè)，現(xiàn)將這6個(gè)字母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如），則不同的排法共有（

）種A．36 B．30 C．24 D．16【變式1】工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．【題型八】多面手問題【例1】某國際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語，4人只會(huì)法語，2人既會(huì)英語又會(huì)法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110【例2】“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種【變式1】我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有（

）種不同的選法．A． B． C． D．【變式2】某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種【題型九】錯(cuò)位排列【例1】將編號(hào)為、、、、、的小球放入編號(hào)為、、、、、的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【例2】編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種【變式1】“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108 C．144 D．196【變式2】將編號(hào)為1?2?3?4?5?6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1?2?3?4?5?6的六個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的方法總數(shù)是（

）A．20 B．40 C．120 D．240【題型十】涂色問題【例1】如圖所示，積木拼盤由五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：與為相鄰區(qū)域，與為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是.

【例2】如圖，一個(gè)區(qū)域分為5塊，現(xiàn)給每塊著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．若有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．

【變式1】將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？①②④③【變式2】從4種不同顏色中選擇若干種顏色，給正四面體的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色，且共點(diǎn)的棱染不同的顏色，則不同的染色方法共有種．【題型十一】分組問題【例1】將6本不同的書（包括1本物理書和1本歷史書）平均分給甲、乙兩人，其中物理書和歷史書不能分給同一個(gè)人，則不同的分配種數(shù)是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【例2】（1）由0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個(gè)？（2）把5個(gè)不同顏色的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放入1個(gè)小球，有多少種不同的放法？（3）某書法興趣小組有7名組員，其中3人只擅長硬筆書法，2人只擅長軟筆書法，其余2人既擅長硬筆書法，又擅長軟筆書法，現(xiàn)從書法興趣小組中選擇擅長硬筆書法的2人參加硬筆書法比賽，擅長軟筆書法的2人參加軟筆書法比賽（每個(gè)人不能同時(shí)參加兩個(gè)比賽），則不同的選擇方法有多少種？【變式1】某市政工作小組就民生問題開展社會(huì)調(diào)研，現(xiàn)派遣三組工作人員對(duì)市內(nèi)甲，乙、丙、丁四區(qū)的居民收入情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，若每區(qū)安排一組工作人員調(diào)研，且每組工作人員至少負(fù)責(zé)一個(gè)區(qū)調(diào)研，則不同的派遣方案共有（

）A．36種 B．48種 C．56種 D．72種【變式2】某高校要在假期安排甲、乙等名大學(xué)生到、、三個(gè)公司進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)公司都要有大學(xué)生去，且甲和乙都不能去公司，則不同的安排方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【題型十二】分配問題【例1】現(xiàn)將1個(gè)紅球、1個(gè)黃球、1個(gè)綠球及3個(gè)白球（白球之間沒有區(qū)別）放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）【例2】若將4名志愿者分配到3個(gè)服務(wù)點(diǎn)參加抗疫工作，每人只去1個(gè)服務(wù)點(diǎn)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少安排1人，則不同的安排方法共有（

）A．36種 B．48種 C．96種 D．108種【題型十三】隔板法【例1】學(xué)校決定把個(gè)參觀航天博物館的名額給三（1）?三（2）?三（3）?三（4）四個(gè)班級(jí).要求每個(gè)班分別的名額不比班級(jí)序號(hào)少，即三（1）班至少個(gè)名額，三（2）班至少個(gè)名額，……，則分配方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【例2】某校將個(gè)三好學(xué)生名額分配到高三年級(jí)的個(gè)班，每班至少個(gè)名額，則共有多少種不同的分配方案（

）A．15 B．20 C．10 D．30【變式1】學(xué)校有6個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少1個(gè)名額，則有（

）種分配方案．A．135 B．10 C．75 D．120【變式2】現(xiàn)有9個(gè)相同的球要放到3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，各盒子中球的個(gè)數(shù)互不相同，則不同放法的種數(shù)是（

）A．28 B．24 C．18 D．16【題型十四】分解法模型與最短路徑問題【例1】夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【例2】有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動(dòng)一個(gè)方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個(gè)方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實(shí)線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？A．6 B．8 C．10 D．12【變式1】如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．23條 B．24條 C．25條 D．26條【變式2】方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【題型十五】環(huán)排問題【例1】現(xiàn)有8個(gè)人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【例2】A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種【變式1】如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（

）.A．40320種 B．5040種 C．20160種 D．2520種【變式2】21個(gè)人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報(bào)數(shù)．那么在僅剩兩個(gè)人沒有表演過節(jié)目的時(shí)候，共報(bào)數(shù)的次數(shù)為（

）A．19 B．38 C．51 D．57

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂兩個(gè)計(jì)數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計(jì)數(shù)原理有兩類不同方案?，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法N＝m＋n種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理需要兩個(gè)步驟?，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法N＝m×n種不同的方法(1)每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事.(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的.(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這件事.(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.易錯(cuò)提醒：1.完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨(dú)立，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.2.完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.【例1】甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【例2】有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為A．120 B．60 C．40 D．30【例3】某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有A．種 B．種 C．種 D．種

排列與組合目錄【解密高考】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計(jì)算【題型二】數(shù)字排列【題型三】幾何問題【題型四】捆綁法【題型五】插空法【題型六】定序問題（先選后排）【題型七】列舉法【題型八】多面手問題【題型九】錯(cuò)位排列【題型十】涂色問題【題型十一】分組問題【題型十二】分配問題【題型十三】隔板法【題型十四】分解法模型與最短路徑問題【題型十五】環(huán)排問題【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂：排列組合和二項(xiàng)式定理是高考熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，有了多選題型后常和概率結(jié)合起來考察，所以需要考生對(duì)于排列組合的基礎(chǔ)題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當(dāng)然在掌握題型的基礎(chǔ)上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運(yùn)用好排列組合的解題思維。：根據(jù)高考回歸課本的趨勢(shì)，排列數(shù)與組合數(shù)的運(yùn)算以及術(shù)與式的歸納理解要求要相繼變高，而這塊內(nèi)容也是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的固定題型容易被學(xué)生忽略的知識(shí)點(diǎn)，需要重視起來?！绢}型一】排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計(jì)算【例1】已知為正整數(shù)，若，則．【答案】3或7【分析】根據(jù)組合數(shù)的定義和性質(zhì)分析求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得，由組合數(shù)性質(zhì)可知：或，解得或．故答案為：3或7.【例2】排列數(shù)和組合數(shù)都有豐富的性質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用組合數(shù)的定義和排列數(shù)的定義可A、B；利用組合數(shù)的遞推關(guān)系式?可證明C正確；從組合數(shù)的意義角度看，都表示是兩個(gè)各有個(gè)元素的集合和中選取總共個(gè)元素的方式數(shù)，由此得D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，考慮從兩個(gè)各有個(gè)元素的集合和中選取總共個(gè)元素的方式數(shù)，總的選取方式數(shù)是.另一方面，我們可以將選取過程分為不同的情況，即從集合中選取個(gè)元素，從集合中選取個(gè)元素，其中從0到，對(duì)于每個(gè)，選取的方式數(shù)是.由于?，所以每種情況的方式數(shù)是，因此，總的選取方式數(shù)可以表示為：，由于這兩種方法計(jì)算的是同一個(gè)選取過程的方式數(shù)，所以它們相等：，故D正確.故選：BCD.【變式1】已知，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)排列與組合公式計(jì)算求解即可.【詳解】由，則，則，即.故選：D【變式2】（1）已知，求n．（2）．【答案】（1）6；（2）252【分析】（1）利用組合數(shù)性質(zhì)以及組合數(shù)公式和排列數(shù)公式，將化簡并展開，解方程即可求得答案.（2）法一：利用組合數(shù)的性質(zhì)求解；法二：直接計(jì)算，求和.【詳解】（1）由得，即，即，解得，或，又由知，即，故.（2）法一：.法二：原式.【題型二】數(shù)字排列【例1】用這五個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則不同的奇數(shù)共有（

）A．120個(gè) B．72個(gè) C．60個(gè) D．48個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法原理，先安排個(gè)位數(shù)字，再安排余下的4個(gè)位置.【詳解】根據(jù)題意，先安排個(gè)位數(shù)字，在3和5中選一個(gè)共有種，再安排余下的4個(gè)位置，有種，所以組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，不同的奇數(shù)共有種.故選：D.【例2】設(shè)一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字分別為，，，若，，則稱這個(gè)三位數(shù)為“峰型三位數(shù)”，例如251和121都是“峰型三位數(shù)”，在由0，1，2，3，4，5中的部分?jǐn)?shù)字組成的三位數(shù)中，“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為.【答案】40【分析】根據(jù)給定條件，利用“峰型三位數(shù)”是否含有數(shù)字0分類，結(jié)合排列、組合計(jì)數(shù)問題列式計(jì)算即得.【詳解】①若“峰型三位數(shù)”由三個(gè)不同的數(shù)字組成：當(dāng)“峰型三位數(shù)”含有數(shù)字0時(shí)，0必為個(gè)位，再從余下5個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，大的數(shù)字為十位，有種方法；當(dāng)“峰型三位數(shù)”沒有數(shù)字0時(shí)，從除0外的5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，最大數(shù)字作十位，有種方法，此時(shí)，“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為；②若“峰型三位數(shù)”由兩個(gè)不同的數(shù)字組成，則一定不包含0，此時(shí)共有種方法；綜上，“峰型三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：40【變式1】設(shè)集合A中的元素均為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個(gè)相乘所得均為5的倍數(shù)，則A的元素個(gè)數(shù)最多為．【答案】137【分析】三位數(shù)中的5的倍數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位是5討論即可.【詳解】由題意知，集合中且至多只有一個(gè)元素不是5的倍數(shù)，其余均是5的倍數(shù)．首先討論三位數(shù)中的5的倍數(shù)，①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有個(gè)；②當(dāng)個(gè)位為5時(shí)，則百位有個(gè)數(shù)字可選，十位有個(gè)數(shù)字可選，根據(jù)分步乘法原理，這樣的5的倍數(shù)有個(gè)，最后，再加上單獨(dú)的不是5的倍數(shù)的數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為個(gè)．故答案為：137．【變式2】用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，求滿足下列條件的數(shù)各有多少個(gè)．(1)六位數(shù)；(2)六位奇數(shù)．【答案】(1)個(gè)(2)個(gè)【分析】（1）由全排列減去0在首位即可求解；（2）法一：從個(gè)數(shù)入手分析或從對(duì)首位排奇數(shù)還是非0偶數(shù)分兩類進(jìn)行．法二：由0不在兩端，再從1，3，5中選1個(gè)排在個(gè)位，剩下全排列即可求解；【詳解】（1）0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字共能形成種不同的排法，當(dāng)0在首位時(shí)不滿足題意，故可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)．（2）方法一（位置分析法）：①從個(gè)位入手：個(gè)位數(shù)排奇數(shù)，即從1，3，5中選1個(gè)有種方法，首位數(shù)在排除0及個(gè)位數(shù)余下的4位數(shù)字中選1個(gè)有種方法，余下的數(shù)字可在其他位置全排列有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有個(gè)不同的六位奇數(shù)．②從首位入手：對(duì)首位排奇數(shù)還是非0偶數(shù)分兩類進(jìn)行．第1類，首位排奇數(shù)，有種選擇，再個(gè)位排奇數(shù)有種方法，其余位置全排列有．則共有144種方法．第2類，首位排非0偶數(shù)，共有種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有個(gè)不同的六位奇數(shù)．方法二（元素分析法）：0不在兩端有種排法．從1，3，5中選1個(gè)排在個(gè)位，剩下的4個(gè)數(shù)字全排列．故共有個(gè)不同的六位奇數(shù)．【題型三】幾何問題【例1】平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無三條直線交于同一點(diǎn)（除原10點(diǎn)外），無兩條直線互相平行.求：(1)這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)（除原10點(diǎn)外）；(2)這些直線交成多少個(gè)三角形.【答案】(1)630(2)【分析】（1）先由題意結(jié)合任意兩點(diǎn)確定一條直線原理求出10點(diǎn)所確定的直線數(shù)，再由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn)求出交點(diǎn)總數(shù)和重復(fù)計(jì)算的交點(diǎn)總數(shù)即可求解.（2）由（1）確定點(diǎn)的總數(shù)，再由不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)三角形原理得到任取三點(diǎn)的組合數(shù)再減去三點(diǎn)共線的組合數(shù)即可求得構(gòu)成的三角形數(shù).【詳解】（1）由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是條，這45條直線除原10點(diǎn)外無三條直線交于同一點(diǎn)，無兩條直線互相平行，則任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn)，共有個(gè)交點(diǎn)，而在原來10點(diǎn)上每一個(gè)點(diǎn)都有9條直線共點(diǎn)于此，所以在原來的10點(diǎn)上共有點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù)，所以這些直線交成新的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：.（2）由（1）可知共有這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有個(gè)因?yàn)槊總€(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)來自上述個(gè)點(diǎn)，且上述除原10點(diǎn)外的630個(gè)交點(diǎn)中的每一個(gè)點(diǎn)均與相交于該點(diǎn)的兩條直線中的兩點(diǎn)在一條直線上，所以這些直線三角形的個(gè)數(shù)有（個(gè)）.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：對(duì)于“這些直線交成多少個(gè)三角形？”的問題中易因忽略三點(diǎn)共線問題導(dǎo)致求解出錯(cuò).【例2】在正方體中，下列說法正確的是（

）A．正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可以確定28條不同的線段B．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的直三棱柱有12個(gè)C．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐有64個(gè)D．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四棱錐有48個(gè)【答案】ABD【分析】利用幾何組合計(jì)數(shù)問題，結(jié)合正方體及直三棱柱、三棱錐、四棱錐的構(gòu)造特征，列式計(jì)算即得.【詳解】對(duì)于A，每兩點(diǎn)確定一條線段，則正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可確定不同的線段有條，A正確；對(duì)于B，直三棱柱的兩個(gè)底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱兩底面在正方體相對(duì)面上，以正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有4個(gè)，從而正方體的一組相對(duì)面對(duì)應(yīng)的直三棱柱有4個(gè)，因此以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的直三棱柱有個(gè)，B正確；對(duì)于C，正方體頂點(diǎn)任取4個(gè)點(diǎn)，共有種選法，其中四點(diǎn)共面的共有6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面共12種，因此三棱錐共有個(gè)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C，知正方體四點(diǎn)共面的情況有12種，每一種情況，余下每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)1個(gè)四棱錐，因此四棱錐共有，D正確.故選：ABD.【變式1】連結(jié)正三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)，可以組成個(gè)四面體．【答案】12【分析】求出4個(gè)點(diǎn)共面的情況有3種情況，利用正難則反進(jìn)行求解.【詳解】正三棱柱共有6個(gè)頂點(diǎn)，從中任取4個(gè)，有種，其中4個(gè)點(diǎn)共面的情況有3種情況，分別為三個(gè)側(cè)面，故可以組成個(gè)四面體．故答案為：12【變式2】點(diǎn)集且，則由中的點(diǎn)可以組成多少個(gè)不同的三角形？【答案】1056【分析】利用組合數(shù)的知識(shí)結(jié)合圖象分析即可.【詳解】總共有種,如圖，三點(diǎn)共線（粗虛線）有8組，四點(diǎn)共線有9組（圖中實(shí)線加上5條豎線），五點(diǎn)共線有4組，于是一共能組成種.故答案為：1056.【題型四】捆綁法【例1】名男生與名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數(shù)，按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答.(1)從中選出名男生和名女生排成一列；(2)全體站成一排，男生互不相鄰；(3)全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾；(4)全體站成一排，甲、乙必須站在一起；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)條件，利用組合與排列先選后排，即可求解；（2）根據(jù)條件，利用不相鄰問題插入法，即可求解；（3）利用特殊元素優(yōu)先考慮，結(jié)合條件，即可求解；（4）利用相鄰問題捆綁法，即可求解.【詳解】（1）從名男生中任選名有種選法，從名女生中任選名有種選法，再將選取的人排列有種排法，由乘法原理共有種排法，（2）先將女生全排有種，再從個(gè)空隙中選出3個(gè)將3個(gè)男生插入到3個(gè)空隙中有種，由乘法原理共有種排法.（3）先排甲，有種方法，其余人有種排列方法，共有種，（4）甲乙必須相鄰，先將甲乙捆綁有種，再與剩下的個(gè)人排列有種，共有種.【例2】甲、乙、丙等7名同學(xué)站成一排照相．(1)甲、乙、丙3名同學(xué)相鄰的排法共有多少種？(2)甲、乙、丙3名同學(xué)不相鄰的排法共有多少種？【答案】(1)720(2)1440【分析】（1）將相鄰?fù)瑢W(xué)看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，再與其他4人進(jìn)行排列，結(jié)合分布乘法計(jì)算即可求解；（2）先排其余4人，形成空位后，接著選出其中三個(gè)空給甲、乙、丙3名同學(xué)進(jìn)行排列，再結(jié)合分布乘法計(jì)算即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，甲、乙、丙3名同學(xué)相鄰，先將3人看成一個(gè)整體有種排法，接著將這個(gè)整體與其他4人進(jìn)行排列共有種排法，所以甲、乙、丙3名同學(xué)相鄰的排法共有種排法.（2）甲、乙、丙3名同學(xué)不相鄰的排法分兩步，第一步先將其余4人進(jìn)行全排有種排法，第二步從上述4人隔開的5個(gè)空中選出其中三個(gè)空給甲、乙、丙3名同學(xué)進(jìn)行排列有種排法，故甲、乙、丙3名同學(xué)不相鄰的排法共有種排法.【變式1】現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)4名男學(xué)生互不相鄰；(2)老師站在最中間，2名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學(xué)生兩邊各2人；(3)2名老師之間有男女學(xué)生各1人.【答案】(1)2880(2)96(3)3840【分析】（1）利用插空法，先排老師和女學(xué)生，最后排剩余的4名男學(xué)生即可.（2）特殊元素優(yōu)先安排求解即可.（3）先任選一男學(xué)生一女學(xué)生站兩位老師中間，再排老師，最后利用捆綁法排列即可.【詳解】（1）先排老師和女學(xué)生共有種站法，再將男生插入到五個(gè)空中，有種，所以共有種不同的站法．（2）由題意可得共種不同的站法．（3）先任選一男學(xué)生一女學(xué)生站兩位老師中間，有種站法，兩老師的站法有種，再將一男學(xué)生一女學(xué)生兩位老師進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)人進(jìn)行全排列有種，所以共有種不同的站法．【變式2】6位同學(xué)報(bào)名參加2022年杭州里運(yùn)會(huì)4個(gè)不同的項(xiàng)目（記為A，B，C，D）的志愿者活動(dòng)，每位同學(xué)恰報(bào)1個(gè)項(xiàng)目．(1)6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊(duì)方式有多少種?(2)若每個(gè)項(xiàng)目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報(bào)名方式?【答案】(1)(2)【分析】（1）利用捆綁法和插空法即可求解；（2）將6為同學(xué)分成4組，計(jì)算每一類的情況即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，第一步：把甲乙看成整體和除丙丁外的兩位同學(xué)排列有種排法，第二步：再把丙丁插空排列有種排法，所以共有種排法；（2）先將6為同學(xué)分成4組，按人數(shù)分有和種分法：第一類：按分法有種分法；第二類：按分法有種分法；所以共有：種分法.所以一共有種不同報(bào)名方式.【變式3】數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某校有共6位同學(xué)獲獎(jiǎng)，在競(jìng)賽結(jié)束后站成一排合影留念時(shí)，假設(shè)兩人必須相鄰且站在正中間，兩人不能相鄰，則不同的站法共有種.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用相鄰問題，再結(jié)合不相鄰列式求解.【詳解】依題意，排，相鄰且站在正中間，有種站法；再排，不相鄰，而兩側(cè)各有2個(gè)位置，即不在同側(cè)，在兩側(cè)各取1個(gè)位置再排列，共有種站法，最后排有種站法，所以不同的站法共有（種）.故答案為：32【題型五】插空法【例1】《哪吒2》9天登頂中國影史票房榜，之后持續(xù)狂飆，上映16天票房突破100億；21天登頂全球動(dòng)畫電影票房榜，電影中哪吒需要從風(fēng)、火、水、雷、土五種靈珠中選出四個(gè)，按順序排列成法陣對(duì)抗敵人，已知風(fēng)靈珠和火靈珠不能相鄰，問共有多少種法陣組合方式．（用數(shù)字作答）【答案】84【分析】根據(jù)已知條件，分兩種情況進(jìn)行排列組合即可.【詳解】由題知共分兩種情況：第一種情況：風(fēng)、火靈珠選出一個(gè)，水、雷、土三種靈珠均被選出，共有種法陣組合；第二種情況：風(fēng)、火靈珠均被選出，水、雷、土三種靈珠選出兩個(gè)，先從水、雷、土三種靈珠中選出兩個(gè)進(jìn)行排列，共有種方法，再將風(fēng)、火靈珠進(jìn)行插空，共有種方法，則共有種法陣組合，所以共有種法陣組合.故答案為：84【例2】在體育課上，某項(xiàng)體育測(cè)試需要對(duì)，，在內(nèi)的名同學(xué)依次進(jìn)行測(cè)試，下列說法正確的是（

）A．同學(xué)在最先或最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種B．，，三名同學(xué)需要相鄰，安排方法一共有種C．，，三名同學(xué)都不相鄰，安排方法一共有種D．，兩名同學(xué)既不在最先也不在最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種【答案】AC【分析】對(duì)于A，利用特殊元素優(yōu)先考慮，即可求解；對(duì)于B，利用捆綁法，即可求解；對(duì)于C，采有插入法，即可求解；對(duì)于D，直接求出安排方法數(shù)，再進(jìn)行判斷，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橥瑢W(xué)在最先或最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有種，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，三名同學(xué)需要相鄰，先將，，三名同學(xué)當(dāng)成一個(gè)整體與剩余人進(jìn)行全排，有種排法，再對(duì)，，三名同學(xué)進(jìn)行全排，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知，安排方法一共有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，，，三名同學(xué)都不相鄰，先排其余人，有種排法，再將，，三名同學(xué)三人插入個(gè)空中，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知，安排方法一共有種，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，兩名同學(xué)既不在最先也不在最后進(jìn)行測(cè)試，安排方法一共有，又，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.【變式1】2024年4月26日，神舟十九號(hào)與神舟十八號(hào)航天員順利會(huì)師中國空間站，激發(fā)了全國人民的民族自豪感和愛國熱情.齊聚“天宮”的6名宇航員分別是“70后”蔡旭哲、“80后”葉光富、李聰、李廣蘇，“90后”宋令東、王浩澤.為記錄這一歷史時(shí)刻，大家準(zhǔn)備拍一張“全家?！?假設(shè)6人站成一排，兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有（

）A．16種 B．32種 C．48種 D．64種【答案】B【分析】先排兩位指令長，然后用四名宇航員的排列總數(shù)減去“80后”，“90后”相鄰的排法，即可求解.【詳解】兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，有種排法，剩下的四名宇航員共有種排法，其中兩位“80后”彼此相鄰，兩位“90后”彼此相鄰且分別在左側(cè)或右側(cè)的排法共有種，所以兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有種.故選：.【題型六】定序問題（先選后排）【例1】在一張節(jié)目單中原有7個(gè)節(jié)目已排好順序，現(xiàn)要插入3個(gè)節(jié)目，并要求不改變?cè)?個(gè)節(jié)目前后相對(duì)順序，則一共有種不同的插法．【答案】【分析】利用倍縮法求解即可.【詳解】由題意，不同的插法共有種.故答案為：.【例2】一條鐵路線原有個(gè)車站，為了適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加了2個(gè)車站，客運(yùn)車票增加了58種，問：原有多少個(gè)車站？現(xiàn)有多少個(gè)車站？【答案】原有車站14個(gè)，現(xiàn)有車站16個(gè)【分析】由組合知識(shí)得到方程，求出答案.【詳解】由題意可得，即，解得．所以原有車站14個(gè)，現(xiàn)有車站16個(gè)．【例3】花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為_________【答案】【解析】由題意，對(duì)6盞不同的花燈進(jìn)行取下，先對(duì)6盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有種方法，因?yàn)槿』裘看沃蝗∫槐K，而且只能從下往上取，所以必須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，故共有取法總數(shù)為：.故答案為：【變式1】14名同學(xué)合影，站成前排5人后排9人，現(xiàn)攝影師要從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先從后排9人中抽2人，再把兩個(gè)人在七個(gè)位置中選兩個(gè)位置進(jìn)行排列，即可求解.【詳解】由題意，從后排9人中抽2人調(diào)整到前排，有中不同的取法，將前排5人和后來兩人看成七個(gè)位置，把兩個(gè)人在七個(gè)位置中選兩個(gè)位置進(jìn)行排列，完成調(diào)整，有中不同的排法，所以不同調(diào)整方法的總數(shù)是種.故選：D.【變式2】城步苗族自治縣“六月六山歌節(jié)”是湖南省四大節(jié)慶品牌之一，至今已舉辦25屆.假設(shè)在即將舉辦的第26屆“六月六山歌節(jié)”中，組委會(huì)要在原定排好的10個(gè)“本土歌舞”節(jié)目中增加2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目.若保持原來10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則不同的排法種數(shù)為（

）A．110 B．144 C．132 D．156【答案】C【分析】共有12個(gè)節(jié)目，只需排好2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目即可，根據(jù)排列數(shù)計(jì)算即可得出答案.【詳解】添加節(jié)目后，共有12個(gè)節(jié)目，因?yàn)楸３衷瓉?0個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則只需排好2個(gè)“歌王對(duì)唱”節(jié)目即可，所以，不同的排法種數(shù)為.故選：C.【變式3】某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了甲?乙?丙3位同學(xué)要加入，若保持原來5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，且甲?乙2位同學(xué)互不相鄰，丙同學(xué)不站在兩端，則不同的加入方法共有（

）A．360種 B．144種 C．180種 D．192種【答案】D【分析】按丙是否在甲?乙中間分兩種情況；當(dāng)丙不在甲乙中間時(shí)，利用插空法和分步乘法計(jì)數(shù)原理可計(jì)算；當(dāng)丙在甲乙中間時(shí)，利用捆綁法、插空法及分步乘法計(jì)數(shù)原理可計(jì)算；最后利用分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】分兩種情況：當(dāng)丙不在甲?乙中間時(shí)，先加入甲，有種方法，再加入乙，有種方法，最后加入丙，有種方法，此時(shí)不同的加入方法共有種；當(dāng)丙在甲?乙中間時(shí)，共有種方法.故不同的加入方法共有種.故選：D【題型七】列舉法【例1】數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【解析】顯然a，b，c，d均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論．最大數(shù)為5的情況：①，此時(shí)共有種情況；最大數(shù)為4的情況：②，此時(shí)共有種情況；③，此時(shí)共有種情況．當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，，故沒有滿足題意的情況．綜上，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是．故選：A【例2】已知字母，，各有兩個(gè)，現(xiàn)將這6個(gè)字母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如），則不同的排法共有（

）種A．36 B．30 C．24 D．16【答案】A【解析】有且僅有一組字母相鄰，這組字母有三種情況：.當(dāng)相鄰的這組字母為時(shí)，將6個(gè)位置編成1-6號(hào)，若在1號(hào)和2號(hào)，則3號(hào)和5號(hào)字母相同，4號(hào)和6號(hào)字母相同，有2種排法；若在2號(hào)和3號(hào)，則1號(hào)和5號(hào)字母相同，4號(hào)和6號(hào)字母相同，有2種排法；若在3號(hào)和4號(hào)，則1號(hào)和2號(hào)字母不相同，5號(hào)和6號(hào)字母不相同，有種排法；若在4號(hào)和5號(hào)，則2號(hào)和6號(hào)字母相同，1號(hào)和3號(hào)字母相同，有2種排法；若在5號(hào)和6號(hào)，則1號(hào)和3號(hào)字母相同，2號(hào)和4號(hào)字母相同，有2種排法，即相鄰的字母為時(shí)，共有種排法.同理，相鄰的字母為時(shí)，也都有12種排法，故共有種排法.故選：A.【變式1】工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．【答案】60【解析】根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相等的，若第一個(gè)選1號(hào)釘?shù)臅r(shí)候，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.【題型八】多面手問題【例1】某國際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語，4人只會(huì)法語，2人既會(huì)英語又會(huì)法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110【答案】B【解析】根據(jù)題意，按“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”的參與情況分成三類．①“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”不參加，這時(shí)有種；②“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中有一人入選，這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有種；③“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中兩個(gè)均入選，這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語種，因此有種．綜上分析，共可開出種．故選：B．【例2】“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)只會(huì)劃左槳的3人，只會(huì)劃右槳的3人，既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳的2人，據(jù)此分3種情況討論：①從中選3人劃左槳，劃右槳的在（）中剩下的人中選取，有種選法，②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在（）中選取，有種選法，③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，則有種不同的選法．故選：C．【變式1】我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有（

）種不同的選法．A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的人中入選的人數(shù)分類處理．第一類個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，則從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇3人來跳舞，接著從剩余的5人中選擇3人唱歌，故有種；第二類個(gè)只會(huì)跳舞的有人入選，有種，再從從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇2人來跳舞，有種，再從剩余的6人中選擇3人唱歌，有種，故有種；第三類個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有種，再從從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇1人來跳舞，有種，再從剩余的7人中選擇3人唱歌，有種，有種，所以共有種不同的選法，故選：A．【變式2】某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種【答案】D【解析】根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有種，有一個(gè)“多面手”的選派方法有種，有兩個(gè)“多面手”的選派方法有種，即共有(種)不同的選派方法．故選：D【題型九】錯(cuò)位排列【例1】將編號(hào)為、、、、、的小球放入編號(hào)為、、、、、的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，分以下兩步進(jìn)行：（1）在個(gè)小球中任選個(gè)放入相同編號(hào)的盒子里，有種選法，假設(shè)選出的個(gè)小球的編號(hào)為、；（2）剩下的個(gè)小球要放入與其編號(hào)不一致的盒子里，對(duì)于編號(hào)為的小球，有個(gè)盒子可以放入，假設(shè)放入的是號(hào)盒子.則對(duì)于編號(hào)為的小球，有個(gè)盒子可以放入，對(duì)于編號(hào)為、的小球，只有種放法.綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為種.故選：B.【例2】編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種【答案】B【解析】先選擇兩個(gè)編號(hào)與座位號(hào)一致的人，方法數(shù)有，另外三個(gè)人編號(hào)與座位號(hào)不一致，方法數(shù)有，所以不同的坐法有種.故選：B【變式1】“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108 C．144 D．196【答案】C【解析】按題意5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。虼颂罘倲?shù)為．故選：C.【變式2】將編號(hào)為1?2?3?4?5?6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1?2?3?4?5?6的六個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的方法總數(shù)是（

）A．20 B．40 C．120 D．240【答案】B【解析】第一步，先選取3個(gè)盒子，放入編號(hào)相同的3個(gè)球，方法數(shù)為，第二步剩下的3個(gè)盒子放入編號(hào)不同的小球，有2種方法，所以總方法數(shù)為．故選：B．【題型十】涂色問題【例1】如圖所示，積木拼盤由五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：與為相鄰區(qū)域，與為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是.

【答案】960【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的涂色方法種數(shù).【詳解】先涂，則有種涂法，再涂，因?yàn)榕c相鄰，所以的顏色只要與不同即可，有種涂法，同理有種涂法，有種涂法，有種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為.故答案為：.【例2】如圖，一個(gè)區(qū)域分為5塊，現(xiàn)給每塊著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．若有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．

【答案】72【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，按照顏色分類，用3種顏色與用4種顏色分為兩類計(jì)算即可得結(jié)論.【詳解】按照使用顏色的種灶分為兩類：第一類，使用了4種顏色，此時(shí)2，4同色或3，5同色，則共有，第二類，使用了三種顏色，此時(shí)2，4同色且3，5同色，則共有，所以共有種.故答案為：.【變式1】將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？①②④③【答案】180【分析】分①④不同色；①④同色兩種情況，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求出兩種情況下的涂法，再相加得到答案.【詳解】依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色．第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成四步來完成．第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂③與第四步涂④時(shí)，分別有3種涂法和2種涂法．于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法為（種）．第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成．第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法．于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有（種）．綜上可知，所求的涂色方法共有（種）．故答案為：180【變式2】從4種不同顏色中選擇若干種顏色，給正四面體的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色，且共點(diǎn)的棱染不同的顏色，則不同的染色方法共有種．【答案】96【分析】根據(jù)所涂顏色的種數(shù)分類，結(jié)合排列，組合公式，即可求解.【詳解】若所有相對(duì)的棱涂同一種顏色，共用3種顏色，有種方法，若所有相對(duì)的3對(duì)棱中有2對(duì)對(duì)棱涂同色，共用4種顏色，有種方法，所以共有種方法.故答案為：【題型十一】分組問題【例1】將6本不同的書（包括1本物理書和1本歷史書）平均分給甲、乙兩人，其中物理書和歷史書不能分給同一個(gè)人，則不同的分配種數(shù)是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】利用分步乘法原理和分組分配方法求解.【詳解】第一步：把1本物理書和1本歷史書分給兩個(gè)人，1人一本，有種分配方法,第二步：把剩下4本書平均的分給兩個(gè)人，有種分配方法,所以共有種分配方法，故選:B.【例2】（1）由0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個(gè)？（2）把5個(gè)不同顏色的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放入1個(gè)小球，有多少種不同的放法？（3）某書法興趣小組有7名組員，其中3人只擅長硬筆書法，2人只擅長軟筆書法，其余2人既擅長硬筆書法，又擅長軟筆書法，現(xiàn)從書法興趣小組中選擇擅長硬筆書法的2人參加硬筆書法比賽，擅長軟筆書法的2人參加軟筆書法比賽（每個(gè)人不能同時(shí)參加兩個(gè)比賽），則不同的選擇方法有多少種？【答案】（1）420；（2）150；（3）37.【分析】（1）按個(gè)位數(shù)字是否為0分類，結(jié)合排列計(jì)數(shù)問題列式求解.（2）把5個(gè)不同顏色的小球按分成3組，再利用全排列列式求解.（3）根據(jù)給定的信息，按擅長兩種書法的選與不選分類，結(jié)合組合計(jì)數(shù)問題求解.【詳解】（1）求沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)有兩類：個(gè)位數(shù)字為0，共有個(gè)；個(gè)位數(shù)字不是0，共有個(gè)，所以沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是.（2）把5個(gè)不同顏色的小球按分成3組的分法數(shù)為；按分成3組的分法數(shù)為，將每種分法所得3組放入3個(gè)不同盒子，有種放法，所以不同的放法種數(shù)為.（3）求不同選法種數(shù)，有三類辦法：擅長兩種書法的不選，有種；擅長兩種書法的選1人，有種；擅長兩種書法的選2人，有種，所以不同選法種數(shù)是.【變式1】某市政工作小組就民生問題開展社會(huì)調(diào)研，現(xiàn)派遣三組工作人員對(duì)市內(nèi)甲，乙、丙、丁四區(qū)的居民收入情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，若每區(qū)安排一組工作人員調(diào)研，且每組工作人員至少負(fù)責(zé)一個(gè)區(qū)調(diào)研，則不同的派遣方案共有（

）A．36種 B．48種 C．56種 D．72種【答案】A【分析】按照分組分配問題先將四個(gè)區(qū)分為三組，再分配到三組工作人員中去即可.【詳解】先將甲、乙、丙、丁四個(gè)區(qū)分成三組，即任意選兩個(gè)成為一組，剩余兩個(gè)各自一組，共種，再將分好的三組不同的區(qū)分配給三組工作人員，共有種分配方法；因此共種.故選：A【變式2】某高校要在假期安排甲、乙等名大學(xué)生到、、三個(gè)公司進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)公司都要有大學(xué)生去，且甲和乙都不能去公司，則不同的安排方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】對(duì)公司去的學(xué)生人數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合分類和分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧缀鸵叶疾荒苋ス荆瑢?duì)公司去的學(xué)生人數(shù)進(jìn)行分類討論：若去公司只有個(gè)人，有種情況，然后將剩余人分為兩組，再將這兩組分配給、兩個(gè)公司，此時(shí)有種不同的安排方式；若去公司有人，有種情況，然后將剩余人分為兩組，再將這兩組分配給、兩個(gè)公司，此時(shí)有種不同的安排方式；若去公司有人，只需將甲、乙兩人分配給、公司即可，每個(gè)公司個(gè)人，此時(shí)有種不同的安排方式.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的安排方式種數(shù)為種.故選：D.【題型十二】分配問題【例1】現(xiàn)將1個(gè)紅球、1個(gè)黃球、1個(gè)綠球及3個(gè)白球（白球之間沒有區(qū)別）放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】24【分析】把6個(gè)小球按2個(gè)球一組分成3組，再放到3個(gè)不同盒子即可.【詳解】把6個(gè)小球按2個(gè)球一組分成3組，有兩類分法：每個(gè)盒子放入一個(gè)白球，有1種方法；有2個(gè)白球放入一個(gè)盒子，有種方法，再將分成的3組放入3個(gè)盒子有種方法，所以不同的放法種數(shù)為.故答案為：24【例2】若將4名志愿者分配到3個(gè)服務(wù)點(diǎn)參加抗疫工作，每人只去1個(gè)服務(wù)點(diǎn)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少安排1人，則不同的安排方法共有（

）A．36種 B．48種 C．96種 D．108種【答案】A【分析】利用分組分配方法求解即可.【詳解】將4個(gè)人分成3個(gè)組有種方法，再將3個(gè)組分配到3個(gè)服務(wù)點(diǎn)有種方法，故選:A.【題型十三】隔板法【例1】學(xué)校決定把個(gè)參觀航天博物館的名額給三（1）?三（2）?三（3）?三（4）四個(gè)班級(jí).要求每個(gè)班分別的名額不比班級(jí)序號(hào)少，即三（1）班至少個(gè)名額，三（2）班至少個(gè)名額，……，則分配方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】根據(jù)題意，先在編號(hào)為??的個(gè)班級(jí)中分別分配??個(gè)名額，編號(hào)為的班級(jí)里不分配；再將剩下的個(gè)名額分配個(gè)班級(jí)里，每個(gè)班級(jí)里至少一個(gè)，由隔板法可得共種放法，即可得符合題目要求的方法共種.故選：B.【例2】某校將個(gè)三好學(xué)生名額分配到高三年級(jí)的個(gè)班，每班至少個(gè)名額，則共有多少種不同的分配方案（

）A．15 B．20 C．10 D．30【答案】C【解析】采用“隔板法”，6個(gè)名額之間有5個(gè)空，隔2塊板就可以分成3份，每份至少一個(gè)名額，故共有種方案.故選：.【變式1】學(xué)校有6個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少1個(gè)名額，則有（

）種分配方案．A．135 B．10 C．75 D．120【答案】B【解析】“學(xué)生名額”是相同元素，故相同元素分配分組問題，用“隔板法”，故有，故選：B.【變式2】現(xiàn)有9個(gè)相同的球要放到3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，各盒子中球的個(gè)數(shù)互不相同，則不同放法的種數(shù)是（

）A．28 B．24 C．18 D．16【答案】C【解析】把9個(gè)球分成3組，每組個(gè)數(shù)不相同，分法（按球的個(gè)數(shù)）為：126，135，234共三種，然后每組球放到3個(gè)盒子中有種方法，方法數(shù)為．故選：C．【題型十四】分解法模型與最短路徑問題【例1】夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D【解析】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，所以由到不經(jīng)過的最短路徑有.故選：D.【例2】有一種走“方格迷宮”游戲