中考數(shù)學(xué)高頻考點專項練習(xí)：專題十四四邊形綜合訓(xùn)練

1.下列命題中，假命題是（）

A.有一個角為90。的平行四邊形是矩形B.正方形的對角線互相垂直平分

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.平行四邊形的對角線相等

2.一個多邊形的內(nèi)角和比四邊形的外角和多720。，并且這個多邊形的各內(nèi)角相等，則這個多

邊形的一個外角是（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.當(dāng)=時，四邊形ABCD是菱形

B.當(dāng)ACLB。時，四邊形ABCD是菱形

C.當(dāng)NABC=90。時，四邊形ABC。是矩形

D.當(dāng)AC=5。時，四邊形ABCZ）是正方形

4.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E,使。石=AD,連接E3,EC,DB.添

加一個條件，不能使四邊形D3CE成為矩形的是（）

A.AB=BEB.ZADB=90°C.BE±DCD.CELDE

5.如圖，平行四邊形ABC。的對角線AC、BD交于點O,OE平分NADC交AB于點E,

ZBCD=60°,AD=^-AB,連接OE.下列結(jié)論：

2

①S口ABCD=AD.BC；

②DB平分NCDE；

③49=0石；

④0￡垂直平分3D其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，已知正方形ABCD邊長為3,點E在邊上且BE=1,點P,。分別是邊BC,CD

的動點（均不與頂點重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是（）

7.如圖，在正方形ABCD中，。為對角線AC、5。的交點，E、R分別為邊BC、CD上一

點，且OELOF,連接所.若NAOE=150。，DF=6，則EF的長為（）

A.2y/3B.2+GC.V3+1D.3

8.如圖，平行四邊形ABC。的對角線AC,3。相交于點。.點E為的中點，連接EO并延

長交A￡＞于點RZABC=60°,5C=2AB.下列結(jié)論:

?AB±AC；

②AD=40E；

③四邊形是菱形;

④S^BOE=；S△方0?其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

9.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=AC,點E,歹分別為邊A3,上的點，且

AE=BF,連接CE,AF交于點連接QH交AC于點。，則下列結(jié)論：

①AAB金△OLE；

②NFHC=ZB；

③ZAEH=ZDAH；

④A￡.AD=AH.AF淇中正確結(jié)論有（）

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④

10.如圖，先將正方形紙片對折，折痕為MN,再把點3折疊到折痕上，折痕為AE,點

3在上的對應(yīng)點為則'

11.如圖，矩形ABCD中，AB=8,A￡）=6,點P是A。上一點，AP=2,連接3P與AC相

交于點Q,則CQ的長為.

12.如圖，在口ABCD中，ZB=60°,BC=2AB,將A3繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角0（0。＜6^180。）

得到AP,連接PC,PD當(dāng)△PCD為直角三角形時，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為

13.如圖，在矩形ABCD中，AD>AB,連接AC,分別以點A,C為圓心，大于^AC的長為

2

半徑畫弧，兩弧交于點M,N,直線分別交AD,于點E,R下列結(jié)論：

①四邊形AEb是菱形；

@ZAFB=2ZACB；

?ACEF=CFCD；

④若A/平分N84C,則CF=2正.其中正確結(jié)論的有.(填寫正確結(jié)論的序號)

14.問題探究

則FN的長為；

(2)如圖2,點M是正方形ABCD對角線AC上的動點，連接AHLBM于點H,連

接CH.若AB=2,在/點從C到A的運動過程中，求CH的最小值；

問題解決

(3)如圖3,某市欲規(guī)劃一塊形如矩形ABCD的休閑旅游觀光區(qū)，其中AB=800米，

5。=600米，點石、R是觀光區(qū)的兩個入口(點E、R分別為A3、的中點)，P,。分別

在線段AE,CF±,設(shè)計者欲從P到。修建綠化帶PQ,從3到H修建綠化帶3H,綠化帶

寬度忽略不計，且滿足EQ=2PE,點”在PQ上，為了方便市民游覽，計劃從。

到H修建觀光通道根據(jù)設(shè)計要求，請你幫助設(shè)計者求出觀光通道的最小值.

15.如圖1,在矩形ABCD中，AB=1Q,AD=S,E是A。邊上的一點，連接CE,將矩形

ABCD沿CE折疊，頂點。恰好落在邊上的點R處，延長CE交5A的延長線于點G.

(1)求線段AE的長；

⑵求證四邊形。GFC為菱形；

(3)如圖2,M,N分別是線段CG,DG上的動點(與端點不重合)，旦ZDMN二NDCM,

設(shè)DN=x,是否存在這樣的點N,使△。例N是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不

存在，請說明理由.

答案以及解析

1.答案：D

解析：有一個角為90。的平行四邊形是矩形，是真命題，故A不符合題意；

正方形的對角線互相垂直平分，真命題，故B不符合題意；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，真命題，故C不符合題意；

平行四邊形的對角線不一定相等，故D符合題意；

故選：D

2.答案：B

解析：設(shè)這個多邊形邊數(shù)為小根據(jù)題意，得

(〃-2).180=360+720,

解得：〃=8,

???這個多邊形的每個內(nèi)角都相等，

二它各外角都相等，

二一個外角為：360°+8=45°,

故選：B.

3.答案：D

解析：A.四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)=時，它是菱形，故A選項正確；

B.-.-四邊形ABCD是平行四邊形，

二對角線互相平分，

ACLBD,

二四邊形ABCD是菱形，故B選項正確；

C.有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項正確；

D.根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知，當(dāng)=時，它是矩形，不是正方形，故D

選項錯誤；

綜上所述，符合題意是D選項；

故選D.

4.答案：C

解析：?.?四邊形A3CD為平行四邊形，:.ADIIBC,AD=BC,：.DEIIBC,-AD=DE,

；.DE=BC,二四邊形D3CE為平行四邊形，.AB=BE,DE=AD,:.BD±AE,

:.ZBDE=9Q°,.?.□DBCE為矩形，故選項A不符合題意；vZADB=90°,..Z￡Z）B=90°,

.?QOBCE為矩形，故選項B不符合題意；對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩

形，故選項C符合題意；?.?（7￡.?.NCED=90。，.?.0DBCE為矩形，故選項D不符合

題意.故選C.

5.答案：B

解析：?.?在平行四邊形ABCD中，/BAD=/BCD=60。,

:.ZADC=120°,

???OE平分NADC,

.-.ZADE=60°,

.?.△AGE是等邊三角形，

:.AE=AD=-AB,

2

E是AB的中點，

DE=BE,

ZBDE=-ZAED=30°,

2

.,.ZAD8=60°+30°=90°,即ADLBD,

;￡ABCD=ADBD,故①錯誤；

ZCDE=120°-60°=60°,ZBDE=30°,

ZCDB=30°=ZBDE,

:.DB平分NCDE,故②正確；

?.?在△AOE中，ZOAE<60°,ZOEA>60°,

:.AO^OE,故③錯誤；

?.?。是的中點，E是A3的中點，

.?.?！晔恰鰽BD的中位線，

OE//AD,

ZADB=90°,

:.ZEOB=9G°,

:.EOLDB,

.?.OE垂直平分班）,故④正確，

綜上，正確的有2個，

故選：B.

6.答案：B

解析：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對稱點E',點A關(guān)于。C的對稱點A,連接AEL四邊

形AEPQ的周長最小，

4：

1■X%

'；XX

1?X\

1、\

.;1\\、

1\X

1X\

1X

niVc

AEBE'

AD=AD=3,BE=BE'=1,

.,.A4'=6,AE'=4.

DQ//AE',。是AA的中點，

:.DQ是的中位線，

:.DQ=^AE'=2,CQ=￡)C—CQ=3—2=1,

BPHAN,

.?△BE'PsaAE'A',

:"工即史」，33

BP3CP=BC--BP=3--=-,

AA1AEf64222

S四邊形AEPQ=§正方形ABCD-^^ADQ~^PCQ~/\BEP

=9-^ADDQ-^CQCP-^BEBP

c1°c1,31,3

=9----x3x2----xlx-------xlx—

22222

9

——，

2

故選：B.

7.答案：A

解析：在正方形ABC。中，AC和為對角線，

ZAOB=ZBOC=90°,ZOBC=ZOCD=45°,OB=OC,

ZAOE=150°,

:.ZBOE=6Q°,

-.-OELOF,

;.ZEOF=ZBOC=90°,

:.ZBOE=ZCOF=60°,

:ABOE%八COF,

:.OE=OF,

.?.△OEF是等腰直角三角形；

過點R作如圖，

:.NOGF=NDGF=9Q。,

vZODC=45°,

.△DGF是等腰直角三角形,

.r?八心^2A/6

..GrF=DQr=----DF=----,

22

OF=2GF=V6,

EF=拒OF=2A/3,

故選：A.

8.答案：A

解析：?.?點E為BC的中點，

:.BC=2BE=2CE,

又BC=2AB,

AB=BE,

???ZABC=60°,

.?.△ABE是等邊三角形，

ZBAE=ZBEA^60°,

:.ZEAC=ZECA=30°,

ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,

即ABLAC,故①正確；

在平行四邊形ABC。中，AD//BC,AD=BC,AO=CO,

:.ZCAD^ZACB,

在△AOE和△COE中，

ZCAD=ZACB

<OA=OC,

ZAOF=ZCOE

:.AAOF經(jīng)ACOE(ASA),

:.AF=CE,

：.四邊形AEb是平行四邊形，

又；/止，4。，點石為8。的中點，

AE=CE9

二平行四邊形AECF是菱形，故③正確；

ACLEF,

在RL△COE中，NACE=30。，

:.OE=-CE=-BC=-AD,故②正確；

244

在平行四邊形ABC。中，OA=OC,

又?.?點E為的中點，

?*,S^BOE=2S^BOC=WS^ABC9故④正確；

綜上所述：正確的結(jié)論有4個，

故選：A.

9.答案：A

解析：?.?四邊形ABCD是菱形，

AB=BC9

???AB=AC,

AB=BC=AC9

即△ABC是等邊三角形，

同理：△的>（?是等邊三角形，

:.ZB=ZEAC=60°,

在△ABE和鉆中，

BF=AE

<NB=ZEAC,

AB=AC

.?.△ABF^AC4E（SAS）；

:.ZBAF=ZACE,EC=AF,

ZFHC=ZACE+ZFAC=ZBAF+ZFAC=ZBAC=60°,

:"FHC=/B,

故①正確，②正確；

ZAHC+ZADC=120°+60°=180°,

.?.點A,H,C,。四點共圓，

:.ZAHD^ZACD^60°,ZACH=ZADH=ZBAF,

ZAHD=NFHC=ZAHE=60°,

:△AEHs^DAH,

ZAEH=ZDAH,故③正確；

VZACE=ZBAF,ZAEH^ZAEC,

:./\AEH^/\CEA,

.AEAH

一法―

:.AEAC=AHEC,

:.AEAD=AHAF,

故④正確；

綜上可知，正確的有：①②③④，

故選A.

10.答案:75

解析：?.■正方形紙片對折，折痕為MN,

MN是AD的垂直平分線，

：.MA=MD=-AD,

2

?.?把3點折疊在折痕MN上，折痕為AE,點3在上的對應(yīng)點為H,

:.AB=AH,

?：四邊形ABCD是正方形，

.'.AD=AB,

,\AH=AD=2AM9

\-ZAMH^9Q°,AM=-AH,

2

:.ZAHM^30°,

MN//AB,

ZBAH=30°,

在△AHB中，AH=AB,

ZABH=1(180°-ZBAH)=1(180°-30°)=75°.

故答案為：75.

IL答案：-

2

解析：?.?四邊形ABC。是矩形，

.-.BC=AD=6,AD//BC,ZABC=90°,

:./\AQP^Z\CQB,

,Ce_BC_6

..————D,

AQAP2

3

..CQ=3AQ,即CQ=3AC,

4

在中，由勾股定理得47=/4笈+6。2=10,

故答案為：I

12.答案:90?；?80。

解析：由題意可知，P點在以A為圓心，為半徑的圓上運動.

如圖：延長B4與。A交于鳥，連接

P3C=2AB=BC,

又?.?4=60。，

為等邊三角形，

:.AC±AB.

在口ABC。中，ABHCD,AB=CD,

:.CD±AC.

:.ZACD=9Q°,

：.當(dāng)P在直線AC上時符合題意，

/.4=90°.

連接《。，

AR//CD,AP3^AB=CD,

二四邊形AC。鳥為平行四邊形.

"DC="AC=90°,

即：P運動到《時符合題意.

/.%=180。.

記中點為G,以G為圓心，GC為半徑作0G.

AG=yjAC2+CG2=VBC2-AB2+CG2=J(2CD)2-CD2+(|CD)2=平CD>~CD,

與。G相離，

:.ZDPC<90°.

故答案為：90。、180°.

13.答案：①②④

解析：如圖，設(shè)AC與的交點為

根據(jù)作圖可得MN,AC,且平分AC,

AO=OC,

?.?四邊形ABC。是矩形，

AD//BC,

:.ZEAO=ZOCF,

XvZAOE=ZCOF,AO=CO,

:.^AOE^^COF,

EO=FO,

二.四邊形AEB是平行四邊形，

MN垂直平分AC,

EA=EC,

二四邊形AECF是菱形，故①正確；

?\'FA=FC,

:.ZACB=ZFAC,

ZAFB=2ZACB；故②正確；

③由菱形的面積可得LAC.EF=C『CD；故③不正確,

2

④?.?四邊形AE5是菱形，

:.ZFAC=ZEAC,AF=CF,

X-：ZBAFZFAC,

ZBAF=ZFAC

?.?四邊形ABCD是矩形，

:.ZABC=ZBAD=90°,

:.ZBAF+ZFAC+ZEAC^90°,

:.ZBAF=30°,

:.AF=2BF,

.?.CF=2M.故④正確；

綜上所述：正確的結(jié)論是①②④，

故答案為：①②④.

14.答案：(1)—

2

(2)V5-1

(3)(100V61-10075)m

解析：(1)?.?四邊形ABCD是菱形，

：,AB=AD^BC^3,AD//BC,

?：CF=2,

:.BF=BC-CF=1,

在中，由勾股定理得=BF2=272,

?/AD//BC,

:△AND^AFNB,

.FNBF_1

"AN~AD^3J

.-,FN=-AF=—；

42

（2）如圖所示，取AB的中點

ZAHB=9Q°,

.?.點H在以。為圓心，以A5為直徑的圓上運動，

.?.當(dāng)。、C、H三點共線時，“有最小值，最小值為OC-05,

：AB=2,

/.OB-1,BC-2,

在Rt△OBC中，由勾股定理得=逐,

.-.CH^=OC-OB=45-1

(3)如圖所示，連接所交尸。于K,連接5K,取3K的中點。，過點。作MW/AD交C。

于N,交于M,

?.?四邊形ABCD是矩形，

：.CD=AB^800m,ZA=90°,CD//AB,AD=BC=600m,

vE,R分別為AB,CO的中點，

DF=AE=-CD=-AB=400m,

22

又?：DFIIAE,ZA=90°,

四邊形EECA是矩形，

：.EF=AD=6Q0m,

FQ//EP,

:./\FKQ^/\EKP,

.EK_EP_1

'~FK~~FQ~^

EK=-EF=200m,

3

在RtABEK中，由勾股定理得BK=^KE'+BE2=200扇i；

同理可證四邊形EFNM是矩形，

：.MN=EF^600m,EF//MN,FN=EM,

：./\BOM^Z\BKE,

OMBMOB1

"KE~BE~BK~2J

:.OM=-KE=lQ0m,BM=-BE=200m,

22

:.FN=EM=BE-BM=200m,ON=MN—OM=5(X)m,

:.DN=DF+FN=600m,

在RtZXOZW中，OD=NON，+DN?=100面m；

BH±QP,即ZBHK=90。，

.?.點H在以。為圓心，以3K為直徑的圓上運動，

.?.當(dāng)。、H、。三點共線時，有最小值，最小值即為0。-OK,

...°”最小值=(100府—100/)m.

15.答案:(1)3

(2)見解析

(3)存在；DN=三或2

解析：(1)如下圖

?.?四邊形ABCD是矩形，AB=10,