數(shù)學(xué)

考試時間：120分鐘滿分：150分

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知sinc=g,則cos]tz+1J=()

A.-B.--C.立D.-立

3333

2.己知等比數(shù)列｛qj的前，項和為S“，若公比q=2,邑=7,則4+%+%=()

A.49B.56C.63D.112

3.玉溪市正在創(chuàng)建全國文明城市，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4人，平均分成兩組，其中一組指

揮交通，一組打掃街道衛(wèi)生，則甲、乙不在同一組的概率為()

A.；B.-C.-D.-

2336

4.設(shè)直線/的方向向量為2,平面。的法向量為Z則2,3是川&的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

5.已知點尸是圓C:d+y2-4x+6y+12=0上的動點，貝U點P至I]直線4x-3y-2=。距離的

最小值是()

A.4B.3C.2D.1

6.已知函數(shù)/(x)=/-x+a,若/。)>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-l,+oo)B.(-oo,-l)C.[-l,+oo)D.(-oo,-l]

7.已知函數(shù)外幻的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)/'(X)滿足/(x)>/'(x),則()

A./(l)>ef(0)B.f(l)<e/,(0)C.^(In2)<2/(1)D.〃2)>e/⑴

22

8.已知雙曲線石：二-七=1(a>0/>0)的左，右焦點分別為耳,工，左，右頂點分別為4，4，

ab

點8的坐標為(o,b),p在雙曲線E上，PA是的中垂線，若,8月的周長與AP&與的周

長之差為1+五，則雙曲線E的方程為()

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.

已知函數(shù)/(x)=§x3_2a?+3x+l(aeR),則下列結(jié)論正確的是(

A.若力>)在x=2處的瞬時變化率為3,則°=0

B.當。=1時，函數(shù)/(x)在區(qū)間。4］上的最小值為1

C.若/(x)在R上單調(diào)遞增，則/wg

D.當。=1時，函數(shù)/(x)圖象的對稱中心是(2,|)

10.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，q>0,公差為S16>0,4<0,則下列結(jié)論正確

的是()

A.d<0B.當〃=8時，S,取得最大值

C.%+%+%8<0D.使得S“>0成立的最大自然數(shù)"是17

11.如圖，已知圓臺的軸截面為ABCZ),其中「

--~^C

A3=3CD=126,AD=8,M為圓弧A8的中點，

________4^^二二二二二三

DE=2EA，貝1()方-------------

A.圓臺的體積為208兀

B.圓臺母線所在直線與平面ABCO所成角的最大值為g

C.過任意兩條母線作圓臺的截面，截面面積的最大值為32指

D.過C,E,M三點的平面與圓臺下底面的交線長為竺叵

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.拋物線y=的焦點坐標是.

O

13.已知數(shù)列｛%｝滿足三七=二+1(“€^),且4=3,則｛《｝的通項公式4=.

2〃一12〃一3'7

14.若曲線>=(尤+a)e，有兩條過坐標原點切線，則。的取值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(13分)在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知Wsin8+6cosA=0.

⑴求角A的大?。?/p>

(2)若a=S，b=y/3,求VABC的面積.

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=--------Inx(aeR).

(1)當a=l時，求函數(shù)的極值；

(2)求〃x)在:,e上的最大值g(a).

22<122

17.(15分)已知橢圓C:二+表~=l(a>b>0)經(jīng)過點人(。,2),81二,-二

(1)求C的方程和離心率；

(2)若過點A且斜率為1的直線/與C的另一個交點為。，求的面積.

18.(17分)已知等差數(shù)列｛可｝滿足?！埃?。用是關(guān)于x的方程/-4加+用=0的兩個根.

(1)求生和a2■

⑵求凡和與；

⑶設(shè)J,=3+(T)”4,求數(shù)列6｝的前2〃項和邑，.

19.(17分)對于函數(shù)y=〃x)的導(dǎo)函數(shù)V=/'(x),若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)與和人

使得/'(xo+OnU+l)./"(x。)成立，則稱y=/(x)是“躍點”函數(shù)，并稱與是函數(shù)

y=/(x)的“，躍點”.

(1)若函數(shù)y=sinx—m(xeR)是■躍點”函數(shù)，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若函數(shù)＞=爐一盤+1是定義在(-1,3)上的“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個不

同的“1躍點”，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若函數(shù)y=e'+法(xeR)是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個“1躍點”，

求實數(shù)6的取值范圍.

玉溪一中高2026屆高二下學(xué)期月考試卷

數(shù)學(xué)

參考答案

1.【答案】B

【詳解】因為sinc=j所以cos(a+力=-$m々=-；故選：B

2.【答案】B

+4+43C

【詳解】V----^=《3=8,.?./+%+4=8$3=56.故選：B.

I+%

3.【答案】C

【詳解】根據(jù)指揮交通組選人打掃街道組選人，基本事件總數(shù)為6,

甲乙在同一組包含基本事件總數(shù)為2,其概率為:，

其對立事件：“甲、乙不在同一組”

12

所以甲、乙不在同一組概率為I-耳=:故答案為：C

4.【答案】B

【詳解】已知直線/的方向向量為2,平面。的法向量為落則由五得到/ua或///a,

故2,5是"/0的非充分條件；

由///a可得%，元，故％，元是“/￡的必要條件.故選：B

5.【答案】C

【詳解】因為圓C:d+y2一4尤+6、+12=?？苫癁?x—2)2+(y+3)2=l,

所以圓心坐標為C(2,-3),半徑廠=1,

|4x2—3x(—3)-2|

因為圓心C到直線4x-3j-2=0的距離d=J~/'=3>1,

所以直線4x-3y-2=0與圓C相離，

所以點尸至I］直線4x-3y-2=。距離的最小值是d-r=3-l=2.故選：C.

6.【答案】A

【詳解】若m>。恒成立，則_/(無)而口>0,

f'(x)=ex-1,二由/''(x)>0,得x>0；由1(x)<0,得x<0,

.?"(x)在(f,O)上單調(diào)遞減，在(。,+8)上單調(diào)遞增，.?"(初而=/(O)=l+a,

由l+a>0,得—1J故選：A

7.【答案】B

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g(尤)=卒，X6R,則￡3)=/'(?二/(”)<0,所以函數(shù)g(x)為R上

eex

的減函數(shù)，則g(l)<g(O),即3</(0),所以/⑴〈好■(()),A錯誤，B正確；因為

e

In2<Ine=1，所以g(ln2)>g(l),即以帖〉犯，所以《(In2)>2/⑴,c錯誤,

2e

因為g(2)<g⑴,所以/⑵<叭1),D錯誤.故選B.

8.【答案】B

【詳解】因為叫是的中垂線，所以忸A(yù)=|A4|，|^|=Hl>

若APBK的周長與APAB的周長之差為1+S,

則忸耳1+忸尸㈤尸4日尸圖一|2421T4司=i+a,

即2a+yjc2+b2-(c-a)=l+幣,①

又忸&=|A4|,所以c=2〃，②

且C?=從+。2，③

a=1

解①②③組成的方程組可得°_忖

則雙曲線E的方程為/-乙=1.故選：B.

3

9.【答案】BD

【詳解】函數(shù)/00=：三一2以2+3工+1的定義域為區(qū)，求導(dǎo)得了'00=/—4℃+3,

對于A,y'(2)=7—8。=3,解得。=g,A錯誤；

對于B,當。=1時，f'(x)-x2-4x+3-(x-l)(x-3),

當0<x<l或3<%<4時，r(x)>0,當1<%<3時，/'。)<0，

函數(shù)在區(qū)間(0,1),(3,4)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，/(0)=/(3)=1,

函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,4］上最小值為/(0)=/(3)=1,B正確；

對于C,/(%)在R上單調(diào)遞增，則/(；0=必—4奴+3?0恒成立，A=16a2-12<0)

3

解得0/＜一,c錯誤；

4

對于D,當。=1時，f\x）=%2-4x+3=（x-1）（%-3）,對稱軸為1=2,所以函數(shù)/（%）

圖像的對稱中心是（2,—）,D正確.故選：BD

3

10.【答案】ABC

【詳解】因為等差數(shù)列｛%｝中,

16（%+。16）

56=>0,%<0,

2

所以〃8>。，為<0，d=a9-as<0fA正確;

當〃=8時，5〃取得最大值，B正確;

/+%+%8=3q+24d=3（q+8d）=3為<0,C正確；

S]6=8（%+苗6）=8（%+q）>0,Sy==17a9v0,

故S”>。成立的最大自然數(shù)〃=16,D錯誤.故選：ABC

11.【答案】ABD

【詳解】A.,??A5=3CD=126,A0=8,?,?圓臺上底面圓半徑為，下底面圓半徑為673，

圓臺的高h=^82-（6A/3-273）2=4，

圓臺的體積卜=3x4x（2^/3）2+2^x673+（6A/3）2=208兀，A正確.

41由7T

B.由。=4,BC=8,得sinX.OBC=—=—,/OBCe[o]得，ZOBC=-.

826

如圖，將圓臺補成圓錐，頂點記為T,底面圓的圓心記為。，連接TO,MO,MT,

為圓弧AB的中點，AB.

：TO八平面AMS,MOu平面AMB,T0AAfO,

,ZTOC\AB^O,TO,AB?平面ABCD,

MO_L平面ABC。，

：加0匚平面77110,平面77WO人平面ABCD,

JIJI'JI

此時母線所在直線7M與平面ABCD所成的角最大，最大為BMTO,1MTO---=-,B

263

正確.

C.由？TBOq,O8=66得，TO=6,BT=n,TC=12-8=4,

6

當兩條母線所在直線夾角為g時,截面面積最大，最大值為《創(chuàng)22Sing-1倉限sin]=64,

22222

C錯誤.

D.如圖，在梯形ABC。中，連接CE并延長交

54的延長線于點尸，連接乂尸交底面圓于點

N,則為截面與底面圓的交線.

由里=%=2得，AF=2g,0尸=8指，，tan?OMF"=里=+,cos?OMF

AFEAOM6^35

取跖V中點G,則OGAMN,MN=2MG,

：.MN=2x643xcosZOMF=,D正確.故選：ABD.

12.【答案】（0,2）

【詳解】由丁=：尤:得到V=8y,所以p=4,

O

所以拋物線y無2的焦點是（0,2）.

O

13.【答案】（2n-3）（n-4）.

【詳解】由+可知數(shù)列是以3=一3為首項，1為公差的等

差數(shù)列，

即可得^3=-3+（"-1）*1="4，所以卬=（2"—3）（〃一4）.

故答案為：（2〃-3乂〃-4）

14.【答案】（《,-4川（。,包）

【詳解】y=(%+o)e",「?y'=(%+1+Q)e",

設(shè)切點為（%，%），則%=（%+。）e/，切線斜率左=伍+1+a）e%,

切線方程為：y—（Xo+Q）e/=（%0+1+<2）6^（A:-A:0）,

;切線過原點，二?—（王）+Q）e"=（%o+l+Q）e"）（一七）,

Q

整理得：X+axQ—a=0,

?切線有兩條，=a?+4a>0,解得a<—4或〃>0,

a的取值范圍是(—,-4)U(O,+8),

故答案為：(T,-4)U(。，”)

15.【答案】⑴§；⑵3

64

【詳角軍】(1)由正弦定理得石sinAsinB+sinBcosA=0.

因為Bw(0,兀)，所以，sinBwO,tanA=--.

3

5兀

因為在VABC中，Ae(0,7i),所以，A=?.

6

(2)由。=近，6=6及余弦定理〃2=/+。2—2/7。?05人.

得，+3(:-4=0,解得。=1或C=T(舍)

所以，入.=-bcsinA=-x^X1XI=T

22

2-ae,a<-

e

16.【答案】⑴/(九)的極大值為了⑴=0,無極小值；(2)g(〃)=<

e

--,a>e

e

x-ax—a

【詳解】⑴函數(shù)〃x)=一Inx(aeR)的定義域為(0,+a),則-")=￡-：=-

xx2

當。=i時，/。)=二=0,得x=i,

X

當xe(0,1)時，((x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當xe(l,E)時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減

,/(X)的極大值為/(I)=0,無極小值；

⑵由(1)知，當aw：時，函數(shù)了(力在：,e上單調(diào)遞減，

此時，g(°)=O=2-ae；

當，<a<e時，函數(shù)“X)在上單調(diào)遞增，在(a,e］上單調(diào)遞減，

此時，g(a)=/(?)=-Ina；

當a±e時，函數(shù)在［Le］上單調(diào)遞增，此時，g(fl)=/(e)=.

C2-ae,a</—1

e

i1

綜上所述，g(a)=<-Ina,—<a<e.

e

a、

—,。2e

e

17.【答案】⑴V=L乎；⑵等

2

144-一解得］a=6,

【詳解】(1)由題意得

Z?2=4.

.251+25b2-'

所以c的方程為=+.=1.

6

。的離心率為

(2)由題意知直線/的方程為y=x+2,

12

y—x+2,x=-

x=0,y_2

聯(lián)立得/產(chǎn)得I或所以

一+—=1,2-5

164y=-

5,

觀察可知AABD是等腰三角形，且3。與無軸平行，所以S=1x1212144

AABD一十一x2+

55lt至"

18.【答案】(1M=1S=3；(2)(2"1)(2"+1)；(2)邑“=2〃-,+：

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列僅〃｝的公差為d.

當〃=1時，％,。2是方程f-好+4=。的兩根，

由韋達定理得6+%=2%+d=4,①

當〃=2時，。2，。3是方程爐-8元+匕2=。的兩根，

由韋達定理得。2+。3=24+31=8,②

由①②，解得。i=l，d=2；%=3；

(2)由(1)知％=l,d=2,所以?！?%+(〃—l)d=2〃一1,

貝1。〃+1=2〃+1,對于方程/一4幾x+么=0,

由韋達定理得見。用=〃，即勿=(2〃-1)(2〃+1),

⑶J=(+(-1)%=而日麗+5—)”<1)+3心一+),

所以邑三+3-5+7-…+(-1產(chǎn)(41)+如*[+…+￡-焉)

cI“I、cII

=2n+—(l--------)=2n-------------------1--

24n+l8n+22

⑵(-1-5-2)U(2,-1)；2

19.【答案】⑴日共(3)(0,+oo)|e(2-e)j.

【詳解】⑴函數(shù)y=sinx-根的導(dǎo)函數(shù)為y'=cosx,

71

因為函數(shù)，=5皿工一機，xwR是“萬躍點”函數(shù),

7TIT7T

則方程sin(x+一)一相=(一+1)cos九°有解，即一根二不cos/有解,

0222

而COS/￡[—1,1],因此一加￡[-5,5],解得相￡[一,,]]，

所以實數(shù)，〃的取值范圍是《，共

⑵函數(shù)y=x2-czx+l,xe(-1,3)的導(dǎo)函數(shù)為y'=2x-a,

依題意，方程(x()+D~-a(