/湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（

）A． B． C． D．22．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．60 B． C． D．123．從0－9這10個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù)，組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．648 B．720 C．504 D．10004．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．6．某校6名同學(xué)打算去武漢旅游，現(xiàn)有黃鶴樓、古德寺、湖北省博物館三個(gè)景區(qū)可供選擇.若每個(gè)景區(qū)中至少有1名同學(xué)前往打卡，每人僅去一個(gè)景點(diǎn)，則不同方案的種數(shù)為（

）A．180 B．360 C．540 D．6707．如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連通起來(lái)，則建設(shè)方案有（）A．12種 B．16種 C．20種 D．24種8．函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．函數(shù)，則（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．沒(méi)有零點(diǎn) D．最大值為210．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列C． D．11．已知函數(shù).若曲線恰有三條過(guò)點(diǎn)的切線，其中實(shí)數(shù)的所有取值組成集合的所有取值組成集合，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．若，則C．直線上存在滿足要求的點(diǎn) D．直線上存在滿足要求的點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．除以26所得余數(shù)為.13．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)相異的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．已知，，…，是，，…，（，）滿足下列性質(zhì)的一個(gè)排列，性質(zhì)：排列，，…，中存在唯一使得，滿足性質(zhì)的數(shù)列，，…，的個(gè)數(shù)為．四、解答題（本大題共5小題）15．高二某班計(jì)劃從4名男生、3名女生中選拔4人負(fù)責(zé)本周校會(huì).(1)若要求選出的4人中同時(shí)包含男生和女生，有多少種不同的組合方式？（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）(2)已經(jīng)按照（1）中要求選出甲、乙、丙、丁四人，現(xiàn)要從已選擇的4人中安排1人擔(dān)任校會(huì)主持，1人進(jìn)行國(guó)旗下的講話，2人負(fù)責(zé)升旗儀式，有多少種不同的職務(wù)分配方案？（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）(3)在完成（2）的職務(wù)分配后，校會(huì)結(jié)束后這4位同學(xué)和班主任共5人需合影留念，要求兩位升旗手必須相鄰站立，有多少種不同的排列方法？（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù).(1)證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為；①求；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.18．已知函數(shù)，.的導(dǎo)函數(shù)為.(1)當(dāng)時(shí).求函數(shù)的最小值；(2)若.①證明：恰有3個(gè)零點(diǎn)；②證明：的所有零點(diǎn)之和為定值.19．對(duì)于正整數(shù)和正整數(shù)，現(xiàn)定義函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算在處的取值；(2)為了研究函數(shù)的單調(diào)性，現(xiàn)定義差分比；①證明：當(dāng)時(shí)，；②對(duì)于任意正整數(shù)，當(dāng)取到最大值時(shí)，求正整數(shù).

參考答案1．【答案】D【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知.故選D.2．【答案】C【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，解得，所以，即的系數(shù)為.故選C.3．【答案】A【詳解】因?yàn)?不能作首位，所以用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故選A.4．【答案】B【詳解】由得，由函數(shù)單調(diào)遞減可得恒成立，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.5．【答案】B【詳解】令，則，得，，，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選B.6．【答案】C【詳解】由題意，當(dāng)每個(gè)景區(qū)都有2名同學(xué)前往時(shí)，此時(shí)方案有種；當(dāng)按分別有1，2，3名同學(xué)前往景區(qū)時(shí)，此時(shí)方案有種；當(dāng)按分別有1，1，4名同學(xué)前往景區(qū)時(shí)，此時(shí)方案有種；故不同方案的種數(shù)為（種），故選C.7．【答案】B【詳解】由題意知要將4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D連接起來(lái)，共有個(gè)位置可以建設(shè)橋梁，從這6個(gè)位置中選3個(gè)建設(shè)橋梁，共有種選法，但選出的3個(gè)位置可能是僅連接或或或三個(gè)小島，不合題意，故要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連接起來(lái)，共有（種）不同的方案.故選B.8．【答案】D【詳解】由題知，的定義域?yàn)?，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以，則①，令，因?yàn)?，所以，將代入①整理可得，所以，令，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.故選D.9．【答案】ABC【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，故A正確；令得，即，令得，即，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，因此沒(méi)有零點(diǎn)，即BC正確，D錯(cuò)誤.故選ABC.10．【答案】ACD【詳解】A.由條件，可知，，且，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故A正確；B.由條件可知，，，，，，數(shù)列的前3項(xiàng)2,5,14不能構(gòu)成等差數(shù)列，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C.由A可知，，所以時(shí)，，，也適合，故C正確；D.由C可知，，所以，故D正確.故選ACD.11．【答案】BD【詳解】A.，則，設(shè)切點(diǎn)，，所以切線方程為，切線過(guò)點(diǎn)，所以，則，則，此時(shí)只有唯一切點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)的切線只有1條，不滿足條件，故A錯(cuò)誤；B.若點(diǎn)，在由A可知，，整理為，設(shè)，，得或，當(dāng)，得或，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的極大值是，極小值是，所以與軸有3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即有個(gè)切點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)的切線有3條，滿足條件，故B正確；C.設(shè)，則，整理為，得，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，則與只有1個(gè)交點(diǎn)，即方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，即只有1個(gè)切點(diǎn)，1條切線，所以直線上不存在滿足要求的點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D.設(shè)，則，整理為，得，，設(shè)，，得或，，得或，，得，或或，所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是和和如圖畫出函數(shù)的圖象，由圖象可知，與存在3個(gè)交點(diǎn)，即方程存在3個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.故選BD.12．【答案】1【詳解】，因?yàn)槎寄鼙?6整除，所以除以26所得余數(shù)為1.13．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可作圖如下：由方程存在三個(gè)根，等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象存在三個(gè)交點(diǎn)，則.14．【答案】【詳解】設(shè)為符合題意的的個(gè)數(shù)，考慮和之間的關(guān)系，為此考慮兩種情況下的：第一種為1到符合性質(zhì)排列，不妨設(shè)，此時(shí)要么放在末尾要么放在和之間，這一共有種情況；第二種為1到不符合性質(zhì)排列，此時(shí)若想插入數(shù)使得序列滿足性質(zhì)，則前個(gè)數(shù)只能遞增排列，然后插入，有種情況；故設(shè)易知，所以.15．【答案】(1)34(2)12(3)48【詳解】（1）如果選出的4人中同時(shí)包含男生和女生，先從所有7人中選4人，去掉只有男生的情況，故有種組合方式.（2）先選出的4人中安排1人擔(dān)任校會(huì)主持，再?gòu)氖Ｓ?人中安排1人進(jìn)行國(guó)旗下的講話，最后讓剩余2人負(fù)責(zé)升旗儀式，共有種職務(wù)分配方案（3）將兩位升旗手看成一個(gè)整體，與其它的3人排列有種情況，再排兩位升旗手有種情況，共有種排法.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，故，.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），因?yàn)?，所以由，得，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②16【詳解】（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，，數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，因?yàn)?，?duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，數(shù)列是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列；（2）①由（1）知，所以，則，.兩式相減可得，；②恒成立，恒成立，恒成立，恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，，即.18．【答案】(1)0(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，令當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù).；（2）①令；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，又，所以，且當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；所以在與上各有一個(gè)零點(diǎn)，不妨分別記為，所以時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；且，所以；則，，又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；所以在與上各有一個(gè)零點(diǎn)，且，所以有且僅有三個(gè)零點(diǎn).②令令，，.令，為奇函數(shù).因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以所有零點(diǎn)和為0；所有零點(diǎn)和為0.由于的圖象可由向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以所有的零點(diǎn)和為定值3.19．【