/湖北省武漢市2025屆高三下學(xué)期畢業(yè)生四月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（）A．， B． C． D．2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，為其前n項(xiàng)和，則的最小值為（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．隨著Deepseek的流行，各種AI大模型層出不窮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)AI大模型，在對(duì)甲、乙兩個(gè)大模型進(jìn)行深度體驗(yàn)后，6位評(píng)委分別對(duì)甲、乙進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)表格，則下列結(jié)論不正確的是（）

評(píng)委編號(hào)模型名稱123456甲7.09.38.39.28.98.9乙8.19.18.58.68.78.6A．甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù) B．甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)C．甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù) D．甲得分的方差大于乙得分的方差5．若，則的值為（）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，，面積為，D為邊AB上一點(diǎn)，CD是的角平分線，則（）A． B．1 C． D．7．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為（）A．1 B． C．2 D．38．已知連續(xù)型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記函數(shù)，則的圖象（）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱二、多選題（本大題共3小題）9．若復(fù)數(shù)，則（）A．B．C．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn)．復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為10．已知數(shù)列滿足，的前n項(xiàng)和為，則（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．，，構(gòu)成等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列前100項(xiàng)和為11．已知曲線，為曲線C上任一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．曲線C與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn)B．曲線C與直線相切C．是關(guān)于的函數(shù)D．是關(guān)于的函數(shù)三、填空題（本大題共3小題）12．若雙曲線的離心率為2，則的值為．13．為了響應(yīng)節(jié)能減排號(hào)召，某地政府決定大規(guī)模鋪設(shè)光伏太陽(yáng)能板，該地區(qū)未來(lái)第x年底光伏太陽(yáng)能板的保有量y（單位：萬(wàn)塊）滿足模型，其中N為飽和度，為初始值，p為年增長(zhǎng)率．若該地區(qū)2024年底的光伏太陽(yáng)能板保有量約為20萬(wàn)塊，以此為初始值，以后每年的增長(zhǎng)率均為，飽和度為1020萬(wàn)塊，那么2030年底該地區(qū)光伏太陽(yáng)能板的保有量約萬(wàn)塊．（結(jié)果四舍五入保留到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）14．在各棱長(zhǎng)均相等的正四面體中，取棱上一點(diǎn)T，使，連接，三棱錐的內(nèi)切球的球心為M，三棱錐的內(nèi)切球的球心為N，則平面與平面的夾角的正弦值是．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在直三棱柱中，，，，上的點(diǎn)E滿足．(1)求證：平面；(2)求平面CBE與平面ABE夾角的余弦值．16．已知函數(shù)．(1)若在處的切線斜率為，求；(2)若恒成立，求的取值范圍．17．13張大小質(zhì)地完全相同的卡牌中有八張數(shù)字牌，正面標(biāo)有1~8，此外還有五張字母牌，正面標(biāo)有A~E，將這十三張牌隨機(jī)排成一行．(1)求五張字母牌互不相鄰的概率；(2)求在標(biāo)有8的卡牌左側(cè)沒(méi)有數(shù)字牌的概率；(3)對(duì)于給定的整數(shù)，記“在標(biāo)有k的數(shù)字牌左側(cè)，沒(méi)有標(biāo)號(hào)比k小的數(shù)字牌”為事件，求發(fā)生的概率．（結(jié)果用含k的式子表示）18．已知集合，集合B滿足．(1)判斷，，，中的哪些元素屬于B；(2)證明：若，，則；(3)證明：若，則．19．如圖，橢圓，，已知右頂點(diǎn)為，且它們的交點(diǎn)分別為，，，．

(1)求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線MN，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求；（上述各點(diǎn)均不重合）(3)點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)N，求點(diǎn)G坐標(biāo)，使直線NG與直線NH的斜率之積為定值．（上述各點(diǎn)均不重合）

參考答案1．【答案】C【詳解】由，可得，解得，所以，所以或，所以或.故選C.2．【答案】D【詳解】令，因?yàn)椋越獾?，所以?shù)列的前3項(xiàng)為負(fù)，從第4項(xiàng)起為正，所以的最小值為.故選D.3．【答案】C【詳解】因?yàn)椋运杂?，，?所以，故選C．4．【答案】A【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：甲：，乙：，甲得分的中位數(shù)為，乙得分的中位數(shù)為，甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故C正確；甲得分的眾數(shù)，乙得分的眾數(shù)為，甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)，故B正確；甲得分的平均數(shù)，乙得分的平均數(shù)，所以甲得分的平均數(shù)等于乙得分的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤；甲的方差，乙的方差為故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.故選A.5．【答案】A【詳解】由，可得，即，解得，所以.故選A.6．【答案】B【詳解】在中，，由余弦定理可得，所以，所以，又面積為，所以，所以，所以，所以，因?yàn)镃D是的角平分線，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所?故選B.7．【答案】D【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高，由，所以，所以體積，設(shè)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)取得極大值，即為最大值，此時(shí)該棱錐的體積最大，此時(shí).故選D．8．【答案】C【詳解】由連續(xù)型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得，可得，所以正態(tài)密度曲線關(guān)于對(duì)稱，即，由，可得在時(shí)增加較快，在時(shí)增加越來(lái)越慢，所以無(wú)對(duì)稱軸，故AB錯(cuò)誤；，所以關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，故C正確，D錯(cuò)誤.故選C.9．【答案】BCD【詳解】復(fù)數(shù)，，故A錯(cuò)誤；，，故B正確；z的實(shí)部為4大于零，虛部為-1，小于零，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故C正確；因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，設(shè)在單位圓上，則表示和點(diǎn)z之間的距離，其最大值為z到原點(diǎn)的距離加半徑，最大值為，故D正確，故選BCD10．【答案】AD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，可得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，所以，當(dāng)，適合上式，所以；由不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可知，，所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，，，又，所以，所以，，不構(gòu)成等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，故D正確.故選AD.11．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，由消元法可得，所以，當(dāng)或時(shí)，或，故此時(shí)無(wú)解，下面考慮上方程的解的個(gè)數(shù)，設(shè)，其中，設(shè)且，則的解為，，而，故當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，且，，而，故，故，，故在有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，故，對(duì)兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，則，故當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)，，而直線的斜率為2，故曲線與直線相切，故B正確.對(duì)于C，取，考慮即方程的解的個(gè)數(shù)，設(shè)，則，，，，故至少有兩個(gè)零點(diǎn)，故有兩個(gè)不同的解，故不是關(guān)于的函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，故為的減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故對(duì)任意，方程即有唯一解，故是關(guān)于的函數(shù)，故D正確；故選BD.12．【答案】3.【詳解】試題分析：依題意可得.本題考查的雙曲線的基本知識(shí).關(guān)鍵是要把所給的方程與標(biāo)準(zhǔn)方程相對(duì)應(yīng)好.13．【答案】【詳解】根據(jù)題意，所給模型中，則2030年底該地區(qū)光伏太陽(yáng)能板的保有量為，因?yàn)?，所以，所?030年底該地區(qū)光伏太陽(yáng)能板的保有量約36萬(wàn)塊.14．【答案】【詳解】設(shè)三棱錐的內(nèi)切球分別與面、面相切于兩點(diǎn)，易知平分，平分，易知，取中點(diǎn)為，則在的平分線上，同理三棱錐的內(nèi)切球球心在的角平分線上，易知面，故，同理，于是為平面與平面的夾角的平面角，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，則，，所以.15．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)?，，平面平面，所以平面；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)椋?，解得，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，依題意，解得；（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，所以恒成立，令，，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以使得，即，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.17．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記五張字母牌互不相鄰為事件為，則；（2）記在標(biāo)有8的卡牌左側(cè)沒(méi)有數(shù)字牌為事件，由于標(biāo)的牌都在標(biāo)有的牌的右側(cè)，有種排法，所以；（3）標(biāo)號(hào)比小的自牌有張，比大的自牌有張，.18．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)闆](méi)有倒數(shù)，所以；因?yàn)?，所以；綜上可得，.（2）先證明：若，，則；設(shè)，，為整數(shù)，所以，由于，都是整數(shù)，所以，當(dāng)，時(shí)，，，所以，所以；（3）因?yàn)椋?，所以，都是整?shù)，所以為整數(shù)，所以，假如，則，則應(yīng)為的倍數(shù)，設(shè)為整數(shù)，若，則不是的倍數(shù)；若，則不是的倍數(shù)；若，則不是的倍數(shù)；所以，即.19．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）由題意得，，又因?yàn)樵谏希?/p>