第29頁（共29頁）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之圖形認(rèn)識初步（2025年4月）一．選擇題（共10小題）1．（2025?洛南縣一模）如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，選擇一個(gè)空白的小正方形，能與陰影部分組成正方體的展開圖的方法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種2．（2025春?東城區(qū)校級月考）將一副直角三角尺如圖放置，若∠BOC＝155°，則∠AOD的大小為（）A．15° B．20° C．25° D．35°3．（2025?新城區(qū)校級三模）用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，得到的截面是矩形，則這個(gè)幾何體不可能是（）A． B． C． D．4．（2024秋?鄖西縣期末）如圖，射線OA的方向?yàn)槟掀珫|25°，且OA平分∠BOE，則射線OB的方向?yàn)椋ǎ〢．南偏西30° B．南偏西40° C．南偏西50° D．西偏南40°5．（2024秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，則以下結(jié)論：①∠AOD與∠BOE互為余角；②∠AOD=12∠COE；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝58°，則∠COE＝A．只有①④ B．只有①③④ C．只有③④ D．①②③④6．（2024秋?丹東期末）已知∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．40° B．110° C．40°或110° D．無法確定7．（2024秋?太和縣期末）如圖，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B是線段AC的三等分點(diǎn)，若AB＝6，則線段BD的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.58．（2024秋?儋州期末）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°9．（2024秋?東阿縣期末）下列說法正確的是（）A．如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角中一定有一個(gè)鈍角 B．兩個(gè)數(shù)的差一定小于兩個(gè)數(shù)的和 C．如果a＞b，那么|a|＞|b| D．三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是3的倍數(shù)10．（2024秋?泗縣期末）將一副直角三角板的頂點(diǎn)重合（如圖所示），則∠1與∠2的大小關(guān)系是（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．不能確定二．填空題（共5小題）11．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E是線段AB上的兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊），AB＝24，DE＝4，若AD＝2CE，則BD＝．12．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）在同一平面內(nèi)，∠AOB＝25°，∠AOC＝40°，則∠BOC＝．13．（2025春?迎澤區(qū)校級月考）將一幅三角板中的兩個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起．可知∠1＝∠3，理由是．14．（2025?港北區(qū)一模）將正方體的一種展開圖，按如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長為1，則BC＝．15．（2024秋?三河市期末）如圖，點(diǎn)A，M，B，C，N，D在一條直線上，若AB：BC：CD＝2：3：2，AB的中點(diǎn)M與CD的中點(diǎn)N的距離是11cm，則AD＝cm．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?三河市期末）已知：O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如圖1．若∠AOC＝30°．求∠DOE的度數(shù)；（2）在圖1中，若∠AOC＝a，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；（3）將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系．寫出你的結(jié)論，并說明理由．17．（2024秋?涼州區(qū)校級期末）如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB＝90°，∠BOC＝60°時(shí)，∠MON的度數(shù)是多少？為什么？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB＝70°，∠BOC＝60°時(shí)，∠MON＝（直接寫出結(jié)果）．（3）如圖3，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝β時(shí)，猜想：∠MON＝（直接寫出結(jié)果）．18．（2024秋?新羅區(qū)期末）（1）如圖，線段AB＝16cm，C是AB上一點(diǎn)，且AC＝10cm，OC=13BC，求線段（2）如圖，直線a上有兩點(diǎn)A、B，且AB＝10，點(diǎn)C在直線a上，且BC＝12．若點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，求線段BD的長．19．（2024秋?南平期末）一個(gè)等腰直角三角形GEF的直角頂點(diǎn)G和正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，點(diǎn)B和點(diǎn)D分別在GF和GE上（如圖1），將三角形GEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得GF與線段CD相交，如圖2．（1）當(dāng)∠BAF＝2∠DAF時(shí)，求∠EAD的度數(shù)；（2）猜想∠EAB與∠DAF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）射線AM和AN分別是∠DAF，∠FAB的角平分線，求∠MAN的大小．20．（2024秋?靖西市期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則稱射線OC是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線．例如，如圖1，若∠AOC=12∠BOC，則稱射線OC是射線【知識運(yùn)用】如圖2，∠AOB＝150°．（1）若射線OM是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線，則∠AOM＝°；（2）若射線ON是射線OB關(guān)于∠AOB的伴隨線，射線OQ是∠AOB的角平分線，則∠NOQ的度數(shù)是°；（3）射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；②當(dāng)t為多少秒時(shí)，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之圖形認(rèn)識初步（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BCCBBCCCDB一．選擇題（共10小題）1．（2025?洛南縣一模）如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，選擇一個(gè)空白的小正方形，能與陰影部分組成正方體的展開圖的方法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【考點(diǎn)】幾何體的展開圖．【專題】展開與折疊；空間觀念．【答案】B【分析】依據(jù)正方體的展開圖的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示：選擇標(biāo)有1或2的位置的空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖，所以能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有2種．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了幾何體的展開圖，關(guān)鍵是掌握正方體展開圖的特點(diǎn)．2．（2025春?東城區(qū)校級月考）將一副直角三角尺如圖放置，若∠BOC＝155°，則∠AOD的大小為（）A．15° B．20° C．25° D．35°【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先求出∠BOD的度數(shù)，再利用∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD，可得到結(jié)果．【解答】解：∵∠BOC＝155°，∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝65°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝25°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了角的計(jì)算，能結(jié)合圖形，正確計(jì)算是關(guān)鍵．3．（2025?新城區(qū)校級三模）用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，得到的截面是矩形，則這個(gè)幾何體不可能是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】截一個(gè)幾何體．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐、圓柱、球體，三棱柱的幾何特征，分別分析出用一個(gè)平面去截該幾何體時(shí)，可能得到的截面的形狀，逐一比照后，即可得到答案．【解答】解：用一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，A選項(xiàng)截面可能是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)截面可能是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)截面不可能是矩形，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)截面可能是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了幾何體的截面，掌握圓錐、圓柱、球體，三棱柱的幾何特征是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?鄖西縣期末）如圖，射線OA的方向?yàn)槟掀珫|25°，且OA平分∠BOE，則射線OB的方向?yàn)椋ǎ〢．南偏西30° B．南偏西40° C．南偏西50° D．西偏南40°【考點(diǎn)】方向角．【答案】B【分析】用方向角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以對象所處的射線為終邊，故描述方向角時(shí)，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．根據(jù)方向角的定義和角平分線的定義，得到∠BOC的度數(shù)，即可解答．【解答】解：如圖，∵射線OA的方向?yàn)槟掀珫|25°，即∠AOC＝25°，∴∠AOE＝90°﹣25°＝65°，∵OA平分∠BOE，∴∠BOE＝2∠AOE＝130°，∴∠BOE﹣∠COE＝130°﹣90°＝40°，∴射線OB的方向?yàn)槟掀?0°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了方向角的定義，角平分線的定義．解決本題的關(guān)鍵是計(jì)算出∠BOC的度數(shù)．5．（2024秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，則以下結(jié)論：①∠AOD與∠BOE互為余角；②∠AOD=12∠COE；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝58°，則∠COE＝A．只有①④ B．只有①③④ C．只有③④ D．①②③④【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角；角平分線的定義．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)角以及角平分線的定義解決此題．【解答】解：①由∠DOE＝90°，得∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°，那么∠AOD與∠BOE互為余角，故①正確．②由OC平分∠AOE，得∠AOC＝∠COE，無法推斷得到∠AOD=12∠COE，故③設(shè)∠COD＝x，由∠DOE＝90°，得∠COE＝90°﹣x．由OC平分∠AOE，得∠AOC＝∠COE，那么∠AOD＝90°﹣2x，進(jìn)而推斷出∠BOE＝2x，也就是說∠BOE＝2∠COD，故③正確．④由∠BOE＝58°，得∠AOE＝180°﹣∠BOE＝122°．由OC平分∠AOE，得∠COE=12∠AOE綜上：正確的有①③④．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查角平分線、補(bǔ)角，熟練掌握角平分線的定義以及補(bǔ)角的定義是解決本題的關(guān)鍵．6．（2024秋?丹東期末）已知∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．40° B．110° C．40°或110° D．無法確定【考點(diǎn)】角的計(jì)算．【專題】推理能力．【答案】C【分析】分兩種情況討論，一是OC在∠AOB內(nèi)部，二是OC在∠AOB外部，利用角的和差關(guān)系計(jì)算即可．【解答】解：分兩種情況討論，①當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖1，∵∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°；②當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí)，如圖2，∵∠AOB＝75°，∠BOC＝35°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°，綜上可知，∠AOC為40°或110°．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面內(nèi)角的運(yùn)算，根據(jù)射線OC的位置不同，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?太和縣期末）如圖，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B是線段AC的三等分點(diǎn)，若AB＝6，則線段BD的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【考點(diǎn)】線段的和差；兩點(diǎn)間的距離．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】首先根據(jù)題意解得AC、AD的長度，然后由BD＝AD﹣AB求解即可．【解答】解：由條件可知AC＝3AB＝18，∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，∴AD=∴BD＝AD﹣AB＝9﹣6＝3．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了線段和與差計(jì)算、有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算等知識，理解題意，弄清各線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．（2024秋?儋州期末）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線．【答案】C【分析】根據(jù)圖形中的等量關(guān)系得：∠1+∠2＝90°，再由∠1的度數(shù)，即可得出答案．【解答】解：∵圖中為兩個(gè)三角板，∴兩個(gè)三角形是直角三角形，∵∠1＝70°，∴∠2＝180°﹣90°﹣∠1＝20°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了余角和補(bǔ)角，找準(zhǔn)各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?東阿縣期末）下列說法正確的是（）A．如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角中一定有一個(gè)鈍角 B．兩個(gè)數(shù)的差一定小于兩個(gè)數(shù)的和 C．如果a＞b，那么|a|＞|b| D．三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是3的倍數(shù)【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角；倍數(shù)；絕對值；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專題】實(shí)數(shù)；線段、角、相交線與平行線；數(shù)感；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】由補(bǔ)角的定義，絕對值的性質(zhì)，奇數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則，即可判斷．【解答】解：A、如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角可能都是直角，故A不符合題意；B、兩個(gè)數(shù)的差可能大于兩個(gè)數(shù)的和，例如：5﹣（﹣6）＞5+（﹣6），故B不符合題意；C、如果a＞b，那么有可能|a|＜|b|，例如：a＝3，b＝﹣6，a＞b，但|a|＜|b|，故C不符合題意；D、設(shè)三個(gè)連續(xù)奇數(shù)是2n﹣1，2n+1，2n+3（n≥1，n是整數(shù)），則2n﹣1+2n+1+2n+3＝3（2n+1），因此三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是3的倍數(shù)．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查余角和補(bǔ)角，絕對值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，倍數(shù)，關(guān)鍵是掌握補(bǔ)角的定義，絕對值的性質(zhì)，奇數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則．10．（2024秋?泗縣期末）將一副直角三角板的頂點(diǎn)重合（如圖所示），則∠1與∠2的大小關(guān)系是（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．不能確定【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角．【答案】B【分析】根據(jù)同角的余角相等得出結(jié)論．【解答】解：∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了余角和補(bǔ)角，掌握等角的余角相等這一性質(zhì)的熟練應(yīng)用是解題關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E是線段AB上的兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊），AB＝24，DE＝4，若AD＝2CE，則BD＝563或8【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】563或8【分析】分①當(dāng)E在C左側(cè)時(shí)和②當(dāng)E在C右側(cè)時(shí)兩種情況，然后通過線段中點(diǎn)與線段和差即可求解．【解答】解：①如圖，當(dāng)E在C左側(cè)時(shí)，由條件可知AC=∵AD＝2CE，∴設(shè)CE＝x，則AD＝2x，∵AC＝AD+DE+EC，DE＝4，∴2x+4+x＝12，∴x=∴AD=∴BD=②如圖，當(dāng)E在C右側(cè)時(shí)，由條件可知AC=設(shè)CD＝y(tǒng)，則AD＝AC+CD＝12+y，CE＝CD+DE＝y(tǒng)+4，∵AD＝2CE，∴12+y＝2（y+4），解得：y＝4，∴AD＝12+4＝16，∴BD＝AB﹣AD＝24﹣16＝8；綜上可知：BD=563故答案為：563或8【點(diǎn)評】本題考查了線段中點(diǎn)，線段和差，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．12．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）在同一平面內(nèi)，∠AOB＝25°，∠AOC＝40°，則∠BOC＝65°或15°．【考點(diǎn)】角的計(jì)算．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】65°或15°．【分析】分OC在∠AOB上和OC在∠AOB下兩種情況考慮，依此畫出圖形，根據(jù)角與角之間結(jié)合∠AOB和∠AOC的度數(shù)，即可求出∠BOC的度數(shù)．【解答】解：當(dāng)OC在∠AOB上面時(shí)，如圖所示，由條件可知∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝25°+40°＝65°；當(dāng)OC在∠AOB下面時(shí)，如圖所示，由條件可知∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝40°﹣25°＝15°；故答案為：65°或15°．【點(diǎn)評】本題考查了角的計(jì)算，分OC在∠AOB上和OC在∠AOB下兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．13．（2025春?迎澤區(qū)校級月考）將一幅三角板中的兩個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起．可知∠1＝∠3，理由是同角的余角相等．【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】同角的余角相等．【分析】根據(jù)∠ACD＝∠ECB＝90°，則∠ACD﹣∠2＝∠ECB﹣∠2，即可作答．【解答】解：根據(jù)同角的余角相等可知：∠ACD﹣∠2＝∠ECB﹣∠2，即∠1＝∠3，故答案為：同角的余角相等．【點(diǎn)評】本題考查了同（等）角的余（補(bǔ)）角相等的應(yīng)用，熟練掌握同角的余角相等是關(guān)鍵．14．（2025?港北區(qū)一模）將正方體的一種展開圖，按如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長為1，則BC＝8．【考點(diǎn)】幾何體的展開圖．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖所示：由題意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，∠EFH＝∠B，∴△EFH∽△EBP，∴BPFH∴BP2解得PB＝6，∴BC＝PB+CP＝6+2＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求出BP的長是解答本題的關(guān)鍵．15．（2024秋?三河市期末）如圖，點(diǎn)A，M，B，C，N，D在一條直線上，若AB：BC：CD＝2：3：2，AB的中點(diǎn)M與CD的中點(diǎn)N的距離是11cm，則AD＝15.4cm．【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】15.4．【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MB，BC，根據(jù)線段的和差，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得x，根據(jù)線段的和差，可得答案．【解答】解：設(shè)AB＝2xcm，則BC＝3xcm，CD＝2xcm．∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MB＝xcm．∵N是CD的中點(diǎn)，∴NC＝xcm，∵M(jìn)N＝11cm，∴x+3x+x＝11．解得：x＝2.2．AD＝2x+3x+2x＝7x＝15.4cm．故答案為：15.4．【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段的和差得出關(guān)于x的方程是解題關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2024秋?三河市期末）已知：O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如圖1．若∠AOC＝30°．求∠DOE的度數(shù)；（2）在圖1中，若∠AOC＝a，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；（3）將圖1中的∠DOC繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系．寫出你的結(jié)論，并說明理由．【考點(diǎn)】角的計(jì)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求出∠BOD，求出∠BOC，根據(jù)角平分線求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．（2）求出∠BOD，求出∠BOC，根據(jù)角平分線求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD求出即可．（3）把∠AOC當(dāng)作已知數(shù)求出∠BOC，求出∠BOD，根據(jù)角平分線求出∠BOE，代入∠DOE＝∠BO+∠BOD求出即可．【解答】解：（1）∵∠COD是直角，∠AOC＝30°，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠COB＝90°+60°＝150°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°．（2）∵∠COD是直角，∠AOC＝a，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣a＝90°﹣a，∴∠COB＝90°+90°﹣a＝180°﹣a，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝90°-∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°-12a﹣（90°﹣a）=（3）∠AOC＝2∠DOE，理由是：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝90°-1∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（180°﹣∠AOC）＝∠AOC﹣90°，∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（∠AOC﹣90°）+（90°-12∠AOC）=1即∠AOC＝2∠DOE．【點(diǎn)評】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算和角平分線定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，求解過程類似．17．（2024秋?涼州區(qū)校級期末）如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB＝90°，∠BOC＝60°時(shí)，∠MON的度數(shù)是多少？為什么？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB＝70°，∠BOC＝60°時(shí)，∠MON＝35°（直接寫出結(jié)果）．（3）如圖3，當(dāng)∠AOB＝α，∠BOC＝β時(shí)，猜想：∠MON＝12α【考點(diǎn)】角的計(jì)算；角平分線的定義．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．【解答】解：（1）如圖1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC＝75°，∠NOC=12∠∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°．（2）如圖2，∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝70°+60°＝130°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC＝65°，∠NOC=12∠∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°．故答案為：35°．（3）如圖3，∠MON=12α，與理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝α+β．∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∴∠MOC=12∠AOC=12（∠NOC=12∠BOC=∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+β-12β＝α+∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC=12（α+β）-1即∠MON=12故答案為：12α【點(diǎn)評】本題考查了角平分線定義和角的有關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度數(shù)和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC．18．（2024秋?新羅區(qū)期末）（1）如圖，線段AB＝16cm，C是AB上一點(diǎn)，且AC＝10cm，OC=13BC，求線段（2）如圖，直線a上有兩點(diǎn)A、B，且AB＝10，點(diǎn)C在直線a上，且BC＝12．若點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，求線段BD的長．【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】（1）8cm；（2）1或11．【分析】（1）根據(jù)題意，BC＝6cm，則OC＝2cm，由AO＝AC﹣OC即可求解；（2）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左邊時(shí)；根據(jù)中點(diǎn)的定義，圖形結(jié)合計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝16cm，AC＝10cm，∴BC＝AB﹣AC＝16cm﹣10cm＝6cm，∵OC=∴OC=∴AO＝AC﹣OC＝10cm﹣2cm＝8cm；（2）分兩種情況分析當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí)和當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左邊時(shí)如下：①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右邊時(shí)，如圖所示：∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝AB+BC＝10+12＝22，∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴AD=∴BD＝AD﹣AB＝11﹣10＝1．②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左邊時(shí)，如圖所示：∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝BC﹣AB＝12﹣10＝2，∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴AD=∴BD＝AB+AD＝10+1＝11．【點(diǎn)評】本題主要考查線段和差的計(jì)算，中點(diǎn)的定義，理解圖示，掌握中點(diǎn)的定義，線段和差的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．19．（2024秋?南平期末）一個(gè)等腰直角三角形GEF的直角頂點(diǎn)G和正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，點(diǎn)B和點(diǎn)D分別在GF和GE上（如圖1），將三角形GEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得GF與線段CD相交，如圖2．（1）當(dāng)∠BAF＝2∠DAF時(shí)，求∠EAD的度數(shù)；（2）猜想∠EAB與∠DAF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）射線AM和AN分別是∠DAF，∠FAB的角平分線，求∠MAN的大?。究键c(diǎn)】角的計(jì)算；角平分線的定義．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】（1）60°；（2）∠EAB+∠DAF＝180°．理由見見解答過程；（3）45°．【分析】（1）依題意得∠EAF＝90°，∠DAB＝90°，則∠BAF+∠DAF＝90°，再根據(jù)∠BAF＝2∠DAF得∠DAF＝30°，再根據(jù)∠EAD＝∠EAF﹣∠DAF即可得出答案；（2）設(shè)∠BAF＝α，則∠EAB＝90°+α，∠DAF＝90°﹣α，則∠EAB+∠DAF＝180°，由此可得出∠EAB與∠DAF的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)角平分線定義得∠MAF=12∠DAF，∠FAM=12∠FAB，則∠MAN=12（∠DAF+∠FAB），根據(jù)∠DAB＝90°得∠DAF+∠FAB＝90°，則12（∠DAF+【解答】解：（1）依題意得：∠EAF＝90°，∠DAB＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∵∠BAF＝2∠DAF，∴2∠DAF+∠DAF＝90°，∴∠DAF＝30°，∴∠EAD＝∠EAF﹣∠DAF＝90°﹣30°＝60°；（2）∠EAB與∠DAF的數(shù)量關(guān)系是：∠EAB+∠DAF＝180°，理由如下：設(shè)∠BAF＝α，∵∠EAF＝90°，∠DAB＝90°，∴∠EAB＝∠EAF+∠BAF＝90°+α，∠DAF＝∠DAB﹣∠BAF＝90°﹣α，∴∠EAB+∠DAF＝90°+α+90°﹣α＝180°；（3）∵射線AM和AN分別是∠DAF，∠FAB的角平分線，如圖所示：∴∠MAF=12∠DAF，∠FAM=1∴∠MAN＝∠MAF+∠FAM=12（∠DAF+∠∵∠DAB＝90°，∴∠DAF+∠FAB＝90°，∴12（∠DAF+∠FAB）＝45∴∠MAN＝45°．【點(diǎn)評】此題主要考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，理解角平分線的定義，熟練掌握角的計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．20．（2024秋?靖西市期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則稱射線OC是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線．例如，如圖1，若∠AOC=12∠BOC，則稱射線OC是射線【知識運(yùn)用】如圖2，∠AOB＝150°．（1）若射線OM是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線，則∠AOM＝50°；（2）若射線ON是射線OB關(guān)于∠AOB的伴隨線，射線OQ是∠AOB的角平分線，則∠NOQ的度數(shù)是25°；（3）射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；②當(dāng)t為多少秒時(shí)，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．【考點(diǎn)】角的計(jì)算；一元一次方程的應(yīng)用；角平分線的定義．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】（1）50；（2）25；（3）①26秒或34秒；②503秒或25秒或45011秒或【分析】（1）根據(jù)題意得到∠AOM=12∠BOM，則∠BOM＝2∠AOM，根據(jù)∠AOM+∠BOM＝150°，則（2）結(jié)合（1）的計(jì)算得到∠BON＝50°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BOQ=12∠AOB=12×150°=75°，由∠NOQ＝∠（3）①當(dāng)∠COD的度數(shù)是20°時(shí)，有兩種可能：若在相遇之前，則150﹣3t﹣2t＝20；若在相遇之后，則3t+2t﹣150＝20，解方程即可；②若在相遇之前，有兩種情況：射線OC是射線OA關(guān)于∠AOD的伴隨線；射線OC是射線OD關(guān)于∠AOD的伴隨線；若在相遇之后，有兩種情況：射線OD是射線OA關(guān)于∠AOC的伴隨線；射線OD是射線OC關(guān)于∠AOC的伴隨線；根據(jù)伴隨線的定義列式計(jì)算即可．【解答】解：（1）如圖所示，已知∠AOB＝150°，射線OM是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線，∴∠AOM=12∠BOM，則∠∴3∠AOM＝150°，∴∠AOM＝50°，故答案為：50．（2）如圖所示，已知射線ON是射線OB關(guān)于∠AOB的伴隨線，∴根據(jù)（1）的計(jì)算可得，∠BON＝50°，∴∠BOQ∴∠NOQ＝∠BOQ﹣∠BON＝75°﹣50°＝25°，故答案為：25．（3）射線OD與OA重合時(shí)，t=①當(dāng)∠COD的度數(shù)是20°時(shí)，有兩種可能：若在相遇之前，則150﹣3t﹣2t＝20，解得t＝26；若在相遇之后，則3t+2t﹣150＝20，解得t＝34；綜上所述，當(dāng)t的值為26秒或34秒時(shí)，∠COD的度數(shù)是20°．②如圖1，若在相遇之前，有兩種情況：射線OC是射線OA關(guān)于∠AOD的伴隨線，∠AOC=1解得t=射線OC是射線OD關(guān)于∠AOD的伴隨線，∠COD=1解得t＝25；如圖2，若在相遇之后，有兩種情況：射線OD是射線OA關(guān)于∠AOC的伴隨線，則150-解得t=射線OD是射線OC關(guān)于∠AOC的伴隨線，則3t解得t=綜上所述，當(dāng)t為503秒或25秒或45011秒或45013秒時(shí)，射線OC，OD【點(diǎn)評】本題主要考查新定義，角平分線的定義，幾何中角的和差倍分的計(jì)算，一元一次方程解幾何問題，理解圖示中角度的數(shù)量關(guān)系正確列式是關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對值的化簡等．2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算．3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．3．一元一次方程的應(yīng)用（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤率=利潤進(jìn)價(jià)×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．4．幾何體的展開圖（1）多數(shù)立體圖形是由平面圖形圍