普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù)學(xué)（理科類）

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，其中第II卷22.—24.

題為選考題，其它題為必答題.第I卷1至3頁，第II卷4至6頁.考試結(jié)束后，將本試

卷和答題卡一并交回.

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)為,I2，%3，?一工〃的標(biāo)準(zhǔn)差

s=\_[（工1_X'+（%-X）2H----x）2]

Vn

其中X為樣本的平均數(shù)

柱體的體積公式V=sh其中S為底面積，力為高

錐體的體積公式V=-sh其中S為底面積，〃為高

3

4

球的表面積、體積公式S=4兀R2丫=一兀內(nèi)其中R為球的半徑

3

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選擇中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.己知集合M={*-3aW5},N={x|-5<xv5},則MCyV=().

A.{x|-5<x<5}B.(x-3<x<5}

C.{K|-5GW5}D.(x-3<xW5}

2.已知復(fù)數(shù)z=l—2i,那么!=(

).

z

A.旦偵iB.且一2i，2i12.

I).---------1

55555555

3.平面向量。與b的夾角為60°,a=(2,0),|^|=1則|a+羽=().

A.GB.2GC.4D.12

4.已知圓C與直線x—y=0及x—y-4=o都相切，圓心在直線x+）,=o上，則圓。的方程為（）.

A.(x+l)2+3(y-l)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2

C.(x-\)2+(y-V)2=2D.(A-+l)2+(y+l)2=2

5.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生

都有，則不同的組隊(duì)方案共有（）.

A.70種B.80種C.100種1).140種

6.設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，若區(qū)=3,則邑=().

s3s(

78

A.2B.—C.-D.3

33

x

7.曲線廣二^在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為().

x-2

A.y=x-2B.y=-3x+2

C.y=2x-3D.y=-2x+2

8.已知函數(shù)f（x）=Acos（cox+（p）的圖象如圖所示，

2

則f(0)=1).

21、21

A.一一B.一一C.一I).-

3232

9.已知偶函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,+8）單調(diào)增加，則滿足/（2工一1）＜/（!］的X取值范圍是

（）.

t（\c「12、「。2、nr12、

（33）133）（23）］_23）

10.某店一個(gè)月的收入和支出總共記錄了N個(gè)數(shù)據(jù)4?生....念,.其中收入記為正數(shù)，

支出記為負(fù)數(shù).該店用下達(dá)的程序框圖計(jì)算月總收入S和月凈盈利V,那么在圖中空白的判

斷框和處理框中，應(yīng)分別填入下列四個(gè)選項(xiàng)中的（）.

A.A>0,V=S-TB.A<0,V=S-TC.A>0,V=S+TD.A<0,V=S+T

第1。題圖

11.正六棱錐P-ABCDEF中,G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC體積之比為（）.

A.1：1B.1：2

C.2：1I).3：2

12.若占滿足2x+2*=5,々滿足2x+21og2（xT）=5,則占+/文）?

B.3

2

C.1

D.4

2

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13.—-21.題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做

答.第22.-—24.題為選考題，考生根據(jù)要求做答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.某企業(yè)有3個(gè)分廠生產(chǎn)同種電了產(chǎn)品，笫、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1：2：1.

用分層抽樣方法（每個(gè)分廠的產(chǎn)品為一層）從3個(gè)分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共取100件作使用

壽命的測試，由所得的測試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分

別為980h,1020h,1032H,則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為h.

14.等差數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為，且6s$-5$3=5,則4二

15.設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長度單位為m）.

則該幾何體的體積為加3

X2V2

16.已知F是雙曲線一一乙二1的左焦點(diǎn)，A（1,4）,P

412

是雙曲線右支.上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸耳+|尸山的最小值

為______

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或解題步驟

17.（本小題滿分12分）

如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B,D為

兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點(diǎn)和I）

點(diǎn)的仰角分別為75°,30）,于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的

仰角均為6（）。，AC=0.Ikn.試探究圖中B,D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B,

D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km,V2?1.414,"力2.449）

18.（本小題滿分12分）

如圖，已知兩個(gè)正方行AECD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M,N分別為AB,DF的中點(diǎn).

（I）若平面ABCD_L平而DCEF,求直線MN與平面DCEF所成

角的正值弦；

（II）用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線.

19.（本小題滿分12分）

某人向一目射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為該目標(biāo)分為

3

3個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6.擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的

概率與其面積成正比.

（I）設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列:

(II)若目標(biāo)被擊中2次，力表示事件”第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2

次”，求P(A).

(20)(本小題滿分12分)

3

已知，橢圓C過點(diǎn)A(1,T，兩個(gè)焦點(diǎn)為(T,0),(1,0).

2

(I)求橢圓C的方程；

(II)E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線

EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=2x2-ax+(a-l)Inx,a>\.

2

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)證明：若。<5,則對任意xjx,￡(0,+oo),有13—)>一］.

請考生在第22.、23.、24.三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.做

答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.

22.(本小題滿分10分)選修4T：幾何證明講

已知AABC中，AB=AC.D是^ABC外接圓劣孤4c上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合)，延長

BD至E.

(I)求證：AD的延長線平分/CDE；(/V\\

(H)若/BAC=30,AABC中BC邊上的高為2+百，求AABC{/\^/)\

外接圓的面積，

23.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角

坐標(biāo)系x()y中，以()為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為pcos

(<9--)=1,M,N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn).

3

(I)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M,N的極坐標(biāo)；

(H)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線0P的極坐標(biāo)方程.

24.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)

(I)若”二T，解不等式/0)之3；

(II)如果以/(*之2,求。的取值范圍.

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）

數(shù)學(xué)（理科）試題答案及解讀

一、選擇題：

（DB【解讀與點(diǎn)評】McN={x|-3cxe5}.

【命題立意】考查集合的交集運(yùn)算，并用數(shù)軸觀察法得到相對應(yīng)答案.

（2）D【解讀與點(diǎn)評】z=l+2Z,l=—.

z1+2/5

易錯(cuò)點(diǎn)：受分?jǐn)?shù)線干擾，考生沒有看到共視符號“一”，直接將Z=代入而得錯(cuò)誤

答案C.

課本原型：選修2-2第96頁練習(xí)B2題

【命題立意】考察復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及共規(guī)復(fù)數(shù)的概念。

3.B（法二）【解讀與點(diǎn)評】cosv以,Z?>=工，16?|=2,||=1,（a+2b）2=a+4ab+4b

2

=4+4x2x1x1+4=12,\a+2b\=273.

2

（，去二）設(shè)OA=〃,O8=2〃，

則平行四邊形0ACB的對角線0C對應(yīng)的向量為1+2〃,

易得：|OC|=|a+2b|=2>/5.

易錯(cuò)點(diǎn)：算得12后沒有進(jìn)行開方運(yùn)算而得錯(cuò)誤答案I）.

課本原型：必修4第111頁練習(xí)A2題

【命題立意】考查向量夾角、模的概念及向量的運(yùn)算.

（4）B【解讀與點(diǎn)評】（法一）設(shè)圓心為（凡一〃），半徑為八

則3^=|"14|=一：31"=立.

（法二）由題意知圓心為直線x—y=0、工一），一4=0分別與直線工+〉=0的交點(diǎn)的中點(diǎn),

交點(diǎn)分別為（0,0）、（2,—2）,???圓心為（1,-1）,半徑為近.

（法三）圓心在x+y=（）上，排除C、D,再結(jié)合圖象，或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線的距離

等于半徑位即可.

【命題立意】考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(5)A【解讀與點(diǎn)評】(法一)分2男1女、1男2女兩種情況，共有C；C：+C；C：=70種

不同的組隊(duì)方案.

(法二)C；YY=70.

易錯(cuò)點(diǎn)：審題時(shí)忽略了“男、女醫(yī)生都要有”這一條件而失誤.

課本原型：選修2-3第96頁3題

【命題立意】考查排列組合的概念及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

6.B【解讀與點(diǎn)評】(法一)2=44="+I=3,q=2,員=幺二L二七」二2.

S3&qT4-13

2

(法二)由邑，56-53昌一56成等比數(shù)列可得:(S6-53)=S3(S9-S6).

兩邊同除以S6?得：

解得:邑=]

與3

易錯(cuò)點(diǎn)：1、等比數(shù)列和公式的分子與分母式寫顛倒了；2、和符號S?、$6誤當(dāng)成通

項(xiàng)叫、%計(jì)算.

【命題立意】考查等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、和公式及運(yùn)算。

⑺D【解讀與點(diǎn)評】)/=

(X—2)~(A*—2)2

???切線方程為1=即y=-2x+l.

易錯(cuò)點(diǎn)：如果忽略了導(dǎo)數(shù)公式‘'(!)'二一17"中的“-”號，就得錯(cuò)誤答案C.

xx~

課本原型：選修2-2第47頁54.題.

【命題立意】考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用.

T\\jr77r2不

8.C【解讀與點(diǎn)評】(法一)由圖可知上二匕一二，7=3，3=3,

212123

/(x)=Acos(3x+°)，

又(￡,0)是圖像上的點(diǎn)，，3x卷+9=-1,=

97r

即：f(x)=Acos(3x----)

4

即A=2&,.??/(0)=>4cos(--)=-.

33

37r

(法二)由法一知：/(x)=4cos(3_r+e),根據(jù)圖象最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一可設(shè)：

4

/U)=Acos[3U-^)],由/(g)=_，得：A=|V2.

???/(())=Acos(-y)=|..

乃71

(法三)由法一丁==2可得圖象在y軸左邊第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-二，進(jìn)而可

312

JT2

以推斷/(0)+/(不)=0,得：/(0)=-.

JJ

易錯(cuò)點(diǎn)：1、使用誘導(dǎo)公式錯(cuò)誤：cos(---)=cos—；cos(---)=-cos—:

244244

cos(——?—=sill?；sin—衛(wèi)=—'］等，解得：A———A/2,選擇了錯(cuò)誤答案(A).

244423

【命題立意】考查三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及透導(dǎo)公式.

(9)A【解讀與點(diǎn)評】由已知有|2工一1|<1，0P--<2x-l<1,

.12

??一<x<一.

33

易錯(cuò)點(diǎn)：1、審題時(shí)沒有看到偶函數(shù)；2、沒有在實(shí)數(shù)集上研究，只是由0W2x-得到

3

錯(cuò)誤答案I).

課本原型：必修1第58頁習(xí)題2-1B2題.

【命題立意】考查偶函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性及抽象函數(shù)問題的轉(zhuǎn)化.

(10)C【解讀與點(diǎn)評】見表示收入或支出數(shù)據(jù)，若%>0,

則這些正數(shù)據(jù)的和為月總收入S,故在圖中空白的

判斷框填A(yù)>0,否則為月總開支T,故月凈盈利V

=S+T,處理框中填V=S+T.

易錯(cuò)點(diǎn)：當(dāng)應(yīng)表示支出數(shù)據(jù)時(shí)為負(fù)數(shù)，忽略了隱含&<0這個(gè)條件就會導(dǎo)致選擇錯(cuò)誤答案

A.

課本原型：必修3第26頁習(xí)題1-2B3題

【命題立意】考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，將支出、收入問題與算法相結(jié)合構(gòu)思新穎.

（1DC【解讀與點(diǎn)評】1法一）連接FC、AD、BE,設(shè)正六邊形

的中心為0,連接AC與0B相交點(diǎn)H,

則GH〃P0,故GH_L平面ABCDEF,

，平面GAC_L平面ABCDEF

又DC_LAC,BH±AC,

???DC_L平面GAC,BH_L平面GAG

且DC=2BH,故三棱錐〃-必。與

三棱錐體積之比為2：1.

（法二）設(shè)棱錐的高為2.

則%-GAC5刖”.

^P-GAC=^P-BAC~~Vfi-GAC

1”1c_lc

一]XN3AABC一§_3

于是:

V?'DC忑DC

=2

2

喂ACS^BC1ABsin—

易錯(cuò)點(diǎn)：1、沒有將所要研究的幾何圖形從復(fù)雜的圖形中分離出來，或不知道點(diǎn)的投影位置,

找不到解決問題的辦法；2、關(guān)于正六邊形的邊角關(guān)系不熟悉或計(jì)算不準(zhǔn)確出現(xiàn)錯(cuò)誤.

【命題立意】考查多面體的線面關(guān)系、幾何圖形的分割及等積變換.

r

（12）C【解讀與點(diǎn)評】【法一）2=5-2x,2Iog2(x-l)=5-2x,

即2i=』_x,log2（xT）=*_x，

作出y=2'T,），=g_x,y=log2（x—l）的

圖像（如圖），

y=2-與y=log2（X-l）的圖像關(guān)于

y二%一1對稱，

它們與y=*-工的交點(diǎn)A、B的中點(diǎn)為)，二*一X與

22

y=x-\的交點(diǎn)C,---=-,;?再+X)=一

24-2

(法二)若為滿足2x+2%=5,9滿足2x+21og?(xT)=E,

X

設(shè)/(x)=2x+2-5;F(x)=21og2(x-l)+2x-5

因?yàn)?(l)〈0;/(1.5)>0,所以內(nèi)e(l,1.5)

又因?yàn)镕(2)<0;尸(2.5)>0，所以馬￡(2,2.5)

即：x,+x2e(3,4),于是C答案正確.

y=x_5

易錯(cuò)點(diǎn)：由J解得x=4

=-----X

于是：玉+/=2工=|,選擇錯(cuò)誤答案A.

如果經(jīng)過代換：］〃二工一1

v=u

結(jié)合〃]+〃2=2〃=一及〃|+〃2=$一1+工2-1，

7

就可得到正確答案：X］+工2=〃1+〃2+2=—.

【命題立意】考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)值的估算、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化.

二、填空題：

(13)1013【解讀與點(diǎn)評】從第一、二、三分廠的抽取的電子產(chǎn)品數(shù)量分別為25,50,

25,

則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為"I"lx"""")32=1013.

［命題'1意】考查統(tǒng)計(jì)與概率的知識，用樣本頻率分布估計(jì)產(chǎn)品質(zhì)量.

(14)-【解讀與點(diǎn)評】(法一)6&-5s3=1+5($5-8)=5

3

v,5(4+4)

5(a.+aJ+——!--=5,

2

2a4+3a5+q=2

2a4+3(4+d)+a4-3d=2

4x52x3

(法二)不妨取首項(xiàng)為0,由題意可得：6x-d-5x—d=5

22

可求出"=一,。=一.

943

(法三)由等差數(shù)列的和公式得：6(5q+10d)—5(3q+3d)=5

所以：3%+154=5,tz4=-.

【命題立意】考查等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)、和公式，以

及關(guān)于S〃、%的運(yùn)算。

(15)4【解讀與點(diǎn)評】幾何體的直觀圖如右，

則V='x1x4x3x2=4機(jī)3.

32

易錯(cuò)點(diǎn)：1、主視圖、俯視圖、左視圖的位置混亂導(dǎo)致無法恢復(fù)幾何體的直觀圖；2、在

計(jì)算體積時(shí)沒有乘以高2,結(jié)果算得錯(cuò)誤答案：V=-xlx4x3=2/??3.

32

【命題立意】考查立體幾何中的空間想象能力，由三視圖能夠想象得到空間圖，并能準(zhǔn)確

地計(jì)算出幾何體的體積.

(16)9【解讀與點(diǎn)評】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為E,則

\PF\-\PE\=4,

\PF\+\PA\=4+\PE\^\PA\,當(dāng)A、P、E共線時(shí)，

(IPE\+\PA|)min=|AE\=5,\PF\+\PA\的最小值為9.

易錯(cuò)點(diǎn)：1、沒有考慮雙曲線的定義，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)(為,)[),

直接由|P尸|+|必|建立函數(shù)關(guān)系式導(dǎo)致解題無法進(jìn)行；2、即使

發(fā)現(xiàn)了P點(diǎn)為AE與雙曲線的交點(diǎn)，但是由于通過直線AE與雙曲線的方程解出P點(diǎn)的坐標(biāo)造

成錯(cuò)誤；3、將左焦點(diǎn)看成了雙曲線的左支而致誤.

課本原型：選修2-1第48頁習(xí)題2-2B2題.

【命題立意】考查雙曲線的定義，數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用.

三、解答題

(17)【解讀與點(diǎn)評】在4ACD中，NQAC=30°,

ZADC=60°-ZDAC=30°,

所以CD=AC=0.1.

又/BCD=180°-60°-60°=60°,

故CB是aCAD底邊的中垂線,

所以BD=BA.5分

ABAC

在aABC中,

sinZ.BCAsinZABC

ACsin60°3V2+V6

AB=

sin15°20

3x/2+5/6

因此,BD=?0.33kin，

20

故B,D的距離為0.33k??.12分

本題如果用直角三角形中的邊角關(guān)系去求會更簡單；另外用下面作輔助線的方法也容易求得

答案.

D

EACEA

易錯(cuò)點(diǎn)：1、sin15"不會計(jì)算或算錯(cuò)；2、精確不準(zhǔn)、不到位導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果：0.34及0.334

等；3、用精確度的值0.01km錯(cuò)誤地代替了AC的長度.

課本原型：必修5第12頁問題2

【命題立意】考查解三角形，對問題的探究及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

(18)【解讀與點(diǎn)評】(【)解法一：取必的中點(diǎn)G,連結(jié)威7,NG,

設(shè)止方形/但⑺DCEF的出長為2,

則⑦，.傷2,八跳0,

因?yàn)槠矫?國azi平面"石"，所以桃肚平面戊加.

可得乙柳。是MN與平面團(tuán)'所成的角.

因?yàn)槊豨",所以sinNMNG=Y6，

3

故MN與平面比'仔'所成的角的正弦值為四.

-------6分

3

解法二：設(shè)正方形/切必，。◎尸的邊長為2,以〃為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線〃C，DF,DA為x,

八z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

則M(l,0,2),N(0,1,0),可得MN=(—1J-2),

又。A=(0,0,2)為平面比冰’的法向量,

MNDAx/6

可得cos<例N,D4>=

\MN\\DA\3

所以MN與平面〃金尸所成的角的正弦值為邁

3

解法三：、設(shè)CB=b,CD=d,CE=e,

則MN=MD+DN

MN=；d-b+；e,DA=b,

所以：|MN|=J（；d）2+（/?）2+（；e）2=",|OAH"="

J乙乙

-r/曰sr?MNDA瓜

可得cos<MN、DA>=-----------=-----

\MN\\DA\3

所以MN與平面四％所成的角的正弦值為業(yè).

3

（II）假設(shè)直線.四與制央面，------8分

則ABu平面MBEN,且平面也宏M與平面DCEF交于EN,

由已知，兩正方形不共面，故力以Z平面〃小尸.

又如，〃勿，所以/0〃平面〃。泗而“V為平面，珈/W與平面〃蜀尸的交線，

所以/仍〃￡M又AB"CW；EF,所以EN〃EF,這與現(xiàn)D臚出矛盾，故假設(shè)不成立.

所以物與外不共面，它們是異面直線.-------12分

易錯(cuò)點(diǎn)：1、誤把直線UN與平面腔尸法向量所成的角看成所求的角；2、反證法得到矛盾的

理由不充分.

課本原型：必修2第53頁例題4；選修2-1第119頁匚題（1問）；必修2第37頁：與一

平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面不經(jīng)過交點(diǎn)的直線是異面直線（2問）.

【命題立意】考查立體幾何中平行、垂直關(guān)系的判定，用空間向量求線面角，反證法及推理

能力等.

（19）【解讀與點(diǎn)評】（I）依題意知X3（4,5,

則X的分布列為：

XQ1234

16322481

P

8?8?8?8181

6分

（II）（法一）設(shè)A,.表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分，了口，2；

。表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第，部分，/=1,2.

依題意知P(A)=/(耳)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,

A=AgA444A2B2

故尸（A）=p（A冊+尸（44）+p（A4）+）

P（A2B2

=0.1x0.9+0.9x0.1+0.1x0.1+0.3x0.3=0.28---------------12分

易錯(cuò)點(diǎn)：本題是條件概率問題，由于忽視了事件”目標(biāo)被擊中兩次”已經(jīng)發(fā)生這個(gè)條件導(dǎo)致

錯(cuò)誤.下面的解法容易理解：

（法二）設(shè)X二“射擊4次命中2次”，Y二“射擊4次命中2次，第一部分至少被擊中1次或

第二部分被擊中2次”，A,表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第/部分”，/口，2：

。表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第，部分”，工1,2.

則XY=A四口4旦744。4與；A=Y\X-

P（X）=C沖穹吟;

…、八891819811833124

P(XY)=—x——x——+—x——x--+---X—X—+—X-X—

271010271010271010271010-2700

所以“⑷=P(WX)=箭/二。.2&

課本原型：選修2-3第58頁習(xí)題2-2A第2題

【命題立意】考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率、條件概率的計(jì)算和概率分布列,以及運(yùn)

用概率知識解決問題的能力.

22

（20）【解讀與點(diǎn)評】（I）由題意，c=l,可設(shè)橢圓方程為上方+4=1,

\+b~b~

IgQ

???A在橢圓上，???一?+A=h解得從=3,護(hù)=-二（舍去）

1+h24b24

2>

???橢圓C的方程為士+二=1---------------------4分.

43

（H）設(shè)AE的方程為：y=^（x-l）+-,代入土+乙=1得:

243

22

（3+4公）X+必（3-2k）x+4（|-A:）-12=0,

3

設(shè)￡（4，為），「（與，為），???點(diǎn)A。,］）在橢圓上，

4(1-^)2-123

,乜=3+4//=心+5”8分

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式以-攵代女，可得

3

4(1+幻2-12

3+4F

y-y_-k(x+x尸)+2A_1

???直線EF的東斗率勺*rE-E------------------------

2

即直線EF的斜率為定值，.------------------------12分

乙

課本原型：1問選修2-1第42頁24.題

【命題立意】考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，直線與橢圓的位置關(guān)系，根與系數(shù)關(guān)系。解答既可

采用常規(guī)的方程思想，借助代數(shù)推理進(jìn)行，又可采用坐標(biāo)法、參數(shù)法、整體構(gòu)造法進(jìn)行探究,

這些方法源于思維的深刻(本題的其它三種方法見后面的試卷評析).

(21)【解讀與點(diǎn)評】(I)/(幻的定義域?yàn)?0,+8),

a-\_x2-ar+-1_(x-l)[x-(t7-l)J

f\x)=x-a2分

xxx

(i)若a—1=1,即a=2,則尸(x)=("—D,故f(x)在(0,y)上單調(diào)增加.

x

(ii)若a—lvl,而。>1,故l<av2,則當(dāng)—1,1)時(shí)，/'*)<0；

當(dāng)xw(0,a-1)及xe(l,+oo)時(shí)，/'(x)>0.

故/(幻在(a—1,1)上單調(diào)減少，在(0,。一1),(l,+o。)上單調(diào)增加.

(iii)若。一1>1,即。>2,同理可得/(/)在(1,。一1)上單調(diào)減少，在(0,1),

(a-L+o。)上單調(diào)增加.------------------6分

1,

(II)考慮函數(shù)g(x)=f(x)+x=-x~-cvc+(a-\)\nx+x,

則g,x)-+--——--(?-1)=1-(yJa-1-1)2,

由于lvav5,故g'(x)>0,即g(x)在(0,+8)上單調(diào)增加，從而當(dāng)0<%<$時(shí),

有g(shù)（X|）-g*2）＞0，即/（X]）一/（42）+王一工2＞0，故/3）/3）〉一1；

王一42

當(dāng)03氣時(shí)，有:J）一/（々）=/八）一/（M）＞_].—12分

萬一看X2-%

易錯(cuò)點(diǎn)：1、忽略了對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)出錯(cuò)；2、沒有進(jìn)行分類討論或分類討論中丟掉了

a=2這種情況出現(xiàn)錯(cuò)誤；3、刻意尋求式子「（“）一"當(dāng)）的兒何意義,試圖想從割線的斜率

王一W

上發(fā)現(xiàn)解題思路，偏離了考查函數(shù)單調(diào)性陷入逆境而不能自拔.

【命題立意】考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、均值定理，通過構(gòu)造法、分類討論進(jìn)一步考查考生代數(shù)的

恒等變形及邏輯推理能力.A

（22）【解讀與點(diǎn)評】（I）如圖，設(shè)F為AD延長線上一點(diǎn)，//lV\\

VA,B,C,D四點(diǎn)共圓，IJ

ZCDF=ZABC，又AB=AC，\/

F

AZABC=ZACB,且ZAO3=ZAC3,------c

:?ZADB=NCDF,對頂角/EDF=NADB,

故/EDF=/CDF,

故AD的延長線平分NCDE.-------------------5分

（II）設(shè)0為外接圓圓心，連接AO交BC于H,貝ijAH_LBC,

連接OC,由題意NOAC=NOCA=15,/ACB=75,

：.ZOCH=60,設(shè)圓半徑為r,則r+理r=2+后，

2

得：r=2,故外接圓面積為4%.-------------10分

【命題立意】考查圓內(nèi)接四邊形角的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系.

（23）【解讀與點(diǎn)評】（I）由0cos（。一go=1得：gpcos8+等0sin6=1,

?Q

???曲線C的直角坐標(biāo)方程為-X+?-），=1,即X+JJy=2,

22

當(dāng)。=0時(shí)，夕=2,???M的極坐標(biāo)（2,0）；

當(dāng)。=工時(shí)，，叵，???N的極坐標(biāo)

￡)

'2,5分

23

2x/3

(IDM的直角坐標(biāo)為(2,0),N的直角坐標(biāo)為(0,),，P的直角坐標(biāo)為(1,

3

則P的極坐標(biāo)為(2叵3),直線(^的極坐標(biāo)方程為。=&,0￡(-8,+8).一—10分

366

易錯(cuò)點(diǎn)：1、由于沒看到“極”字，結(jié)果只求出了直角坐標(biāo)；2、極坐標(biāo)中的極徑與極角位置

顛倒出現(xiàn)錯(cuò)誤；3、極角寫成了。二2；4、所求極坐標(biāo)方程沒有寫成最簡式，如：

2

psin--pcos—=0；rt/n^=—；5、忽略了夕e(TO,+8),否則表示射線.

663

課本原型：選修4-4第25頁51.題.

【命題立意】考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化以及直線極坐標(biāo)方程的確定.

(24)【解讀與點(diǎn)評】(I)當(dāng)。=-1時(shí)，f(x)^x-\\+\x+]\,

由/(x)N3得：|不一1|+|工+1|23,

(法一)由絕對值的幾何意義知不等式的解集為“|xW—|或TN|}.

fX<-1[-1<x<l(x>l

(法二)不等式可化為，..或，或“

[-2x>322312x23

，不等式的解集為{x|x?-?或xN±}.------------5分

(H)若。=1,/(x)=2|x-l|,不滿足題設(shè)條件；

-2x+〃+1,(x4”)

若。<1,/(.V)=-1-47,(fl<X<I),f(x)的最小值為1-a；

2x-(a+\),(x>1)

-2x+a+l,(x<1)

若a>1,f(x)=^a-l,(1<A-<a),/(X)的最小值為4一1.

2x-(a-l),(x^a)

所以對于X/xwR,/(x)之2的充要條件是|。一1|22,

從而a的取值范圍(YO,-1][3,-KO).10分

-2x+d+l,(x<?)

易錯(cuò)點(diǎn)：1、分類討論不全或不正確；2、即使進(jìn)行了正確分類：，")=1-d(?<A-<1),

2x-(fl+l),(x>1)

但沒有建立關(guān)于a的不等式：|。一1|N2.

課本原型：選修4-5第2g頁6題

【命題立.意】考查含有多個(gè)絕對值符號的不等式解法,根據(jù)絕對■值的定義分段去掉絕對值號,

最后把各種情況綜合得出答案.考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.

山高無坦途，登頂憑足功

------普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧）數(shù)學(xué)（理）試卷評析

令人矚目的遼寧首屆新課改高考已經(jīng)落下帷幕.家長們焦慮的心，在走出考場孩子們笑

臉的伴隨中，慢慢平靜下來.但是當(dāng)數(shù)學(xué)老師拿到試題與同學(xué)們估分時(shí)，師生們的心顯得有

些不安.雖然試題與去年相比，難度有所降低，但更加注重對學(xué)生思維能力的考查，在注重

雙基考查的基礎(chǔ)上，更加重視運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力的考查.真可謂“山高無坦途,

登頂憑足功”.

一、試題基本分析

1、題型無變化

今年遼寧試題在題型上沒有變化，仍然為選擇題、填空題、解答題三大題型.

2、內(nèi)容有新增

增加對新課改內(nèi)容的考杳.試撅與去年顯著不同的是?對詵修系列4講行了詵考.分別

為選修4-1兒何證明選講，選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程，選修4-5不等式選講，各命制一

道解答題.

3、分值有微調(diào)

滿分仍然為150分，答題時(shí)間120分鐘，選擇題的數(shù)目與分值沒有變化，填空題仍然

是四道題，但與08遼寧卷不同的是，它的分值由每題四分改為五分.解答題共6道題，滿

分70分，其中理科前五道題為必答題，每題12分，第6個(gè)（22—24）為三選一型的解答題，

考生從3題中任選1題作答，若多做按所做的第一題給分.選修系列4總共考了10分.

二、體現(xiàn)新課程核心理念，發(fā)揮試題導(dǎo)向作用

1、注重?cái)?shù)學(xué)知識的應(yīng)用

遼寧今年試題中在多個(gè)方面，講行了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力的考杏，如：5.、

10.、13.、15.、17.等，分別出現(xiàn)在選擇題、填空題和解答題中.涉及了方案設(shè)計(jì)、支出與

收入、產(chǎn)品質(zhì)量檢測、模型的體積、測量問題等.這些問題客觀、自然，與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)

系在一起.體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的時(shí)代性.對高中數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用，有助于素質(zhì)教育的

深入'實(shí)施.

2、新增內(nèi)容考查適度

對新課程內(nèi)容的考查充分，主要是對基本概念、基本公式、基本運(yùn)算的考查，如：1（）.、

15.、18.、19.、22.、23.、24.分別考查了框圖、函數(shù)的零點(diǎn)、反證法、條件概率、及選修

系列4,除個(gè)別題目外難度都不大.再如立體幾何中求二面角、距離的“一作、二證、三計(jì)

算”等被新課程刪去的繁、難等內(nèi)容，試題中一律沒有出現(xiàn)，有利于教師更新觀念，支持新

課程的改革.

3、降低難度，有利于減負(fù).

試題在降低難度上大擔(dān)作出了改革，這也是近年來前所未有的.選擇題、填空題小、巧、

活，難度明顯低于去年，有的問題甚至可“一望而得”，大多數(shù)題目“一捅就破”.（20）、

21.兩題雖有難度，但梯度設(shè)計(jì)合理.整個(gè)試題由易到難排列，布局科學(xué)、合理，考生“一

路拚殺”，沒有遇到多大障礙，感覺很順.考試結(jié)束后，很多師生大呼：“平時(shí)搞的太難了，

我們太累了！”試題難度降低了，這不僅有利丁考生臨場發(fā)揮，從K遠(yuǎn)來看，更有利丁擺脫

題海作戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，支持新課改.

3、加強(qiáng)了嘗試、探究能力的考查

加強(qiáng)學(xué)生對問題探究能力的考查是今年試題的又一顯著特征.像16.題求目+歸川

的最小值，很多學(xué)生從幾何圖形中探究猜測：點(diǎn)A與雙曲線的右焦點(diǎn)連線和雙曲線的交點(diǎn)，

很可能就是最小值點(diǎn)，然后用雙曲線的定義順利地得出答案，改變了過去那種求最（極）值

就建立函數(shù)關(guān)系式、或?qū)ふ揖刀ɡ砟Ｐ妥髦С?17.題中的探究圖中B,D間距離與另外哪

兩點(diǎn)間距離相等，所給圖形中已經(jīng)直觀告訴了人們：BD=BA,關(guān)鍵看你是否繼續(xù)嘗試證明這

個(gè)顯而易見的結(jié)論；（20）題中證明直線EF的斜率為定值，這個(gè)定值要嘗試.如果探究出

來了，解題也就結(jié)束了.這些問題的設(shè)計(jì)匠心獨(dú)具，很好的體現(xiàn)了“嘗試、探究、創(chuàng)新”

的新課改思想.

三、重基礎(chǔ)、重通法及重點(diǎn)知識重點(diǎn)考查

理科試題基本覆蓋了所有章節(jié)內(nèi)容，同時(shí)注重主干知識的考查，在解答題中考查了解

三角形、概率統(tǒng)計(jì)、空間線面關(guān)系、解析幾何、不等式及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容，均是高中數(shù)學(xué)

的重點(diǎn)知識，占全卷的90%左右，做到了“重點(diǎn)知識重點(diǎn)考查”.層次要求恰當(dāng)，試題均可

用常規(guī)常法和通性通法來解決.特別很多題目解題的方法多，思路寬，便于各類考生發(fā)揮.如：

3.、4.、5.、6.、8.、9.、11.、12.、14.、17.、18.、(20)、21.、22.23.、24.等均可

用多種方法求解.削弱了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的考查，降低了對函數(shù)性質(zhì)、

數(shù)列、不等式等內(nèi)容的考查.淡化特殊技巧，全面考查通性通法，體現(xiàn)了以知識為載休，以

方法為依托，以能力考查為目的的命題要求.但是考生要完整準(zhǔn)確地解答，則需要有扎實(shí)的

雙基、規(guī)范的表述和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

四、突出理性思維，有效區(qū)分考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

試卷的很多題目新穎，在考查學(xué)生基礎(chǔ)的同時(shí)更注重能力的考查，有些題目顯得很鮮

活,體現(xiàn)了能力立意的命題理念,例如(6)、(10)、(11)、(14)、(15)、(18)題中第二問的

反證法、(20)、(21)等題目.

另外，試題對數(shù)學(xué)思想方法的考查貫穿始終，給人一種“大雁飛過不留痕跡”的良好

感覺.特別強(qiáng)化了對轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想的考查.如理科第

(8)、(12)、(16)、(20)、(21)等.(20)題似曾相識,又有變化,“愚公移山”的精神解

交點(diǎn)可以解決，韋達(dá)定理法求交點(diǎn)也可以實(shí)現(xiàn)，參數(shù)方程思想及整體構(gòu)造的思想更是豐富多

彩：

別解一：(整體構(gòu)造法)設(shè)E(x「yJ,