第三章一元一次方程

3.1從算式到方程

3.1.1一元一次方版

01教學(xué)目標(biāo)

I.能依據(jù)題意用字母表示未知數(shù)，然后分析出等量關(guān)系，再依據(jù)等量關(guān)系列出方程.

2.理解方程、一元一次方程的定義及解的概念.

3.駕馭檢驗(yàn)?zāi)硞€數(shù)值是不是方程的解的方法.

02預(yù)習(xí)反饋

閱讀教材P78?80,完成F列內(nèi)容.

1.含有未知數(shù)的等式叫方程.

2.只含有二個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是L等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程.

3.解方程就是求出訪方程中等號左右兩邊相面勺未知數(shù)的值，這個值就是方程的艇.

4.推斷下列各題是不是一元一次方程，是打“卜；不是打“X”.

(l)x+3=4；(J)

(2)42x+13=6—y；(X)

(3)1=6；(X)

(4)2x-8>-10.(X)

5.依據(jù)下面實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列出方程：

(1)練習(xí)本每本0.8元，小明拿了10元錢買了若干本，還找回4.4元,問：小明買了幾本練習(xí)本？

解:設(shè)小明買了x本，列方程得：0.8x=10—4.4.

⑵長方形的周長為24cm,長比寬多2cm,求長和寬分別是多少.

解：設(shè)長為xcm,則寬為(x—2)cm,依題意得方程：2(x+x—2)=24.

03名校講壇

例1(教材補(bǔ)充例題)F列方程是一元一次方程的是(B)

v5

A.x2+x=5B.x+?=4C.x+y=7D.==2

【點(diǎn)撥】一元一次方程的四個組成要素：

(1)含有一個未知數(shù)；

(2)未知數(shù)的次數(shù)是1;

(3)是方程；

(4)等號兩邊都是整式.

【跟蹤訓(xùn)練1】(《名校課堂》3.1.1習(xí)題)已知式子：①3—4=-1；②2x-5y；③l+2x=0；.④6x+4y=2；⑤3x?

-2x+l=0,其中是等式的有①③④⑤,是方程的有③④@.

例2(教材補(bǔ)充例題)檢驗(yàn)下列方程后面括號內(nèi)的數(shù)是不是方程的解.

(l)3x-l=2(x4-1)-4；(x=-l)

6x—51

(2)-^—=3(x-2).(x=j)

解：(1)把x=-l代入方程，左邊=一3—1=-4,

右邊=2(—1+1)—4=一4,

則左邊=右邊.

故x=-l是方程的解.

16X^-52-5

(2)把*='代入方程，左邊=j=一1=-1,

右邊=3(g_2)=_5,

左邊W右邊，

則x=￡不是方程的解.

【點(diǎn)撥】推斷一個數(shù)是不是某個方程的解的方法：

依據(jù)方程的解的定義，只要用這個數(shù)代替方程中的未知數(shù)，看方程左右兩邊的值是否相等即可，假如左邊=右邊，

那么這個數(shù)就是方程的解；否則，這個數(shù)就不是方程的解.

【跟蹤訓(xùn)練2】(《名校課堂》3.1.1習(xí)題)檢驗(yàn)下列各題括號內(nèi)的值是否為相應(yīng)方程的解：

(l)2x—3=5(x—3){x=6,x=4}；

解：x=6不是方程的解，

x=4是方程的解.

(2)4x+5=8x—3{x=3,x=2}.

解：x=3不是方程的解，

x=2是方程的解.

例3(教材P79例1)依據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)并列出方程：

(1)用一根長24cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長是多少？

⑵一臺計(jì)算機(jī)已運(yùn)用1700h,預(yù)料每月運(yùn)用150h,經(jīng)過多少月這臺計(jì)算機(jī)的運(yùn)用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢修時(shí)間2450h?

⑶某校女生占全體學(xué)生數(shù)的52%,比男生多80人，這個學(xué)校有多少學(xué)生？

解：(1)設(shè)正方形的邊長為xcm.

列方程4x=24.

⑵設(shè)x月后這臺計(jì)算機(jī)的運(yùn)用時(shí)間達(dá)到2450h,那么在x月里這臺計(jì)算機(jī)運(yùn)用了150xh.

列方程1700+150x=2450.

(3)設(shè)這個學(xué)校的學(xué)生數(shù)為x,那么女生數(shù)為0.52x,男生數(shù)為(l-0.52)x.

列方程0.52x—(l—0.52)x=80.

【點(diǎn)撥】設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系，用方程表示簡潔實(shí)際問題中的相等關(guān)系.

【跟蹤訓(xùn)練3】(《名校課堂》3.1.1習(xí)題)依據(jù)題意列出方程：

(1)《文摘報(bào)》每份0.5元，《信息報(bào)》每份0.4元，小剛用7元錢買了兩種報(bào)紙共15份，他買的兩種報(bào)紙各多少份？

(2)水上公園某一天共售出門票128張，收入912元，門票價(jià)格為成人每張10元，學(xué)生可享受六折實(shí)惠.這一天出

售的成人票與學(xué)生票各多少張？

解：(1)設(shè)買《文摘報(bào)》x份，則買《信息報(bào)》(15—x)份，依據(jù)題意列方程，得

0.5x4-0.4(15—x)=7.

⑵設(shè)出售成人票x張，則出售學(xué)生票Q28-X)張，依據(jù)題意列方程，得

10x+60%X10X(128-x)=912.

04鞏固訓(xùn)練

1.下列方程的解為x=2的是(C)

A.5—x=2B.3x—1=4—2x

C.3-(x-l)=2x-2D.x-4=5x-2

2.在2+1=3,4+x=l,y2—2y=3x,x?—2x+l中，一元一次方程有(A)

A.I個B.2個C.3個D.4個

3.“一個數(shù)比它的相反數(shù)大4”，若設(shè)這個數(shù)足x,則可列出關(guān)于x的方程為(B)

A.x=-x+4B.x=—x+(—4)

C.x=-x—(-4)D.x-(-x)=4

4.小丁今年5歲，媽媽今年30歲，幾年后，媽媽的年齡是小丁的2倍？設(shè)x年后，媽媽的年齡是小丁的2倍，則

x年后小丁的年齡為(x+5)歲,媽媽后年齡為年+30)歲.依據(jù)題意列出方程為2(x+5)=(x+30).

05課堂小結(jié)

I.方程及一元一次方程的定義.

2.如何列方程，什么是方程的解.

3.1.2等式的性質(zhì)

01教學(xué)目標(biāo)

1.了解等式的兩條性質(zhì).

2.會用等式的性質(zhì)解簡潔的一元一次方程.

02預(yù)習(xí)反饋

閱讀教材P81?82,完成下列內(nèi)容.

1.等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減洞一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等.假如a=b,那么a±c=四.

2.等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.假如a=b,那么ac=皿；假如a

ab

=b(cW。)，那么；：=[

VV

3.已知a=b,請用“=”或“W”填空：

ab

(l)3a三3b：Q五三不(3)-5a=-5b.

4.利用等式的性質(zhì)解下列方程：

(l)x-9=6;(2)-0.2x=10.

解：(l)x=15.(2)x=-50.

03名校講壇

例1(教材補(bǔ)充例題)

(1)若m+2n=p+2n,則m=p,依據(jù)等式的性質(zhì)1等式兩邊都減去2n；

⑵若2a=2b,則2=>依據(jù)等式的性質(zhì)2,等式兩邊都除以2.

【「點(diǎn)撥】利用等式的性質(zhì)對等式進(jìn)行恒等變形的“三點(diǎn)留意”：

⑴等式性質(zhì)1和等式性質(zhì)2是等式恒等變形的重要依據(jù)；

(2)利用等式的性質(zhì)1,等式的兩邊必需同加或同減一個數(shù)(或式子)；

(3)利用等式的性質(zhì)2.等式兩邊必需同乘或同除以一個不為0的數(shù).

【跟蹤訓(xùn)練1】(《名校課堂》3.1.2習(xí)題)說出下列各等式變形的依據(jù)：

⑴由x—5=0得x=5；

解：依據(jù)等式的性質(zhì)1,等式兩邊同時(shí)加5.

⑵由-1=10得y=-30；

解：依據(jù)等式的性質(zhì)2,等式兩邊同時(shí)乘一3.

(3)由2=x—3,得一x=-3—2.

解：依據(jù)等式的性質(zhì)1,等式兩邊同時(shí)減(x+2).

例2(教材P82例2)利用等式的性質(zhì)解下列方程：

(l)x+7=26；(2)—5x=20；(3)—3一5=4.

分析：要使方程x+7=26轉(zhuǎn)化為x=a(常數(shù))的彩式，需去掉方程左邊的7,利用等式的性質(zhì)I,方程兩邊減7就得

出x的值，你可以類似地考慮另兩個方程如何轉(zhuǎn)化為x=a的形式.

解：⑴兩邊減7,得

x+7-7=26-7.

于是x=19.

(2)兩邊除以一5,得

-5x20

于是x=-4.

(3)兩邊加5,得

化簡，得一|x=9.

兩邊乘一3,得

x=-27.

【點(diǎn)撥】利用等式的性質(zhì)解一元一次方程ax+m=n的步驟：

(I)利用等式性質(zhì)1將已知方程化為ax=b的形式(即方程左邊只含未知項(xiàng)，右邊是常教)；(2)利用等式的性質(zhì)2將方

程ax=b(aK0)化為x=1的形式(即方程左邊未知數(shù)的系數(shù)是I,右邊是常數(shù)).

a

【跟蹤訓(xùn)練2】(《名校課堂》3.1.2習(xí)題)利用等式的性質(zhì)解方程：

(l)8+x=—5；

解：兩邊減8,得x=-13.

(2)4x=16；

解：兩邊除以4,得x=4.

(3)3x-4=ll.

解：兩邊加4,得3x=15.

兩邊除以3,得x=5.

04鞏固訓(xùn)練

1.方程-6x=3的兩邊都除以一6,得(C)

A.x=_2B.x=gC.x=-gD.x=2

2.下列結(jié)論中，正確的是(B)

A.在等式3a—6=3b+5的兩邊都除以3,可得等式a-2=b+5

B.假如2=—x,那么x=-2

C.在等式5=0.1x的兩邊都除以0.1,可得等式x=0.5

D.在等式7x=5x+3的兩邊都減去x—3,可得等式6x—3=4x+6

3.假如am=an,那么下列等式不愿定成立的是(C)

A.am-3=an-3B.5+am=5+an

C.m=nD.0.5am=0.5an

4.利用等式的性質(zhì)解下列方程：

(1)-1-3=5;(2)3x4-6=31+2x.

解:(l)a=~16.(2)x=25.

05課堂小結(jié)

1.等式有哪些性質(zhì)？

2.應(yīng)用等式的性質(zhì)對等式進(jìn)行變形時(shí)的留意點(diǎn)：

(I)等式兩邊都要參加運(yùn)算，并且是做司一種運(yùn)算；(2)等式兩邊加、減、乘、除的數(shù)或式子確定相同；(3)0不能作除

數(shù)；(4)不能像算式那樣寫連貫的等號.

3.2解一元一次方程(一)一合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)

第1課時(shí)利用合并同類項(xiàng)解一元一次方程

01教學(xué)目標(biāo)

閱歷把方程等號兩邊分別合并同類項(xiàng)I向過程，能用合并同類項(xiàng)解一元一次方程.

02預(yù)習(xí)反饋

閱讀教材P86?87”問題1及例1”，完成下列內(nèi)容.

1.形如“axIbx=c”的方程，先合并同類項(xiàng),再把未知數(shù)系數(shù)化為L

2.補(bǔ)全下列解方程的過程：

(l)6x—x=4；

解：合并同類項(xiàng)，得5x=4.

4

=

系數(shù)化為得

1,X5-

(2)—4x+6x—0.5x=-0.3.

解：合并同類項(xiàng)，得1.5x=-0.3.

1

-

系數(shù)化為1,得X

-5-

03名校講壇

例(教材P87例變式)解下列方程:

(咤+x+2x=140;

(2)3x-1.3x+5x-2.7x=-12X3-6X4.

解：(l)x=40.(2)x=-15.

【點(diǎn)撥】用合并同類項(xiàng)解一元一次方程的步驟：

(1)合并同類項(xiàng)，把原方程化為ax=bQW0)的形式；

(2)系數(shù)化為1,若合并后未知數(shù)的系數(shù)是1,則沒有這個步驟.

系數(shù)化為1的技巧：

①若未知數(shù)的系數(shù)是不等于。和1的整數(shù)，則方程兩邊除以這個整數(shù)；

②若未知數(shù)的系數(shù)是分?jǐn)?shù)個，則方程兩邊乘它的倒數(shù)，即乘去

③若未知數(shù)的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)(小數(shù))，則先化為假分?jǐn)?shù)(分?jǐn)?shù))，再按情形②處理.總之，不要一律地除次未知數(shù)的系數(shù),

要視具體狀況靈敏處理.

【跟蹤訓(xùn)練】(《名校課堂》3.2第I課時(shí)習(xí)題)解下列方程:

⑴6x—5x=3；

解：合并同類項(xiàng)，得x=3.

(2)—x+3x=7—1；

解：合并同類項(xiàng)，得2x=6.

系數(shù)化為I,得x=3.

(3)^+y=9；

解：合并同類項(xiàng)，得3x=9.

系數(shù)化為1,得x=3.

(4)6y+12y-9y=10+2+6.

解：合并同類項(xiàng)，得9y=18.

系數(shù)化為I,得y=2.

04鞏,固訓(xùn)練

1.對于方程8x+6x—10x=6進(jìn)行合并正確的是(C)

A.3x=6B.2x=6C.4x=6D.8x=6

2.方程18x-3x4-5x=ll的解是(C)

26「2011

A.x=77B.x=—TVC.x=R

2

3.方程10x—2x=6+l兩邊合并后的結(jié)果為8x=7,其解為

-8一

4.解下列方程：

256

--

⑴一10x-6x=-7+15;?67

(3點(diǎn)一/=一7一6;(4)-^-3y=1-2.

?36

解：(1)X=—(2)x=亍.(3)x=52.(4)y=—

05課堂小結(jié)

1.你今F1學(xué)習(xí)的解方程有哪些步驟？

合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1(等式的性質(zhì)2).

2.合井同類項(xiàng)即是將方程中含未知數(shù)的項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別合并，系數(shù)化為1的依據(jù)是等式的性質(zhì)2.

第2課時(shí)利用合并同類項(xiàng)解一元一次方程的實(shí)際問題

01教學(xué)目標(biāo)

閱歷用“總量=各部重量的和”這一基本關(guān)系列一元一次方程解決實(shí)際問題的過程，駕馭一元一次方程的簡潔應(yīng)

用.

02預(yù)習(xí)反饋

閱讀教材P86“例1”，完成下列內(nèi)容.

學(xué)校機(jī)房今年和去年共購置了100臺計(jì)算機(jī)，已知今年購置計(jì)算機(jī)數(shù)量是去年購置計(jì)算機(jī)數(shù)量的3倍，求今年購置

計(jì)算機(jī)的數(shù)量.

解：設(shè)今年購置計(jì)算機(jī)x臺，則去年購置計(jì)算機(jī)臺.依據(jù)題意，得x+gx=100,解得x=%.

答：今年購置計(jì)算機(jī)五臺.

03名校講壇

例（教材P86例1變式）中國某明星與麥當(dāng)勞公司簽約，該明星作為麥當(dāng)勞的形象代言人，三年獲酬金1400萬美

元，若前一年的酬金是后一年的一半，且不考慮稅金，則他第一年應(yīng)得酬金多少萬美元？

解：設(shè)該明星第一年的酬金為x萬美元，則其次年的酬金為2x萬美元，第三年的酬金為4x萬美元，由題意，得

x+2x+4x=1400,即7x=I400.

等式兩邊都除以7,得x=200.

答：該明星第一年應(yīng)得酬金200萬美元.

【點(diǎn)撥】

【跟蹤訓(xùn)練】（《名校課堂》3.2第2課時(shí)習(xí)題）麻商集團(tuán)三個季度共銷售冰箱2800臺，第一個季度銷售量是其次

個季度的2倍，第三個季度銷售量是第一個季度的2倍，試問麻商集團(tuán)其次個季度銷售冰箱多少臺？

解：設(shè)麻商集團(tuán)其次個季度銷售冰箱x臺，則第一個季度銷售量為2*臺，第三個季度銷售量為4x臺.依據(jù)總量等

于各重量的和，得

x+2x+4x=2800.解得x=400.

答：麻商集團(tuán)其次個季度銷售冰箱400臺.

04鞏固訓(xùn)練

1.已知某數(shù)的3倍與這個數(shù)的2倍的和是30,求這個數(shù).

解：設(shè)這個數(shù)是x.

依據(jù)題意，得3x+2x=30.

解得x=6.

答：這個數(shù)是6.

2.據(jù)某統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在我國的700座城市中，按水資源狀況可分為三類：暫不缺水城市、一般缺水城市和嚴(yán)峻

缺水城市，其中，暫不缺水城市數(shù)是嚴(yán)峻缺水城市數(shù)的4倍，一般旗水城市數(shù)是嚴(yán)峻缺水城市數(shù)的2倍，求嚴(yán)峻缺

水的城市有多少座？

解：設(shè)斯峻缺水的城市有x座.

依據(jù)題意，得4x+2x+x=700.

解得x=100.

答：嚴(yán)峻缺水的城市有100座.

3.蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿，現(xiàn)有蜘蛛、蜻蜓若干只，它們共有120條腿，且蜻蜓的只數(shù)是蜘蛛的2倍，蜘

蛛、蜻蜓各有多少只？

解：設(shè)蜘蛛有x只，則蜻蜓有2x只，依據(jù)題意，得

8xI6X2x=120.

解得x=6.

所以蜻蜓有:6X2=12（只）.

答：蜘蛛有6只，蜻蜓有12只.

05課堂小結(jié)

如何列方程？分哪些步驟？

（I）設(shè)未知數(shù)；

⑵分析題意找出等量關(guān)系；

（3）依據(jù)等量關(guān)系列方程.

笫3課時(shí)利用移項(xiàng)解一元一次方程

01教學(xué)目標(biāo)

1.閱歷利用等式的性質(zhì)解一元一次方程的過程.，通過視察、比較、歸納出移項(xiàng)的法則.

2.能用移項(xiàng)解一元一次方程.

02預(yù)習(xí)反饋

閱讀教材P88?89”問題2及例3”，完成下列內(nèi)容.

1.把等式一邊的某項(xiàng)變號后移到另?邊，叫做移項(xiàng).

2.補(bǔ)全下列解方程的過程：

(l)5x—8=—3x—2;

解:移項(xiàng)，得5x+3x=-2+8.

合并同類項(xiàng)，得電=6

3

系數(shù)化為I,得x=?

(2)3x+7=32-2x.

解：移項(xiàng)，得3x+2x=32-7.

合并同類項(xiàng)，得皇=空.

系數(shù)化為I,得x=f.

03名校講壇

例1(教材P89例3變式)解下列方程：

(l)x-2=3-x；

(2)—x=1—2x：

2

(3)x—2x=1-^x：

(4)x—3x—1.2=4.8—5x.

解：(l)x=1.(2)x=1.(3)x=—3.(4)x=2.

【點(diǎn)撥】移項(xiàng)時(shí)要變更項(xiàng)的符號，通常把含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，而常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊.

【跟蹤訓(xùn)練】(《名校課堂》3.2第3課時(shí)習(xí)題)解卜.列方程：

(l)4x=9+x；

解：移項(xiàng)，得4x—x=9.

合并同類項(xiàng)，得3x=9.

系數(shù)化為1，得x=3.

(2)4-1m=7；

3

解：移項(xiàng)，得一而1=7-4.

3

合并同類項(xiàng)，得一gm=3.

系數(shù)化為1，得m=-5.

(3)4x+5=3x+3—2x；

解：移項(xiàng)，得4x-3xI2x=-5I3.

合并同類項(xiàng)，得3x=-2.

2

系數(shù)化為1，得x=—不

(4)8y—3=5y+3.

解：移項(xiàng)，得8y—5y=3+3.

合并同類項(xiàng)，得3y=6.

系數(shù)化為1,得y=2.

04鞏固訓(xùn)練

1.下列變形過程中，屬于移項(xiàng)的是(C)

A.由3x=-【，得x=-；

B.由4=1，得x=4

C.由3x+5=0,得3x=-5

D.由一3x+3=O,得3-3x=0

2.對方程2x-3+x=6進(jìn)行移項(xiàng)，下列正確的是(C)

A.2x—x=6+3B.2x—x=6—3

C.2x+x=6+3D.2x+x=6—3

3.方程3x+l=2x的解是(A)

A.x=_1B.x=1C.x=_2D.x=2

4.解下列方程：

(l)5x=3x—12;

(2)8x-5=7x+2；

(3)12x-7=8x-3;

(4)7y+8=2y-5-3y.

解：(l)x=—6.

⑵x=7.

(3)x=l.

13

(4)y=-y.

05課堂小結(jié)

I.今日你又學(xué)會了解方程的哪些方法？有哪些步驟？每一步的依據(jù)是什么？

2.移項(xiàng)的“兩留意”：

(1)“兩變”，即一變位置(從方程的一邊移到另一邊)，二變符號，不要只變位置而不變符號；

(2)要與交換律加以區(qū)分，在方程的同一邊交換項(xiàng)的位置時(shí)，符號不變.

第4課時(shí)利用移項(xiàng)解一元一次方程的實(shí)際問題

01教學(xué)目標(biāo)

閱歷用”表示同一個量的兩個不同的式子相等”這一基本關(guān)系列一元一次方程解決實(shí)際問題的過程，駕馭一元一次

方程的簡潔應(yīng)用.

02預(yù)習(xí)反饋

閱讀教材P90“例4”，完成下列內(nèi)容.

某果園3的面積種植了蘋果樹，(的面現(xiàn)種植了葡萄樹，其余40000^2的面積種植了桃樹.求這個果園的面積.

解：設(shè)這個果園的面積是x依據(jù)題意，得

*+$+40000=x.

解得x=160000.

答：這個果園的面積是160OOPm?.

03名校講壇

例(教材P90例4變式)將一堆糖果分給幼兒園某班的小摯友，假如每人2顆，那么就多8顆：假如每人3顆，那

么就少12顆，這個班共有多少名小摯友？

解：設(shè)這個班共有x名小摯友.

依據(jù)題意,得2x+8=3x-12,解得x=20.

答：這個班共有20名小.摯友.

【點(diǎn)撥】用"表示同一個量的兩個不同的式子相等”列一元一次方程解決實(shí)際問題的步驟：

(1)設(shè)兩個未知量中的一個為未知數(shù)X；

(2)用含x的兩個不同式子表示另一個未知量；

(3)建立一元一次方程；

(4)解方程；

(5)檢驗(yàn),作答.

【跟蹤訓(xùn)練】(《名校課堂》3.2第4課時(shí)習(xí)題)清明節(jié)期間，七(1)班全體同學(xué)分成若干小組到革命傳統(tǒng)教化基地緬

懷先烈，若每小組7人，則余下3人；若每小組8人，則少5人.該班共有多少名同學(xué)？

解：設(shè)一共分為x個小組.由題意，得

7x+3=8x—5.解得x=8.

則7x4-3=7X8+3=59.

答：該班共有59名同學(xué).

04鞏固訓(xùn)練

1.用大小兩臺拖拉機(jī)耕地，每小時(shí)共耕地30畝.已知大拖拉機(jī)的效率是小拖拉機(jī)的1.5倍，問小拖拉機(jī)每小時(shí)耕

地多少畝？

解：設(shè)小拖拉機(jī)每小時(shí)耕地x畝.

依據(jù)題意，得30—x=1.5x.

解得x=12.

答：小拖拉機(jī)每小時(shí)耕地12畝.

2.學(xué)校舉辦秋季田徑運(yùn)動會，八年級(1)班班委會為班上參加競賽的運(yùn)動員購買了8箱飲料，假如每人發(fā)2瓶，那

么剩余16瓶；假如每人發(fā)3瓶，那么少24瓶.問該班有多少人參加競賽？

解：設(shè)該班有x人參加競賽.

依題意，得2x+16=3x-24.

解得x=40.

答：該班有40人參加競賽.

3.依據(jù)圖中的信息，求梅花鹿和長頸鹿現(xiàn)在的高度.

解：設(shè)梅花鹿現(xiàn)在高xm.

依據(jù)題意，得3x+l=x+4.

解得x=1.5.

所以x+4=5.5.

答：梅花鹿現(xiàn)在高1.5in,長頸鹿現(xiàn)在高5.5in.

05課堂小結(jié)

1.學(xué)生試述本節(jié)課學(xué)了哪些內(nèi)容？

2.本節(jié)課探討的問題中的相等關(guān)系又有何共同特點(diǎn)？

3.3解一元一次方程(二)——去括號與去分母

第1課時(shí)利用去括號解一元一次方程

01教學(xué)目標(biāo)

1.閱歷從實(shí)際問題中抽象出一元一次方程，且用去括號法則化簡、求解方程的過程.

2.會解含有括號的一元一次方程.

02預(yù)習(xí)反饋

閱讀教材P93?94"問題1及例1”，完成下列內(nèi)容.

1.要去括號，就要依據(jù)去括號法則及乘法支配律,特別是當(dāng)括號前是“一”號時(shí)，去括號時(shí)，各項(xiàng)都要變號，若

括號前有數(shù)字，則要乘遍括號內(nèi)全逐項(xiàng)，不能漏乘并留意符號.

2.補(bǔ)全下列解方程的過程：

(l)2(x-2)=-(x+3);

解：去括號，得2x—4=—x—3.

移頂，得2x+x=-3+4.

合并同類項(xiàng)，得3x=l.

系數(shù)化為1,得x=g..

(2)2(x-4)+2x=7-(x-i).

解：去括號，得2x—8+2x=7—x+1.

移項(xiàng)，得2x+2x+x=7+I+8.

合并同類項(xiàng)，得5x=16.

系數(shù)化為1,得x=?

03名校講壇

例(教材P94例1變式)解方程：

(l)4x+2(x-2)=12-(x+4)：

(2)6(zx-4)4-2x=7—(TX—I)；

(3)3(x-2)+l=x-(2x-l).

123

解：(l)x=~.(2)x=6.(3)X=2.

【點(diǎn)撥】

【跟蹤訓(xùn)練】(《名校課堂》3.3第I課時(shí)習(xí)題)解下列方程:

(l)3(x-4)=12；

解：去括號，得3x-12=12.

移項(xiàng),得3x=12+12.

合并同類項(xiàng)，得3x=24.

系數(shù)化為1，得x=8.

(2)2(3x-2)-5x=0；

解：去括號，得6x—4-5x=0.

移項(xiàng)，得6x—5x=4.

合并同類項(xiàng)，得x=4.

(3)5—(2x—l)=x：

解：去括號，得5—2x+l=x.

移項(xiàng)，得一2x-x=-5—1.

合并同類項(xiàng)，得一3x=-6.

系數(shù)化為1,得x=2.

(4)1(X-2)=3-2(X-2).

解：去括號,得1=3-$+1.

移項(xiàng)，得$+%=3+1+1.

合并同類項(xiàng)，得x=5.

04鞏固訓(xùn)練

1.將方程3(x-1)=6去括號，正確的是(D)

A.3x—1=6B.x—3=6C.3x+3=6D.3x-3=6

2.方程2(x—l)=x+2的解是(D)

A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4

3.解方程：3(3x+5)=2(2x—l).

解：去括號，得9x+15=4x—2.

移頂，得9x—4x=-2—15.

合并同類項(xiàng)，得5x=-17.

系數(shù)化為1，得x=一當(dāng).

4.解下列方程：

(l)2-(l-x)=-2;(2)4(2-x)-4(x+1)=60.

解：(l)x=—3.(2)x=-7.

05課堂小結(jié)

用去括號解一元一次方程的步驟：(I)去括號;(2)移項(xiàng);(3)合并同類項(xiàng)；(4)系數(shù)化為1.

第2課時(shí)利用去括號解一元一次方程的實(shí)際問題

01教學(xué)目標(biāo)

閱歷解決在水中航行的問題的過程，會列含括號的一元一次方程解決實(shí)際問題.

02預(yù)習(xí)反饋

閱讀教材P94“例2”，完成下列內(nèi)容.

學(xué)校團(tuán)委組織65名團(tuán)員為學(xué)校建花壇搬磚，初一的同學(xué)每人搬6塊，其他年級的同學(xué)每人搬8塊，總共搬了400

塊，問初一的同學(xué)有多少人參加了搬磚？

解?：設(shè)初一的同學(xué)有x人參加了搬磚.

依據(jù)題意，得6x+8(65—x)=400.

去括號，得6x+520-8x=400.

移項(xiàng)，得6x—8x=4()0—520.

合并同類項(xiàng)，得-2x=-120.

系數(shù)化為1,得x=

答：初一的同學(xué)有過人參加了搬磚.

03名校講壇

例(教材P94例2變式)一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，用了2h；從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用了2.5h.已

知水流的速度是3km/h,求甲、乙兩碼頭之間的距離.

解：設(shè)船在靜水中的速度為xkm/h,則，順流速度為

(x+3)km/h,逆流速度為(x—3)km/h,依題意，得

2(x+3)=2.5(x—3),解得x=27,2(x+3)=60.

答：甲、乙兩碼頭之間的距離為60km.

【點(diǎn)撥】解決水中航行問題的關(guān)鍵：

⑴弄清以下數(shù)量關(guān)系：①路程=速度X時(shí)間.②順流行駛速度=靜■水中的速度+水的速度，即v*=V"+v水；逆流

行駛速度=卡爭水中的速度一水的流速，即V^=v—V心③V?—V*=v企+v豕.

(2)確定建立方程的依據(jù)：①求速度時(shí)，依據(jù)來回的路程相等列方程,②求兩碼頭間的距離時(shí)，既可設(shè)間接未知數(shù)，

也可設(shè)干脆未知數(shù)，若是前者，則依據(jù)來回路程相等列方程：若是后者，則依據(jù)“表示靜水中速度的兩個不同的式

子相等”列方程.

【跟蹤訓(xùn)練】(《名校課堂》3.3第2課時(shí)習(xí)題)麗水市為打造“浙江綠谷”品牌，確定在省城舉辦農(nóng)副產(chǎn)品展銷活

動.某外貿(mào)公司推出品牌產(chǎn)品“山山牌”香菇、“奇爾”惠明茶共10噸前往參展，用6輛汽車裝運(yùn)，每輛汽車規(guī)

定滿載，且只能裝運(yùn)一種產(chǎn)品.因包裝限制，每輛汽車滿載時(shí)能裝香菇1.5噸或茶葉2噸.問裝運(yùn)香菇、茶葉的汽

車各需多少輛？

解：設(shè)裝運(yùn)香菇的汽車需x輛.依據(jù)題意，得

1.5x+2(6—x)=10.解得x=4.

所以6—x=2.

答：裝運(yùn)香菇、茶葉的汽車分別須要4輛和2輛.

04鞏固訓(xùn)練

1.一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，用了2h；從乙碼頭返回甲碼頭逆流而行，用了2.5h.已知船在靜水中的平

均速度為27km/h,求水流的速度.

解：設(shè)水流的速度為xkm/h.

依據(jù)題意，得2(27+x)=2.5(27-x)

解得x=3.

答：水流的速度為3km/h.

2.甲糧倉存糧1000噸，乙糧倉存糧798噸，現(xiàn)要從兩個糧倉中共運(yùn)走212噸糧食，使兩倉庫剩余的糧食數(shù)量相等,

那么應(yīng)從這兩個糧倉各運(yùn)出多少噸？

解:設(shè)從甲糧倉運(yùn)出x噸,則從乙糧倉運(yùn)出(212—x)噸.

由題意，得1000-x=798-(212-x).

解得x=207.

212-207=5(噸).

答：從甲倉庫運(yùn)出207噸，從乙倉庫運(yùn)出5噸.

3.杭州新西湖建成后，某班40名同學(xué)去劃船游湖，一共租了8條小船，其中有可坐4人的小船和可坐6人的小船,

40名同學(xué)剛好坐滿8條小船，問這兩種小船各租了幾條？

解：設(shè)可坐4人的小船租了x條.

依據(jù)題意，得4x+6(8—x)=40.

解得x=4,

所以8—x=4.

答：可坐4人的小船租了4條，可坐6人的小船租了4條.

05課堂小結(jié)

通過這節(jié)課，你在用一元一次方程解決實(shí)際問題方面又有哪些收獲？

第3課時(shí)利用去分母解一元一次方程

01教學(xué)目標(biāo)

1.閱歷利用等式的性質(zhì)2,將方程中系數(shù)都化為整數(shù)并求解的過程，會解含有分母的一元一次方程.

2.閱歷用一元一次方程解決實(shí)際問題的過程，會列含分母的一元一次方程解決實(shí)際問題.

02預(yù)習(xí)反饋

閱讀教材P95?97”問題2及例3”，完成下列內(nèi)容.

1.解一元一次方程的一般步驟包括：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等.通過這些步驟可以使

以x為未知數(shù)的方程逐步向著日的形式轉(zhuǎn)化，這個過程主要依據(jù)等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算律等.

x+12x—1

解方程：

2.3x443

解：兩邊都乘12，去分母，得12X3x+6(x-l)=3(x+l)—4(2x-l).

去括號，得36x+6x-6=3x+3—8x+4.

移項(xiàng)，得36x+6x—3x+8x=3+4+6.

合并同類項(xiàng)，得47x=13.

系數(shù)化為1，得x=￡.

3.碧空萬里，一群大雁在翱翔，迎面乂飛來一只小灰雁，它對群雁說：“你們好，百只雁！你們百雁齊飛，好氣

派！可憐我是孤雁獨(dú)飛.”群雁中一只領(lǐng)頭的老雁說：“不對！小摯友，我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足100只.將我們這一群加倍,

再加上半群，又加上四分之一群，最終還得請你也湊上，那才一共是100只呢”.請問這群大雁有多少只？

解：設(shè)這群大雁有x只.

由題意,得勿+%+$+1=100.

解得x=藥.

答：這胖大雁有正只.

03名校講壇

例1(教材P97例3變式)解方程：

5x—13x+l2—x

(1)4=2__3";

2x4-1x+2

(2丁~6~1;

2x—Ix-2

(3)3x-—2-=2-―~?

解：(l)x=—

Q)x=2.

(3)x卷.

【點(diǎn)撥】解含分母的一元一次方程的留意點(diǎn)：

(1)去分母時(shí)，假如分子是一個多項(xiàng)式，要將分子作為一個整體加上括號;

(2)去分母時(shí)，整數(shù)項(xiàng)不要漏乘各分母的最小公倍數(shù)；

⑶去括號時(shí)簡潔出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象和符號錯誤.

【跟蹤訓(xùn)練1】(《名校課堂》3.3第3課時(shí)習(xí)題)解下列方程:

2x-lx+2

(1)1-

解：去分母，得8x-4=3x+6.

移項(xiàng)，得8x—3x=4+6.

合并同類項(xiàng)，得5x=10.

系數(shù)化為1,得x=2.

2x—1x+2

(2r^-=--i：

解：去分母，得4x—2=x+2—4.

移項(xiàng)，得4x—x=2+2—4.

合并同類項(xiàng)，得3x=0.

系數(shù)化為1,得x=0.

x-34x4-1

⑶2?5=1

解:去分母,得5(x—3)—2(4x+l)=IO.

去括號,得5x-15—8x-2=10.

移項(xiàng)，得5x-8x=15+2+10.

合并同類項(xiàng)，得-3x=27.

系數(shù)化為1,得x=-9.

2x+lx—1

解：去分母，得5(去+1)=15—3(x-l).

去括號，得10x+5=15-3x+3.

移項(xiàng)，得IOx+3x=-5+15+3.

合并同類項(xiàng)，得13x=13.

系數(shù)化為I,得x=L

例2(教材補(bǔ)充例題)書正和子軒兩人登一座山，書正每分鐘登高10米，并且先動身30分鐘，子軒每分鐘登高15

米，兩人同時(shí)登上山頂.這座山有多高？

解：設(shè)這座山高x米，依題意，有*；；3°=比，解得x=900.

答：這座山高900米.

【跟蹤訓(xùn)練2】某船從A地順流而下到達(dá)B地，然后逆流返回，到達(dá)A、B兩地之間的C地，一共航行了7小時(shí),

已知此船在靜水中的速度為8千米/時(shí)，水流速度為2千米/時(shí).A、C兩地之間的距離為10千米，求A、B兩地之

間的距離.

解：設(shè)A、B兩地之間的距離為x千米，則B、C兩地之間的距離為(x—10)千米，由題意，得

x\—10

o=7,解得x=32.5.

oIZo-Z

答：A、B兩地之間的距離為32.5千米.

04鞏固訓(xùn)練

3x-71+x

1.解方程F~-k=l'去分母后的方程為(D)

A.3(3x—7)—2+2x=6B.3x—7—(l+x)=I

C.3(3x—7)—2(1—x)=1D.3(3x—7)—2(l+x)=6

1—2x

2.假如式子■丁的值等于5,那么x的值是(B)

A.—5B.-7C.3D.5

3.解下列方程:

y-l_y+22x-22x~3

^2),

(iry-=56

-7

解：⑴y=3.⑵x=].

4.1塊金銀合金重770克，金放在水中質(zhì)量減端，銀放在水中質(zhì)量減輕木，這塊合金放在水中質(zhì)量一共減輕50

克，這塊合金中金、銀各多少？

解：設(shè)合金中含金x克，則含銀(770-x)克.

依據(jù)題意，得自x+'j^X(770—x)=50.

解得x=570.

所以770—x=770-570=200.

答：這塊合金中含金570克，含銀200克.

05課堂小結(jié)

1.去分母解一元一次方程時(shí)要留意什么？

2.去分母解一元一次方程時(shí)，在方程兩邊同時(shí)乘各分母最小公倍數(shù)的目的是什么？

3.4實(shí)際問題與一元一次方程

第1課時(shí)和差倍分問題

01教學(xué)目標(biāo)

能夠找出實(shí)際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列一元一次方程解決和差倍分問題.

02預(yù)習(xí)反饋

出青林場今年植樹2800棵，比去年植樹的2倍還多400棵，去年植樹多少棵？

(1)這個題目中的J知量是今年植樹棵樹,未知量是去年植樹棵樹;

(2)這個題目中的等量關(guān)系是今年植樹棵樹=2X去年植樹棵樹+400棵;

(3)列出方程解答這個問題.

解：設(shè)去年植樹x棵.依據(jù)題意，得

2800=2x+400.

解得x=I200.

答：去年植樹1200棵.

03名校講壇

例清池中學(xué)少年宮為激勵陽光少年自尊自愛，勤奮學(xué)習(xí)，打算對五名表現(xiàn)相當(dāng)優(yōu)秀的陽光少年進(jìn)行嘉獎.通過了

解，好樂多超市每支鋼筆的價(jià)格比每本筆記本高8元，用124元恰好可以買到3支鋼筆和2本筆記本.每支鋼筆和

每本筆記本的價(jià)格各是多少元？

【分析】設(shè)每支鋼筆的價(jià)格為x元，則每本筆記本的價(jià)格為(x—8)元.依據(jù)用124元恰好可以買到3支鋼筆和2

本筆記本，列一元一次方程求解.

【解答】設(shè)每支鋼筆的價(jià)格為x元，則每本筆記本的價(jià)格為(x—8)元.依據(jù)題意，得

3x+2(x-8)=124.解得x=28.

則x8=20(元).

答：每支鋼筆的價(jià)格為28元，每本筆記本的價(jià)格為20元.

【點(diǎn)撥】用“各重量之和等于總量”列一元一次方程.

【跟蹤訓(xùn)練】為促進(jìn)教化均衡發(fā)展，A市實(shí)行“陽光分班”，某校七年級一班共有新生45人，其中男生比女生

多3人，求該班男生、女生各有多少人.

解：設(shè)女生有x人，依據(jù)題意，得

x+x+3=45.

解得x=21.

則x+3=24.

答：該班男生有24人，女生有21人.

04鞏固訓(xùn)練

L某市對城區(qū)主干道進(jìn)行綠化，支配把某一段公路的一側(cè)全部栽上桂花樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每兩棵

樹的間隔相等，假如每隔5米栽1棵，那么樹苗缺21棵；假如每隔6米栽1棵，那么樹苗正好用完，設(shè)原有樹苗x

棵，則依據(jù)題意列出方程正確的是(A)

A.5(x+21-l)=6(x-l)B.51x+21)=6(x-l)

C.5(x+21—l)=6xD.5(x+21)=6x

【點(diǎn)撥】用表示同一個量的兩個不同的式子相等列一元一次方程.

2.把300個蘋果按4：5：6分給幼兒園的小、中、大三個班.小班、中班、大班各分得多少個蘋果？

解：設(shè)一份為x個蘋果，則小班、中班、大班分別為4x、5x、6x.

依據(jù)題意，得4x+5x+6x=300.

解方程,得x=20.

則4x=80,5x=100,6x=120.

答：小班、中班、大班各分得80、100、120個蘋果.

05課堂小結(jié)

用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本過程如下：

這一過程一般包括設(shè)、歹I」、解、檢、答等步驟，即設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程，檢驗(yàn)所得結(jié)果，確定答案，正確分

析問題中的相等關(guān)系是列方程的基礎(chǔ).

第2課時(shí)數(shù)字問題

01教學(xué)目標(biāo)

能夠列一元一次方程解決數(shù)字問題.

02預(yù)習(xí)反饋

1.數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)，一般可設(shè)百位數(shù)字為a,十位數(shù)字是b,個位數(shù)字為c(其中a、b、c均為1?9之

間的整數(shù))，則這個三位數(shù)表示為：IC0a+10b+c.

2.數(shù)字問題中常見數(shù)的表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，與之相鄰的偶數(shù)

用2n+2或2n—2表示；奇數(shù)用2n+l或2n-1表示.

03名校講壇

例(《名校課堂》3.4第2課時(shí)習(xí)題)一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字是1,把這個兩位數(shù)的數(shù)字對調(diào)后，得到的新數(shù)比

原兩位數(shù)小18,求原兩位數(shù).

【分析】設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x,則原兩位數(shù)可以表示為10x+l,十字?jǐn)?shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后得到的新兩位

數(shù)為10+x.依據(jù)等量關(guān)系“原兩位數(shù)一新兩位數(shù)=18”即可列方程求解.

【解答】設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x,由題意，得

10x4-l-(10+x)=l8.

解得x=3.

答：原兩位數(shù)為31.

【跟蹤訓(xùn)練】一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大3,且比百位上的數(shù)字小1,三個數(shù)字的和的50倍比

這個三位數(shù)小2,求這個三位數(shù).

解：設(shè)卜位上數(shù)字為x,則個位數(shù)字為x-3,百位數(shù)字為x+l,這個三位數(shù)為100(x+l)+10x+x-3.依據(jù)題意，

得

50(x+x—3+x+1)=100(x+l)+10x+x—3—2.

解得x=5.

則這個三位數(shù)為：100X6+10X5+5—3=652.

04鞏固訓(xùn)練

一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5,且個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的和比這個兩位數(shù)的3大6,求這

個兩位數(shù).

解：設(shè)十位上的數(shù)字為x,則個位上的數(shù)字為(x+5).

依據(jù)題意，得

X+X+5=T[10X+(X+5)]+6.

解得x=4.

則個位上的數(shù)字為：x+5=9.

答：這個兩位數(shù)為49.

05課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

第3課時(shí)行程問題

01教學(xué)目標(biāo)

利用路程、時(shí)間、速度之間關(guān)系，能借助畫示意圖列一元一次方程解決行程問題.

02預(yù)習(xí)反饋

甲、乙兩人，同時(shí)動身，相對而行，踮離是5。km,甲每小時(shí)走3km,乙每小時(shí)走2km,問他倆幾小時(shí)可以相遇？

【分析與解答】甲、乙相遇時(shí)，他們共行的路程為卻

從路程角度分析：甲行走的路程+乙夕亍走的路程=50—km.

從時(shí)間角度分析：甲行走的時(shí)間=乙吁走的時(shí)間.

假如設(shè)甲、乙x個小時(shí)可以相遇，此時(shí)相等關(guān)系：

甲行走的路程+乙行走的路程=50km.

即甲行走的速度義甲行走的時(shí)間+乙6走的速度X乙行走的時(shí)間=50km.

則可得方程：3x+2x=50.

解得x=10.

所以他倆10小時(shí)可以相遇.

03名校講壇

例有一所中學(xué)組織學(xué)生到校外參加義務(wù)植樹活動.一部分學(xué)生騎自行車先走，速度為9千米/時(shí)；40分鐘后其余

同學(xué)坐汽車動身，速度為45千米/時(shí)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)目的地.目的地距學(xué)校多少千米？

【分析】設(shè)目的地離學(xué)校x千米.路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系如下表：

路程/千米速度/(千米/時(shí))時(shí)間/時(shí)

X

崎自行車X9

9

X

乘汽車X45

45

依據(jù)題目中的等量關(guān)系“騎自行車所用時(shí)間一乘汽車所用時(shí)間=40分鐘”列方程求解.

【解答】設(shè)目的地離學(xué)校x千米.依據(jù)題意，得

-―--=—余星得x=—

94560,解付*2,

答：目的地距學(xué)校與千米.

【點(diǎn)撥】行程問題常見關(guān)系式如下：

(I)路程=速度X時(shí)間；

(2)相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

(3)追及問題：同地不同時(shí)動身：前者走的路程=追者走的路程；同時(shí)不同地動身：前者走的路程+兩地距離=追者

走的路程.

⑷航行問題：順?biāo)俣?甜水速度+水流逐度：

逆水速度=靜水速度一水流速度.

【跟蹤訓(xùn)練】(《名校課堂》3.4第3課時(shí)習(xí)題)一隊(duì)學(xué)生去校外進(jìn)行訓(xùn)練，他們以5千米/時(shí)的速度行進(jìn)，走了18

分鐘的時(shí)候，學(xué)校要將一個緊急通知傳給隊(duì)長，通訊員從學(xué)校動身，騎自行車以14千米/時(shí)的速度按原路追上去，

通訊員需多少時(shí)間可以追上學(xué)生隊(duì)伍？

解：設(shè)通訊員需x小時(shí)可以追上學(xué)生隊(duì)伍.由題意，得

18]

5X而+5x=14