對(duì)數(shù)函數(shù)(45分鐘100分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.函數(shù)y=3-loA.(-∞,9] B.(0,27]C.(0,9] D.(-∞,27]【解析】選B.要使函數(shù)有意義需3-log3x≥0,即log3x≤log327,所以0<x≤27.【誤區(qū)警示】本題易忽視函數(shù)y=log3x的定義域(0,+∞),而誤選D.2.(2014·衢州模擬)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A.y=|log3x| B.y=x3C.y=e|x| D.y=cos|x|【解析】選C.函數(shù)y=e|x|與y=cos|x|是偶函數(shù),函數(shù)y=e|x|在(0,1)上單調(diào)遞增,故選C.3.(2014·煙臺(tái)模擬)設(shè)a=33,b=13-2A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.a>c>b【解析】選A.因?yàn)閎=13-2所以a=33>b=3而c=log32<log33=1,故a>b>c.4.(2013·濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若對(duì)于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(2014)+f(-2015)=()A.1 B.2 C.-1 D.-2【解析】選C.由f(x+2)=f(x)可知函數(shù)f(x)的周期是2,又f(x)為奇函數(shù),所以f(2014)+f(-2015)=f(2014)-f(2015)=f(0)-f(1)=log21-log22=-1.5.(2014·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)=log2(x2-2x+a)的值域?yàn)閇0,+∞),則正實(shí)數(shù)a等于()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.要使f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),需x2-2x+a≥1,結(jié)合選擇支驗(yàn)證知a=2.6.(2013·溫州模擬)若loga(a2+1)<loga2a<0,則a的取值范圍是()A.(0,1) B.0C.12,1 D.(0,1)∪(1,+【解析】選C.因?yàn)閘oga(a2+1)<0=loga1,a2+1>1,所以0<a<1,所以a2+1>2a,又loga2a<0,即2a>1,所以0解得12【誤區(qū)警示】本題易忽視loga2a<0這一條件,而誤選A.【方法技巧】有關(guān)對(duì)數(shù)不等式的解題技巧(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況討論.(2)形如logax>b的不等式,需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式再求解.7.(2014·金華模擬)函數(shù)f(x)=2|log2【解析】選D.因?yàn)閒(x)=2|log=x故結(jié)合圖象知D正確8.(2014·西安模擬)已知函數(shù)f(x)=20142x-1201A.52 B.32 C.1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)ln2與ln12【解析】選A.令g(x)=201知g(-x)=-201所以f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+ex+e-x=ex+e-x,故f(ln2)+fln12=eln2+e-ln2=2+12二、填空題(每小題5分,共20分)9.計(jì)算:log2.56.25+lg0.001+lne+2-1+log【解析】原式=log2.5(2.5)2+lg10-3+lne12=2-3+12+3答案:110.(2012·北京高考)已知函數(shù)f(x)=lgx,若f(ab)=1,則f(a2)+f(b2)=.【解析】f(ab)=lg(ab)=1,所以ab=10.f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(a2b2)=lg100=2.答案:211.(2014·麗水模擬)函數(shù)f(x)=|log3x|在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇0,1],則b-a的最小值為.【解析】函數(shù)f(x)=|log3x|的圖象如圖:而f(13由圖可知a∈[13,1],b∈b-a的最小值為a=13,b=1時(shí),即b-a=2故答案為23答案:212.(2014·蘇州模擬)若函數(shù)f(x)=lg(ax+x2+1)是R上的奇函數(shù),則a的值為【解析】由已知得f(x)+f(-x)=0,即lg(x2+1+ax)+lg(得lg[(x2+1+ax)(所以(1-a2)x2+1=1,即(1-a2)x2=0,又x∈R,所以1-a2=0,得a=±1.答案:±1三、解答題(13題12分,14～15題各14分)13.(2014·湖州模擬)設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定義域.(2)求f(x)在區(qū)間0,【解析】(1)因?yàn)閒(1)=2,所以loga4=2(a>0,a≠1),所以a=2.由1+x>0,3-x>0,得x所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,3).(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4],所以當(dāng)x∈(-1,1]時(shí),f(x)是增函數(shù);當(dāng)x∈(1,3)時(shí),f(x)是減函數(shù),函數(shù)f(x)在0,32【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax).(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),函數(shù)f(x)恒有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題設(shè),3-ax>0對(duì)一切x∈[0,2]恒成立,設(shè)g(x)=3-ax,因?yàn)閍>0,且a≠1,所以g(x)=3-ax在[0,2]上為減函數(shù).從而g(2)=3-2a>0,所以a<32所以a的取值范圍為(0,1)∪1,(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a,由題設(shè)知f(1)=1,即loga(3-a)=1,所以a=32此時(shí)f(x)=log32(3-當(dāng)x=2時(shí),f(x)沒(méi)有意義,故這樣的實(shí)數(shù)a不存在.14.(2014·珠海模擬)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(0)=0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log1(1)求函數(shù)f(x)的解析式.(2)解不等式f(x2-1)>-2.【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=log1因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x).所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=l(2)因?yàn)閒(4)=log1因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以不等式f(x2-1)>-2可化為f(|x2-1|)>f(4).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以|x2-1|<4,解得:-5<x<5,即不等式的解集為(-5,5).15.(能力挑戰(zhàn)題)若f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1).(1)求f(log2x)的最小值及對(duì)應(yīng)的x值.(2)x取何值時(shí),f(log2x)>f(1),且log2f(x)<f(1).【解析】(1)因?yàn)閒(x)=x2-x+b,所以f(log2a)=(log2a)2-log2a+b,由已知得(log2a)2-log2a+b=b,所以log2a(log2a-1)=0.因?yàn)閍≠1,所以log2a=1,即a=2.又log2f(a)=2,所以f(a)=4,所以a2-a+b=4,所以b=4-a2+a=2,故f(x)=x2-x+2.從而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=log2所以當(dāng)log2x=12,即x=2時(shí)f(log2x)有最小值74(2)由題意(?x>2或【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=-x+log21-x(1)求f12014+f-(2)當(dāng)x∈(-a,a],其中a∈(0,1),a是常數(shù)時(shí),函數(shù)f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】