第三講指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一、引言1．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是重要初等函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位．2．考綱要求：考綱對本專題內(nèi)容要求為：理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握冪的運(yùn)算；理解對數(shù)的概念與運(yùn)算性質(zhì)；理解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，掌握圖象及其特點(diǎn)；了解函數(shù)與且互為反函數(shù)，會(huì)求簡單的反函數(shù)．3．考情分析：從近幾年的高考形勢來看，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問題，高考試題對專題內(nèi)容的考查仍將堅(jiān)持這種命題方向．因此，我們要熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算法則，明確算理，能對常見的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理．二、考點(diǎn)梳理1．指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（1）根式的概念：①定義：若一個(gè)數(shù)的次方等于，則這個(gè)數(shù)稱的次方根．即若，則稱的次方根.1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，次方根記作；2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個(gè)次方根且互為相反數(shù)，記作．②性質(zhì)：1）；2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．（2）對數(shù)的概念①定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)．1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，，記作.②基本性質(zhì)：1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對數(shù)）；2）；3）；4）對數(shù)恒等式：．③運(yùn)算性質(zhì)：如果則1）；2）；3）R）．④換底公式：1）；2）．2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量．（２）對數(shù)函數(shù)：把函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量．（３）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)圖象定義域值域性質(zhì)(1)函數(shù)過點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；(3)若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．(1)函數(shù)過點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；(3)若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；若，則時(shí)，，時(shí)，.3．反函數(shù)（1）概念：設(shè)分別是函數(shù)的定義域和值域，若對函數(shù)所得的也是一個(gè)函數(shù)，即對任意的，都有唯一的與之對應(yīng)，那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作．其中是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上寫成的形式．由反函數(shù)的概念可知，同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．（2）反函數(shù)的性質(zhì)：①互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；②若函數(shù)上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)的圖象上；反之若點(diǎn)在反函數(shù)的圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．三、典型例題選講例1計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．分析：對涉及指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算的問題，熟練運(yùn)用對數(shù)式和指數(shù)式的運(yùn)算公式是解決本題的基礎(chǔ)和前提，同時(shí)在計(jì)算過程中要注意分解、配方等．解：(1)原式；(2)原式；(3)解法一：原式解法二：原式；(4)原式.歸納小結(jié)：對于對數(shù)的運(yùn)算，主要的技能是熟練運(yùn)用各種運(yùn)算性質(zhì)．在對數(shù)式的運(yùn)算中有兩種運(yùn)算方法：一是將對數(shù)式的運(yùn)算直接利用運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為真數(shù)的運(yùn)算；二是如果對數(shù)式中的真數(shù)具有乘、除、乘方、方根的特點(diǎn)，可利用運(yùn)算性質(zhì)將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)式的運(yùn)算．例2已知，用表示.分析：關(guān)于指數(shù)式和對數(shù)式有如下關(guān)系：，，且．在解決指數(shù)問題時(shí)常取對數(shù)，而解決對數(shù)問題又常將它轉(zhuǎn)化成指數(shù)問題．解法一：∵，∴.∵，∴.∴.解法二：∵，∴. ∴.歸納小結(jié)：(1)本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)及互相轉(zhuǎn)化的公式，根據(jù)問題條件靈活選擇轉(zhuǎn)化形式，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和靈活計(jì)算的能力．(2)當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)指數(shù)式和對數(shù)式時(shí)，一般需要把問題轉(zhuǎn)化到同一種形式上，這里將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，或把對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式．同時(shí)當(dāng)對數(shù)的底數(shù)是不同時(shí)，可利用換底公式將對數(shù)換成同底的對數(shù)，以便利用已知條件和對數(shù)性質(zhì)求值．例3①（2007安徽卷）設(shè),且，，,則的大小關(guān)系為()A．B．C．D．②（2008北京卷）若，，，則（）A．B．C．D．分析：①要具體求出這三個(gè)數(shù)值比較困難，但可以利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷出這三個(gè)數(shù)值的范圍，從而比較大??；②選項(xiàng)B、D是不同底函數(shù)值，比較大小麻煩，所以考慮使用特殊值．解：①∵，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．∵，∴.故選B．②∵，，.∴.故選A．歸納小結(jié)：(1)本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，比較大小的常用方法，涉及到對數(shù)形結(jié)合思想、分析能力和邏輯思維能力的考查．(2)冪的大小、對數(shù)大小比較往往是把它們轉(zhuǎn)為同底函數(shù)的大小比較，常用方法主要有：①作差法；②單調(diào)性法；③作商法．當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)（真數(shù)）不同時(shí)，可以利用函數(shù)單調(diào)性比較；當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)（真數(shù)）相同時(shí)，可以利用函數(shù)圖象特點(diǎn)進(jìn)行比較；當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)（真數(shù)）也不同時(shí)，可以利用中間值或進(jìn)行比較．在比較大小時(shí)，特殊值法也是一種常用，而且比較有效的方法．例4已知，在同一坐標(biāo)系中，與的圖象是（）分析：畫指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，應(yīng)對底數(shù)的大小作分類討論，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，或抓住指數(shù)、對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的圖象特征即可．解法一：考慮的定義域?yàn)?，則對數(shù)函數(shù)圖象只能在軸左側(cè)，所以排除，而兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相反，所以選C．解法二：若，則函數(shù)單調(diào)減，函數(shù)單調(diào)增，沒有符合條件的選項(xiàng)；若，則函數(shù)單調(diào)增，函數(shù)單調(diào)減，選項(xiàng)C符合；歸納小結(jié)：(1)本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及圖象，同時(shí)還考查了分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想以及分析推理能力、畫圖能力．(2)一般來說，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的判斷可以從以下幾點(diǎn)進(jìn)行考慮：①函數(shù)的定義域、值域；②函數(shù)的單調(diào)性；③函數(shù)圖象的對稱性；④特殊點(diǎn)等.同時(shí)還要注意底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響，利用好對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．例5(2009湖北卷)設(shè)為非零實(shí)數(shù)，函數(shù)的反函數(shù)是（）．．．．分析：本題是求反函數(shù)解析式的程序性問題,只需要按照求反函數(shù)的步驟進(jìn)行求解即可．解：可反解得，故，且可得原函數(shù)中，，所以且，，故選D.歸納小結(jié)：一般來說，求函數(shù)的反函數(shù)的基本步驟是：①反解：解出；②互換：交換定義域與值域；③改寫：將中的改寫成，將該寫成．例6（2008陜西卷）已知函數(shù)，是的反函數(shù)，若（），則的值為（）A．B．C．D．分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，可以求反函數(shù)的步驟求出，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出的值．解：∵，∴.所以選A.歸納小結(jié):本題考查了反函數(shù)的概念與求解步驟、對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查基本運(yùn)算能力．例7（上海卷）已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)若對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．分析：問題(1)考查了指數(shù)方程的解法,只需要通過對的討論，利用的解析式轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程求解即可．問題(2)是含參不等式恒成立問題，可用分離參數(shù)法求出的取值范圍．解：(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由條件可知，即，令，則，解得，即．∵，∴．（）當(dāng)時(shí)，，即．∵，∴，∴．∴.故的取值范圍是．歸納小結(jié)：(1)本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)方程的解法、不等式的恒成立等知識，對函數(shù)與方程思想、變形與轉(zhuǎn)化思想均有一定的要求．(2)常見的幾種指數(shù)方程的形式及解法有：①形如的方程，可轉(zhuǎn)化為求解；②形如的方程，可轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式求解；③形如的方程，可利用換元法求解．含參不等式的恒成立問題，一般采用分離參數(shù)法，按照“大于最大，小于最小”的原則，求出參數(shù)的取值范圍．四、本專題總結(jié)1．在有關(guān)冪的運(yùn)算過程中，要遵循先化簡后計(jì)算的原則，并且注意運(yùn)算的順序．特別要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化，這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題中重要思想和手段；2．指數(shù)函數(shù)的底數(shù)及對數(shù)函數(shù)的真數(shù)和底數(shù)應(yīng)滿足的條件是求解有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題時(shí)必須予以特別重視的，另外研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題盡量化同底；3．利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)討論一些復(fù)合函數(shù)的相應(yīng)問題是常考題型，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用；第四講函數(shù)模型及其應(yīng)用一、引言1.函數(shù)應(yīng)用問題是高考的熱點(diǎn)，高考對應(yīng)用題的考查既考小題又考大題，出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)應(yīng)用題設(shè)置背景的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考查．2.考綱要求:了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)、二次函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用．3.考情分析：本專題內(nèi)容在2010年高考中考查內(nèi)容仍以函數(shù)建模為考查重點(diǎn)，通過函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、極值和最值等）來解釋現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象，主要涉及經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、能源等．在題型上加大了函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開放題和信息題的考查力度．二、考點(diǎn)梳理1．解決實(shí)際問題的解題過程（1）對實(shí)際問題進(jìn)行抽象概括：研究實(shí)際問題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并用、分別表示問題中的變量；（2）建立函數(shù)模型：將變量表示為的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；（3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問題的解.這些步驟用框圖表示：2．解應(yīng)用題的一般程序：（1）讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ)；（2）建：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“模”是關(guān)鍵的一關(guān)；（3）解：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程；（4）答：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實(shí)際問題的結(jié)果．三、典型例題選講例1（2007湖北卷）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（Ⅰ）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為.（Ⅱ）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.分析：本題給出函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，函數(shù)顯然是正比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法可以求出解析式；當(dāng)時(shí)，函數(shù)模型已經(jīng)給出，只需要直接代入特殊點(diǎn)求出即可．解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，將代入可得．當(dāng)時(shí)，，將代入可得.∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由得.故至少需要經(jīng)過小時(shí)，學(xué)生才能回到教室．歸納小結(jié)：函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要表示方法，它有明顯的直觀性，通過函數(shù)的圖象可以解決函數(shù)的解析式，掌握函數(shù)的重要性質(zhì)．而解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)模型，然后利用函數(shù)的知識求解．例2某租賃公司擁有汽車輛．當(dāng)每輛車的月租金為元時(shí)，可全部租出．當(dāng)每輛車的月租金每增加元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛．租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)元．（1）當(dāng)每輛車的月租金定為元時(shí)，能租出多少輛車？（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？分析：按照公司的月收益為：租出車輛（月租金－維護(hù)費(fèi)）－未租出車輛維護(hù)費(fèi)，將月收益視為月租金的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)模型求解問題．解：（1）當(dāng)每輛車的月租金定為元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為：，所以這時(shí)租出了輛車．（2）設(shè)每輛車的月租金定為元，則租賃公司的月收益為：，整理得：．所以，當(dāng)時(shí)，最大，其最大值為．即當(dāng)每輛車的月租金定為元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為元．歸納小結(jié)：(1)本題考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力，根據(jù)生活情景，迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并加以解決．(2)在實(shí)際問題背景下，建立收益、利潤的函數(shù)模型，一般是利潤＝收入－各項(xiàng)支出．例3(2009湖北卷)圍建一個(gè)面積為的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個(gè)寬度為的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/,新墻的造價(jià)為180元/,設(shè)利用的舊墻的長度為(單位：元)．（Ⅰ）將表示為的函數(shù)；（Ⅱ）試確定,使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．解：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長為．則．由已知，得，所以．(II)．.當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號成立．即當(dāng)時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元．歸納小結(jié)：本題考查了將生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，并建立函數(shù)模型的方法和求最值的不等式法，考查了分析問題、解決問題和閱讀轉(zhuǎn)化能力.例4某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的天內(nèi)，西紅柿市場售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用下圖中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用下圖中（2）的拋物線表示．（1）寫出圖中（1）表示的市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；寫出圖中（2）表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）認(rèn)定市場售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?（注：市場售價(jià)和種植成本的單位：元，時(shí)間單位：天）解：（1）由圖（1）可得市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為：．由圖（2）可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為．（2）設(shè)時(shí)刻的純收益為，則由題意得，即當(dāng)時(shí)，配方整理得，所以，當(dāng)時(shí)，取得區(qū)間上的最大值；當(dāng)時(shí)，配方整理得，所以，當(dāng)時(shí)，取得區(qū)間上的最大值．綜上，由可知，在區(qū)間上可以取得最大值，此時(shí)，即從二月一日開始的第天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大.歸納小結(jié)：(1)本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題.考查運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力和數(shù)形結(jié)合、分類討論思想.(2)解答本題的關(guān)鍵是要仔細(xì)審題，理解題意，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．本題建立分段函數(shù)模型，因此分類討論的運(yùn)用是不可避免的．此外還要注意問題的實(shí)際意義.例5用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥,對用一定量的水清洗一次的效果作如下假設(shè):用1個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的,用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多,但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上.設(shè)用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù).(1)試規(guī)定的值，并解釋其實(shí)際意義；(2)試根據(jù)假定寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì);(3)設(shè),現(xiàn)有a(a>0)單位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成２份后清洗兩次,試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?請說明理由.解：（1），表示沒有用水清洗時(shí)，蔬菜上農(nóng)藥量將保持原樣．（2）函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)是：，在上單調(diào)遞減，且．（3）設(shè)僅清洗一次，殘留的農(nóng)藥量為，清洗兩次后，殘留的農(nóng)藥量為..于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，當(dāng)時(shí)，清洗兩次后殘留的農(nóng)藥量較少；當(dāng)時(shí)，兩種清洗方法具有相同的效果；當(dāng)時(shí)，一次清洗殘留的農(nóng)藥量較少．例6（年上海模擬題）某城市現(xiàn)有人口總數(shù)萬人，如果年自然增長率為，試解答以下問題：寫出該城市人口總數(shù)(萬人)與年份(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算年以后該城市人口總數(shù)(精確到萬人)；(3)計(jì)算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)到萬人（精確到年）．解：(1)年后該城市人口總數(shù)為：；年后該城市人口總數(shù)為：；年后該城市人口總數(shù)為：；……年后該城市人口總數(shù)為：.(2)年以后該城市人口總數(shù)為（萬）；(3)設(shè)年后該城市人口將達(dá)到萬人，即，（年）.歸納小結(jié)：在實(shí)際問題中，常常遇到有關(guān)增長率和平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為，平均增長率為，則對于時(shí)間的產(chǎn)值或總產(chǎn)量，可以用下面的公式表示．解決平均增長率問題，常用到這個(gè)公式，要注意記憶．例7（2008江蘇卷）某地有三家工廠，分別位于矩形的頂點(diǎn)，及的中點(diǎn)處，已知，，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形的區(qū)域上（含邊界），且，與等距離的一點(diǎn)處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道，，，設(shè)排污管道的總長為．（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：①設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式．（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．解：（Ⅰ）①由條件知垂直平分，若，則，故，又，所以.所求函數(shù)關(guān)系式為.②若，則，所以.所求函數(shù)關(guān)系式為.（Ⅱ）選擇函數(shù)模型①，則.令得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是的增函數(shù)，所以當(dāng)=時(shí)，．這時(shí)點(diǎn)位于線段的中垂線上，且距離邊處．歸納小結(jié)：本題主要考查根據(jù)實(shí)際意義建立函數(shù)模型、三角函數(shù)性質(zhì)和解決最值問題的基本知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分析問題、轉(zhuǎn)化求解的能力．例8（2007湖南卷）如圖，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點(diǎn)到平面的距離（km）．沿山腳原有一段筆直的公路可供利用．從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬元/km．當(dāng)山坡上公路長度為km（）時(shí)，其造價(jià)為萬元．已知，，，．（I）在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最??；（II）對于（I）中得到的點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最?。↖II）在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論．解：（I）如圖，，，，由三垂線定理逆定理知，，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，．設(shè)，．則．記總造價(jià)為萬元，據(jù)題設(shè)有．當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)最?。↖I）設(shè)，，總造價(jià)為萬元，根據(jù)題設(shè)有．則，由，得．當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是增函數(shù)．故當(dāng)，即（km）時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬元．（III）解法一：不存在這樣的點(diǎn)，．事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，．為使總造價(jià)最小，顯然不能位于與之間．故可