高中數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題練習(xí)(江蘇)及詳解

1.己知數(shù)列

{%}

是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項和為

Sn

，且

(12

%=15

S1=16.

(I)求數(shù)列

{%}

的通項公式；

(H)數(shù)列

他}

滿足

L=%

①求數(shù)列

的通項公式；

②是否存在正整數(shù)01,

n(m*n)

，使得

%

成等差數(shù)列?若存在,求出m,n的值;若不存在,請說明理由.

解：（1）設(shè)數(shù)列

{%}

的公差為d,則

rf>0.

由

9i

=15

S1=16

，得

J+可出+2d）=15

[4al+6d=16

）算得出

fli=1

'd=2

或

=7

'd=-2

b

（舍去）.

0n=2n—1

T

（II）①

?也=5

%+1-b。-----

anan+l

：.b\=⑥=1

6n+1bn=

-n/fln，M=(2n-l)-(2n+1)=5(2"1"2"+1)

即

與-仇=1(1-g)

"T2(2"32n-V

f

(?>2)

累加得：

6"-6,=2(1-2n-l)=2n-l

b-仇+"1T+”1-3…2

?"何'2"一1M2n-12n-l

加=I

也符合上式.

故

,3n-2

nWN又

②假設(shè)存在正整數(shù)m、

n(mn)

，使得

%

成等差數(shù)列，

則

&+葭=2bm.

又

3

,3n-231

n=2n-1=24n-2

,31

中24m-2

431、c/31、

-3+(z2如-2)2(2-4m-2)

，即

111

2m-164n-2

）簡得：

_7n-2_9

，/〃一一(?■

n+1n+1

當(dāng)

n+1=3

，即

n=2

時，

m=2

,（舍去）；

當(dāng)

n+1=9

，即

n=8

時,

m=3

,符合題意.

■

存在正整數(shù)

m=3

n=8

，使得

%

鼠

%

成等差數(shù)列.

解析

(I)直接由已知列關(guān)于首項和公差的方程組,求解方程組得首項和公差，代入

等差數(shù)列的通項公式得答案；

(H)①把數(shù)列

{%}

的通項公式代入

“中-b”=—

an<an+l

，然后裂項,累加后即可求得數(shù)列

的通項公式；

②假設(shè)存在正整數(shù)m、

n(m/〃)

，使得

h

b.

成等差數(shù)列,則

一+%=2bm

.由此列關(guān)于m的方程,求計算得出答案.

2.在數(shù)列

M

中，已知

=2

=3ar,-f2n-1.

(1)求證:數(shù)列

{dn+〃}

為等比數(shù)列；

⑵記

%二%+(1-A)n

,且數(shù)列

{兒}

的前n項和為

Tn

，若

為數(shù)列

①}

中的最小項，求

A

的取值范圍.

解：(1)證明：

.On+i=3ar,+2n-1

.二即+i+ri+1=3(an+n).

又

Oi=2

/.On>0

%+幾>0

‘故

%+l+7l+1

，｛冊+幾｝

是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列

⑵由⑴知道

M

0n+71=3

bn=a,,+(1-A)n

若

為數(shù)列

中的最小項,則對有

2k72

恒成立,

即

3n+1-81>(n24-n-12)A

對恒成立

1°

當(dāng)

n=1

時，有

EE、36

丁64,入2W

1

2°

當(dāng)

n=2

時，有

Ti>T.

?

A>9

3d

當(dāng)

n>4

時，

n2+n-12=(〃+4)(n-3)>0

恒成立，

“3m-81

一-n2+n-12

對恒成立.

令

-I

f(n)=n^n-12

，則

3-(2"-26)+162g

加+)八)一(n2+3n-10)(n2+n-部。

對恒成立，

〃\3n+1-81

"⑺二層+…

在

n>4

時為單調(diào)遞增數(shù)列.

，即

綜上,

解析

⑴由

%+i=3a?+2幾-1

，整理得：

斯+1+〃+1=3(0?+Tl)

.由

0M+n>0

+71+1

----------=3

0n+n

，可以知道

{廝+n]

是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列；

⑵由(1)求得數(shù)列

他}

通項公式及前n項和為

,由

口

為數(shù)列

{%}

中的最小項,則對有

3(3--i)-r±L±l)A>39-6A

2v72

恒成立,分類分別求得當(dāng)

n=1

時和當(dāng)

n=2A

的取值范圍，

當(dāng)

n>4

時,

3升1一81

仙）=小+…

,利用做差法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得

A

的取值范圍.

3.在數(shù)列

{%}

中,已知

1

01=3

12

=3n+l

W

，設(shè)

Sn

為

{%}

的前n項和.

⑴求證:數(shù)列

{3%J

是等差數(shù)列；

⑵求

Sn

⑶是否存在正整數(shù)p,q,

r(p<q<r)

，使

Sq

成等差數(shù)列?若存在,求出P,q,r的值;若不存在,說明理由.

(1)證明：由

12

3冊-訶

J

nWNx

腦到

n+1n

3^+i=3^-2

加

3"“on+l—3nOn=—2.

又

1

,必=j

，3xai=1

數(shù)列

{3%“}

是以1為首項,以-2為公差的等差數(shù)列；

⑵由⑴可以推知：

3"廝=l-2(n-l)

京以，

3-2n

、3n

加以

11353-2n

%332333工…3n

，①

111353-2〃

不一取一率一可一…一方丁

，②

①-②,得

21..111l3-2n

c+承+系+…+沙）x一聲

_1?I1"（I）""1]3-2〃

-3'22xX^T]-----可

2n

=訶

所以

Sn=4.

3”

⑶假設(shè)存在正整數(shù)P,q,

r（p<q<r）

，使

sP

Sg

S「

成等差數(shù)列.

則

2sg=Sp+Sr

l!D

區(qū)J+L

3g93r

因為當(dāng)

n>2

時，

3-2n

4=3?<°

所以數(shù)列

{Sn}

單調(diào)遞減.

又

p<q

涼以

pgq-i

且q至少為2,

所以

p、qT

3-P>---39--1

(y-12qq-3

箏-13。—3。

①當(dāng)

Q3

時，

P〉。T)2(7

3P-3"i-3"

->0

3r

所以

2gP『

,等式不成立.

②當(dāng)

q=2

時，

P=1

所以

41r

所以

r1

r=9

M以

r=3

,(數(shù)列

{Sn}

單調(diào)遞減，解唯一確定).

綜上可以知道,p,q,r的值分別是1,2,3.

解析

(1)把給出的數(shù)列遞推式

12

=^冊一聲

，變形后得到新數(shù)列

{3"廝}

,該數(shù)列是以1為首項,以-2為公差的等差數(shù)列；

⑵由⑴推出

{%}

的通項公式,利用錯位相減法從而求得求

Sn

⑶根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到

2Sq=S『+S「

,從而推知p,q,r的值.

4.已知n為正整數(shù),數(shù)列

M

滿足

%)o

22

4(n+l)an-nan+i=0

,設(shè)數(shù)列

他｝

滿足

,謂

⑴求證:數(shù)列

為等比數(shù)列；

⑵若數(shù)列

偈}

是等差數(shù)列,求實數(shù)t的值；

⑶若數(shù)列

他}

是等差數(shù)列,前n項和為

%

，對任意的

nWlS

，均存在

，使得

42

8a/Sn_a>n=l^bm

成立,求滿足條件的所有整數(shù)

di

的值.

(1)證明:

數(shù)列

{%}

滿足

%)0

4(n+1)0?-non+i

.烏=4

n+1

?

n

vn+1

?

M

*

??

數(shù)列

燒｝

為等比數(shù)列，其首項為

，公比為2;

⑵解：由⑴可得：

品

?

2時1

n-l

0n=fli2\/n

On2a；41n

bn=—=----

tn儼

數(shù)列

他｝

是等差數(shù)列,

「.2b?=6+%

2

ca?x4x，92y_!a_?____a?x4_￡x43.______

一"￡十=/

計算得出

￡=4

或12.

￡=4

時，

a?4n=lnnai

,是關(guān)于n的一次函數(shù),因此數(shù)列

是等差數(shù)列.

t=12

時，

b?=

4x3n

_41-2n)

6,1+1"6,1"4乂3小

，不是關(guān)于n的一次函數(shù)，

因此數(shù)列

不是等差數(shù)列.

綜上可得

t=4

⑶解:由⑵得

對任意的

nCNx

，均存在

meN*

，使得

8a/Sn—a=16b

成立，

即有

8oJ

9

dn(l+ri)-aj/—16

o

9?

ma^2

4

化簡可得

nai2

4

=2k

kWNx

4k2m9

m=——=nk"

，對任意的

n€.Vx

，符合題意;

當(dāng)

a[=2k—1

KN，

，當(dāng)

n=1

時,

(2k-1)2/2-必+11

m=--=-------------=k-k+4

3任意的

n€Nx

，不符合題意.

綜上可得,當(dāng)

=2k

kWN"

，對任意的

nQNx

，均存在

mCN，

加得

2

8a/Srt.a/n=16bm

成立.

解析

⑴根據(jù)題意整理可得，

an+l

?

On

春

，再由等比數(shù)列的定義即可得證；

(2)運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列中項的性質(zhì)，可得

2b2=加十%

,解方程可得t,對t的值,檢驗即可得到所求值；

⑶由⑵可得

，對任意的

n€.Vx

，均存在

meN'

，使得

242

8aiSn-ain=16bm

成立,即有

8aJ

?

-n(l4-n)-a/n2=16

8

?

ma\2

4

，討論

ai

為偶數(shù)和奇數(shù),化簡整理,即可得到所求值，

5.已知常數(shù)

p>0

，數(shù)列

{%}

滿足

flfi+i=|p—%|+2%+P

7l€1Vx.

⑴若

a\=-1

P=1

△求

囚

的值；

②求數(shù)列

的前n項和

⑵若數(shù)列

中存在三項

Or

圓

a,(r,s/wNx,r<s<f)

依次成等差數(shù)列,求

P

的取值范圍.

解:⑴①

*/fln+l=加一叫+2斯+p

=|1-a\\+2al+1=2-2+1=1

。3=|1-+2a2+1=04-2+1=3

ai=11-闖+2a?+1=2+6+1=9

*/d2=1

Ofi+i=|1-On|+2an+1

當(dāng)

n>2

時,

當(dāng)

n>2

時，

On+l=-1+%+2%+1=3%

,即從第二項起，數(shù)列

{%}

是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列，

?*?

數(shù)列

M

的前n項和，

(n>2)

顯然當(dāng)

n=1

時,上式也成立，

1q

.?禺=產(chǎn)』2

(2),

...On+l〉％

，即

{%}

單調(diào)遞增.

⑴當(dāng)

巴>1

P-

時，有

，于是

%2al2P

/.fln=3n-1-ai.

若數(shù)列

｛廝｝

中存在三項

Or

%

o1(r,s"wNx,r<s<t)

依次成等差數(shù)列,則有

2aa=0T+at

2x3<-1=3r-I+3f-I.(x)

：s<t-1

2

=-x3s<3'T<+3'T

<J

.因此

（X）

不成立.因此此時數(shù)列

{%}

中不存在三項

dr

%

a^ns.tCNx.r<s<t)

依次成等差數(shù)列.

的

當(dāng)

-1<^<1

時，有

-p<。1<p

.此時

于是當(dāng)

n>2

時，

%2電〉P

,從而

若數(shù)列

{%}

中存在三項

備

ar<s<t)

依次成等差數(shù)列,則有

2%=%+at

同(i)可以知道:

r=1

.于是有

2x3—恤+2p)=出+3r-i(ai+2p)

\2<S<t-1

，是整數(shù)，

^-<-1

"ai+2p-

.于是

ai<-a1-2p

，即

fli<-P

.與

-p<a1<p

矛盾.

故此時數(shù)列

M

中不存在三項

(U(r,s,twNx,r<s<t)

依次成等差數(shù)列.

（何

當(dāng)

—<-1

時，有

的3—p<pg+pW0?

于是

此時數(shù)列

{%}

中存在三項

01

a：i

依次成等差數(shù)列.

綜上可得：

a\

解析

⑴①

On+l=|p-On|+2an+p

，可得

02=|1-AI|+2al+1=2—2+1=1

，同理可得

3

flj=9.

②

的=1

%+i=|1-On|4-2an+1

，當(dāng)

n>2

時，

421

，當(dāng)

n>2

時，

On+1=-1+%+2%+1=30n

,即從第二項起,數(shù)列

{%}

是以1為首項，以3為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的求和公式即可得出

(2),可得

?n+l>廝

，即

{%}

單調(diào)遞增.

⑴當(dāng)

P

時，有

01>P

，于是

，可得,

(Ln=?fll

.利用反證法即可得出不存在.

的

當(dāng)

-1<J<1

時，有

-p<<P

.此時.于是當(dāng)

n>2

時，

“汕>P

.從而.假設(shè)存在

2ati=+a.

，同⑴可以知道：

r=1

.得出矛盾,因此不存在.

（聞

當(dāng)

巴<-1

*p

時，有

ai<-p<p,a\+p<0

.于是.即可得出結(jié)論.

6.已知兩個無窮數(shù)列

M

和

他｝

的前n項和分別為

Sn

Tn

fll=1

，對任意的

nW

，都有

3Sn,l=2S”+Sn+2+廝，

⑴求數(shù)列

{%}

的通項公式；

⑵若

體｝

為等差數(shù)列，對任意的

n€Nx

，都有

Sn>Tn

.證明：

%>%

⑶若

他｝

為等比數(shù)列，

加=。1

%=02

，求滿足

片普=a小€NX)

的n值.

解:⑴由

3Sn+l=2Sn+Sn+2+%

，得

2(Sn+l-￡)=Sn+2-Sn+1+斯

即

2%+i=弭葉2+%

，所以

%+2-an+l=4+1

由

=1

S2=4

，可以知道

02=3.

所以數(shù)列

{廝}

是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.

故

{%}

的通項公式為

斯=1+2(n—1)=2n-1

nWNx.

⑵證法一:設(shè)數(shù)列

偈｝

的公差為d,

則

1；=+-n(n-l)d

由⑴知，

Sn=1九(1+2〃-1)=n2.

因為

Sn>Tn

，所以

滔>nb\+-n(n-l)d

X(

即

(2—d)n+d-26i>0

恒成立，

所以

(2-d>0

，d—2瓦)0

，即

Id<2

12bi〈d

攵由

Si>Ti

，得

瓦<1

加以

o?i—6,t=2n—1—6i—(n-l)d=(2—d)n+rf-1-6|>2—rf+d—1-fri=l-fr|>0.

所以

%>%

，得證.

證法二:設(shè)

的公差為d,假設(shè)存在自然數(shù)

n侖2

，使得

WJ

Qi+2(n<)—1理瓦+(加-l)d

，即

01—瓦4(刖-D(d—2)

因為

5>bi

，所以

d>2.

所以

Tn-&="瓦+；n(n-l)d-n-=(^d-l)n2+?一:d)n

因為

—c/—1>0

，所以存在

N厭Nx

，當(dāng)

n>Nn0

時，

或-Sn>0

恒成立.

這與“對任意的

n€.Vx

，都有

Sn>Tn

“矛盾！

所以

4>%

，得證.

(3)由⑴知,

2

Sn=n

.因為

為等比數(shù)列，

且

61=1

%=3

所以

體｝

是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列.

所以

%=3nt

，=。陽-1），

則

%+27；,_2n-1+3n-1_3n+2n-2_6n2-2n+2

bn-2&=3r-l+2n2=3,*-I+2n2=，*3n-l-t2n2

由為

nWNx

，所以

6n2-2n+2>0

，所以

斯+24

廉+2&

而

=2fc-1

，所以

斯+27]1

-------=1

&+2&

，即

3n-1-n24-n-1=O（X）.

當(dāng)

n=1

,2時，

（x）

式成立;

當(dāng)

n>2

時,設(shè)

f(n)=3n-1-n24-n—1

’則

f(n+1)-/(n)=3n-(n+l)2+n-(3n-1-n2+n-l)=2(3n-,-n)>0

加以

0=/(2)</(3)<...</(n)<...

力滿足條件的n的值為1和2.

解析

(1)運用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項公式,即可得到所求;

⑵方法一、設(shè)數(shù)列

的公差為d,求出

Sn

,由恒成立思想可得

61<1

，求出

4一4

，判斷符號即可得證；

方法二、運用反證法證明，設(shè)

他｝

的公差為d,假設(shè)存在自然數(shù)

九侖2

，使得

，推理可得

(1>2

，作差

，推出大于0,即可得證；

⑶運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，求得

Sn

,化簡

bn+2S?

,推出小于3,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的單調(diào)性，即可得到所求值.

7.已知數(shù)列

{%}

他｝

都是單調(diào)遞增數(shù)列,若將這兩個數(shù)列的項按由小到大的順序排成一列（相同的項視為

一項），則得到一個新數(shù)列

&}?

⑴設(shè)數(shù)列

{%}

仙}

分別為等差、等比數(shù)列，若

=瓦=1

取=%

，求

優(yōu)。

⑵設(shè)

{%}

的首項為1,各項為正整數(shù),

bn=3n

,若新數(shù)列

是等差數(shù)列,求數(shù)列

仁｝

的前n項和

S”

⑶設(shè)

鼠=qn~\q

是不小于2的正整數(shù)），

C1=瓦

,是否存在等差數(shù)列

{%}

，使得對任意的

nQNx

，在

%

與

%+1

之間數(shù)列

{%}

的項數(shù)總是

%?

若存在，請給出一個滿足題意的等差數(shù)列

（

；若不存在，請說明理由.

解：（1）設(shè)等差數(shù)列

（

的公差為d,等比數(shù)列

體｝

的公比為q,

根據(jù)題意得,

1+d=q2

1+5d=/

，計算得出

c/=0

或3,因數(shù)列

M

他｝

單調(diào)遞增，

所以

d>0

京以

d=3

q=2

法以

3M

0n=—2

bn=2"".?,?

因為

%==1

取=%

廝=h

^7>02行

「小=a17=49....

(2)設(shè)等差數(shù)列

｛斯｝

的公差為d,又

，且

%=3n

琳以

C1=1

，所以

CJI=dn+1-d.

因為