PAGEPAGE1專題13兩招破解平面對(duì)量難題一．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)潔的平面幾何問題．2．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)潔的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題方法總結(jié)二．【平面對(duì)量解題方法規(guī)律】1.用向量解決平面幾何問題的步驟(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，探討幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2.應(yīng)用向量解決問題的關(guān)鍵是要構(gòu)造合適的向量，視察條件和結(jié)構(gòu)，選擇運(yùn)用向量的某些性質(zhì)解決相應(yīng)的問題，如用數(shù)量積解決垂直、夾角問題，用三角形法則、模長(zhǎng)公式解決平面幾何線段長(zhǎng)度問題，用向量共線解決三點(diǎn)共線問題等，總之，要應(yīng)用向量，假如題設(shè)條件中有向量，則可以聯(lián)想性質(zhì)干脆運(yùn)用，假如沒有向量，則更須要有向量工具的應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)化學(xué)問的聯(lián)系，擅長(zhǎng)構(gòu)造向量解決問題.3.幾點(diǎn)留意事項(xiàng)(1)在處理三點(diǎn)共線問題時(shí)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量共線解決，需說明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)，兩直線不能平行，只能重合.(2)在解決夾角問題時(shí)，應(yīng)留意向量的方向，向量的夾角與所求角可能相等，也可能互補(bǔ).(3)證明垂直問題一般要經(jīng)過向量的運(yùn)算得到數(shù)量積a·b＝0，盡量用坐標(biāo)運(yùn)算.三．【平面對(duì)量題型分析】（一）平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用例1．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，，則（）A．-2B．C．D．2【答案】A【解析】由，依據(jù)向量運(yùn)算的“三角形法則”可得，結(jié)合，求得的值，從而可得結(jié)果.【詳解】，，，故選A.【詳解】依題，由圖易知向量所成角為鈍角，所以，所以當(dāng)最小時(shí)，即為向量在向量方向上的投影最小，數(shù)形結(jié)合易知點(diǎn)P在點(diǎn)D時(shí),最?。ㄈ鐖D所示），在三角形ADE中，由等面積可知，所以，從而.所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，向量的線性運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.（二）向量中的最值問題例2．設(shè)是半徑為2的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】將兩個(gè)向量，都轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方向上，然后利用數(shù)量積的公式和三角函數(shù)的值域，求得題目所求數(shù)量積的取值范圍.練習(xí)1．已知是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，若向量滿意，則對(duì)于隨意的最小值為________.【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值此時(shí)，取得最小值練習(xí)2．在邊長(zhǎng)為1的正△ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0且x+y=1，則?的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，由此能求出當(dāng)時(shí)，的最大值為．練習(xí)1．在中，過中線的中點(diǎn)任作始終線分別交邊、于、兩點(diǎn),設(shè),則的最小值是．【答案】【解析】，∵共線，∴．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最小值為．【名師點(diǎn)睛】本題首先考查向量的線性運(yùn)算，實(shí)質(zhì)就是求出滿意的等量關(guān)系，題中唯一的關(guān)系就是三點(diǎn)共線，由此聯(lián)想平面對(duì)量的一個(gè)定理：是平面的一個(gè)基底，，則三點(diǎn)共線．這樣只要由平面對(duì)量的線性運(yùn)算把用表示出來就可得的等量關(guān)系．然后只要應(yīng)用“1”的代換結(jié)合基本不等式可求得最值．練習(xí)2．如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線分別交直線于點(diǎn)，若，，則的最小值是.【答案】考點(diǎn)：1、向量的概念及幾何表示；2、向量數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義；3、向量數(shù)量積的含義及幾何意義.方法點(diǎn)睛：由向量減法法則可知，代入已知條件得到，再把已知條件，代入得到，依據(jù)三點(diǎn)共線得，利用均值不等式得到，而，從而求得的最小值是.練習(xí)3．在四面體中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，且，，三點(diǎn)共線，則A．B．C．D．【答案】B（七）坐標(biāo)法解決向量問題例7．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，假如，那么的值是__________．【答案】9【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則,∴,∴.練習(xí)2．如圖，為△的外心，為鈍角，是邊的中點(diǎn)，的值（）A．4B.．6C．7D．5【答案】D練習(xí)3．是平面上的肯定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿意，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡肯定經(jīng)過的（）A．重心B．垂心C．外心D．內(nèi)心【答案】B【解析】解出，計(jì)算并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論．【詳解】λ（），∴，∴，即點(diǎn)P在BC邊的高上，即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心．故選：B．練習(xí)4．已知點(diǎn)O是銳角△ABC的外心，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，A=，且，則λ的值為（）A．B．﹣C．D．﹣【答案】D【解析】由題意畫出圖形，設(shè)的外接圓半徑為，依據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得：，，由向量的線性運(yùn)算和向量數(shù)量積的運(yùn)算，求出和，在已知的等式兩邊同時(shí)與進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，代入后由正弦定理化簡(jiǎn)，由兩角和的正弦公式和三角形內(nèi)角和定理求出λ的值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線性規(guī)劃求解最優(yōu)解及目標(biāo)函數(shù)的最大值，解題的關(guān)鍵是正確作出不等式組所表示的平面區(qū)域，并能推斷出取得最大值時(shí)的最優(yōu)解的位置．利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值。練習(xí)1．若曲線和上分別存在點(diǎn),使得是以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，AB交y軸于C,且則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】設(shè)A（x1，y1），y1＝f（x1），B（x2，y2），y2＝g（x2）＝﹣x23+x22（x＜0），又，則，x2＝﹣2x1，∴．，，由題意，，即0，∴，∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，∴，則．設(shè)h（x），則h′（x），令,則u′（x）==>0在e﹣1＜x＜e2﹣1恒成立，所以單增，所以>=>0，∴h′（x）＞0，即函數(shù)h（x）在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上為增函數(shù)，則，即4e-2＜a．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量加減法的運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算，綜合運(yùn)用了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．（十）向量的幾何意義例10．已知，是單位向量，?0．若向量滿意||＝1，則||的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通過建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和圓的方程及數(shù)形結(jié)合即可得出．【詳解】練習(xí)1．的斜邊等于4，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C練習(xí)2．已知在平面四邊形中，，，,，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．B．C．D．【答案】C【解析】以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，求出，，的坐標(biāo)，依據(jù)向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，過點(diǎn)作