8.6.3

平面與平面垂直（1）第八章立體幾何初步復(fù)習(xí)回顧

像研究直線與平面垂直一樣，我們首先應(yīng)給出平面與平面垂直的定義.那么,該如何定義呢?

先回顧一下直線與直線垂直、直線與平面垂直是怎樣定義的？方法：用角度刻畫(huà)①

平面中，直線所成角或②

空間中，異面直線所成角線線角復(fù)習(xí)回顧③

空間中，直線與平面所成角線面角斜線線面所成角（非鈍角∠PAO）射影斜足思考：平面與平面的所成角該如何定義呢？類(lèi)似地，我們要先引進(jìn)二面角的概念，用以刻畫(huà)兩個(gè)相交平面的位置關(guān)系，進(jìn)而研究?jī)蓚€(gè)平面互相垂直.

將一個(gè)平面沿平面上的一條直線折起得到的空間圖形就稱為二面角，請(qǐng)動(dòng)手嘗試畫(huà)出一個(gè)二面角的直觀圖.半平面半平面思考探究

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.③

棱記作l,這個(gè)二面角記作二面角α-l-β

或

二面角P-l-Q

.記法：①

棱為AB,面為α、β的二面角記作二面角α-AB-β

.②

也可在α、β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P、Q，

將這個(gè)二面角記作二面角P-AB-Q

.1、二面角棱面面二面角畫(huà)法舉例及表示：1、二面角AB二面角α-AB-β二面角A-BC-D二面角α-l-β

如右圖,在日常生活中,我們常說(shuō)“把門(mén)開(kāi)大一些”，是指哪個(gè)角大一些?

受此啟發(fā),你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫(huà)二面角的大小呢?怎樣才能找到這樣的一個(gè)角，它的大小唯一，且由二面角的大小決定？思考探究αβl類(lèi)比線面角的求解——空間問(wèn)題平面化

在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.2、二面角的平面角思考：在二面角的平面角的定義中O點(diǎn)是在棱上任取的，那么∠AOB的大小與點(diǎn)O在棱上的位置有關(guān)系嗎？無(wú)關(guān)，只與二面角的張角大小有關(guān).∠AOB=∠A'O'B'2、二面角的平面角等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.ABA'B'

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的大小α的取值范圍是0°≤α≤180°.2、二面角的平面角

教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角?分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù).

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面α與β垂直，記作α⊥β.注意：把直立平面的豎邊畫(huà)成與水平平面的橫邊垂直.3、平面與平面垂直的概念

如何檢測(cè)所砌的墻面和地面是否垂直？

如果系有鉛錘的細(xì)線緊貼墻面,工人師傅就認(rèn)為墻面垂直于地面,否則他就認(rèn)為墻面不垂直于地面.這種方法說(shuō)明了什么道理?思考探究如果墻面經(jīng)過(guò)地面的垂線，那么墻面與地面垂直.類(lèi)似結(jié)論也可以在長(zhǎng)方體中發(fā)現(xiàn).如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1經(jīng)過(guò)平面ABCD的一條垂線AA1，此時(shí)，平面ADD1A1垂直于平面ABCD.思考探究定理

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.a證明關(guān)鍵：找垂直于平面的線4.平面與平面垂直的判定定理圖形語(yǔ)言：

符號(hào)語(yǔ)言：

線面垂直面面垂直判定

證明：在平面β內(nèi)過(guò)B點(diǎn)作直線BE⊥CD，則∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，

設(shè)α∩β=CD，AB在α上，則B∈CD.∵AB⊥β，CD?β，∴AB⊥CD.∵AB⊥β，BE?β，∴AB⊥BE.

∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.4.平面與平面垂直的判定定理

例7

已知：如右圖，正方體ABCD-A'B'C'D'.

求證：平面A'BD⊥平面ACC'A'.證明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方體，∴AA'⊥平面ABCD.又BD

平面ABCD∴BD⊥AA'.

又BD⊥AC，AC∩AA'=A，AC、AA'

平面ACC'A'∴BD⊥平面ACC'A'，又BD

平面A'BD∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.例題分析

PABOC

∴∠BCA=90°，即BC⊥AC

例題分析又PA∩AC=A，PA

平面PAC，AC

平面PAC∴BC⊥平面PAC又BC

平面PBC∴平面PAC⊥平面PBC.

課堂練習(xí)

課堂練習(xí)2.已知直線a，b與平面α，β，γ，能使α⊥β的充分條件是().(A)α⊥γ，β⊥γ(B)α∩β=a，b⊥a，b?β(C)a//β，a//α(D)a//α，a⊥β課堂練習(xí)2.如圖，AB⊥平面BCD，BC⊥CD,(1)圖中有幾個(gè)直角三角形?(2)你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直?為什么?課堂練習(xí)鱉臑（biēnào）是古代數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念，最早出現(xiàn)在《九章算術(shù)·商功》中。它指的是一種特殊的幾何體，即四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐。在立體幾何研究中，鱉臑有著廣泛的應(yīng)用，并且在高考等數(shù)學(xué)考試中經(jīng)常出現(xiàn)。鱉臑的形狀類(lèi)似于一個(gè)三角錐體，其特點(diǎn)是四個(gè)面都是直角三角形。3.如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C′中，D為棱AC的中點(diǎn).求證：平面BDC′⊥平面ACC′A'.課堂練習(xí)

課堂練習(xí)

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

③

二面角α-l-β

或

二面角P-l-Q

.記法：①

二面角α-AB-β

.②

二面角P-AB-Q

.1、二面角棱面面課堂小結(jié)OCDθ2、二面角的平面角0°≤θ≤180°平面α與β所成的二面角是直二面角，記作α⊥β.3、平面與平面垂直定理

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.a證明關(guān)鍵：找垂直于平面的線4.平面與平面垂直的判定定理圖形語(yǔ)言：

符號(hào)語(yǔ)言：

線面垂直面面垂直判定課堂小結(jié)1.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，