高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市四大名校2025屆高三下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，由，解得，則，所以，故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.射線上 B.射線上C.直線上 D.直線上【答案】A【解析】對(duì)于復(fù)數(shù)，，其共軛復(fù)數(shù)..因，由，可得.因?yàn)榈仁接疫?，所以，?對(duì)兩邊同時(shí)平方得，即.兩邊同時(shí)開平方得，又因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在射線上.故選：A.3.已知向量，向量與向量的夾角為，則的最小值為（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】設(shè)，又，所以，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，所以當(dāng)時(shí)，，故選：B.4.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，其中，所以，所以，故選：D.5.數(shù)列中，，若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意得，，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)或8時(shí)，取得最大值為，故選：A.6.已知函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】，由已知函數(shù)的最小正周期為，則，所以，其中，且，又由為奇函數(shù)知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則有，解得，所以，所以，即.畫出與圖象如圖所示：由圖可知，曲線與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故選：B.7.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】由得，.令，則原問題等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?，所以為偶函?shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得.當(dāng)時(shí)，則.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意，故選：D.8.在四面體中，，且與所成的角為.若該四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為（）A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】依題意，可將四面體補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱.因?yàn)榕c所成的角為，所以或.設(shè)，外接球半徑記為，外接球的球心如圖點(diǎn).易知平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，于是，所以.中，，在中，由余弦定理得，顯然當(dāng)時(shí)，外接球的半徑會(huì)更小，此時(shí)，所以，所以，故它的外接球半徑的最小值為2.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測(cè)某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：，則（）A.極差是4 B.眾數(shù)等于平均數(shù)C.方差是2 D.第25百分位數(shù)為12【答案】ABD【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為：.對(duì)于選項(xiàng)A，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，眾數(shù)為13，平均數(shù)為，所以眾數(shù)與平均數(shù)相等，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，方差為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由，則第25百分位數(shù)為12，故D正確，故選：ABD.10.設(shè)點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線為，則（）A.，函數(shù)為奇函數(shù)B.，函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，直線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為8D.當(dāng)時(shí)，直線與直線和所圍成的圖形面積為8【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋蔄正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)無(wú)極小值和極大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則切線為方程為，它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為和，它們圍成的圖形面積，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則切線為的方程為，它與直線的交點(diǎn)為，它與直線的交點(diǎn)為，它們圍成的圖形面積.，故D正確，故選：ACD.11.某學(xué)習(xí)小組用曲線：和拋物線部分曲線圍成了一個(gè)封閉的“心形線”，過焦點(diǎn)的直線交（包含邊界點(diǎn)）于兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是或上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）A. B.C. D.的最大值為【答案】ACD【解析】可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的右半部分，可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的右半部分.對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線過點(diǎn)，解得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)弦，所以當(dāng)為通徑時(shí)，；如圖：直線的方程為，由對(duì)稱性可設(shè)，可得，代入拋物線并整理得，可得所以即直線的方程為，，此時(shí)弦最長(zhǎng)，且，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，，所以，顯然離最遠(yuǎn)的點(diǎn)在上，且.（：到距離，：到距離）聯(lián)立，整理得，則，則，所以，設(shè)，由在上單調(diào)遞增，易得在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，故D正確，故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，則__________.【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)公式為,由，故的系數(shù)為而，得，解得.故答案為：13.已知雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)．若，則的離心率為______.【答案】【解析】雙曲線：的右頂點(diǎn)為，一條漸近線，即，∵圓的半徑為，且，∴，∴到漸近線的距離為，又到漸近線的距離，∴，則，則的離心率為．故答案為：．14.已知，且，則的最大值是__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，?又，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以的最大值是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）由，及正弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，故，故得，又為三角形內(nèi)角，或.（2）由得，又，所以.由（1）得，故，而為三角形內(nèi)角，.由正弦定理，得，故的面積.16.甲、乙兩人進(jìn)行知識(shí)問答比賽，共進(jìn)行多輪搶答賽，每輪比賽中有3道搶答題，每道題均有人搶答，其計(jì)分規(guī)則為：初始甲、乙雙方均為0分，答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)一題得分，未搶到題得0分，最后累計(jì)總分多的人獲勝.假設(shè)甲、乙搶到每題的成功率相同，且兩人每題答題正確的概率分別為和.求：（1）甲在每輪比賽中獲勝的概率；（2）甲前二輪累計(jì)得分恰為4分的概率.解：（1）設(shè)甲在一輪比賽中獲勝為事件，甲在一輪比賽中共搶到道題為事件，則，又，所以.（2）設(shè)甲前二輪累計(jì)得分恰為4分的事件為，甲在一輪比賽中得分的事件為，則，，所以.17.如圖，在多面體中，的中點(diǎn)為.（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.（1）證明：連接，由為中點(diǎn)，得，由，得，而平面，則平面，同理平面，又平面與平面有公共直線，所以四點(diǎn)共面.（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，設(shè)，由，得，則，，直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，依題意，，即，平方化簡(jiǎn)整理得，而則，即，又，則，，所以所求二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)和的圖象在處有相同的切線.（1）求實(shí)數(shù)和的值；（2）求函數(shù)的極值；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值集合.解：（1），據(jù)題意有：，聯(lián)立解得.（2）由（1）知，，所以函數(shù)且，所以，因此函數(shù)在和單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增，其大致圖象如圖，故函數(shù)只有唯一的極大值，無(wú)極小值.（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于不等式恒成立，顯然有，令，則恒成立，而，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，記，則拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以，再令，則恒成立，而，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，記，則拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，不符合題意，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值集合為.19.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，且離心率為.（1）設(shè)在點(diǎn)處的切線，其斜率為的斜率為，求的值；（2）過在第一象限的點(diǎn)作橢圓的切線，分別與軸，軸交于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，記以點(diǎn)為中心，軸，軸為對(duì)稱軸，且過點(diǎn)的橢圓為，依此類推，，，過橢圓在第一象限的點(diǎn)作橢圓的切線，分別與軸，軸交于點(diǎn)，，且為線段的中點(diǎn)，記以點(diǎn)為中心，軸，軸為對(duì)稱軸，且過點(diǎn)，的橢圓為，由此得到一系列橢圓.（i）求的方程；（ii）過點(diǎn)作直線與橢圓分別交于，求證：.（附：若為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)處的切線方程為：）解：（1）依得，，又由得，，解得，故橢圓方程為.又橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，則.又，因此.（2）（i）設(shè)，則，代入的楠圓方程得：.又直線的斜率，而.則由（1）可知，可知.因此，即，可得，又，因此.同理可知：，即.故.（ii）①若直線的斜率不為0時(shí)，則設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立可知，，可得，即.因此.從而..②若直線的斜率為0，則，故.湖南省長(zhǎng)沙市四大名校2025屆高三下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，解得，則，所以，故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.射線上 B.射線上C.直線上 D.直線上【答案】A【解析】對(duì)于復(fù)數(shù)，，其共軛復(fù)數(shù)..因，由，可得.因?yàn)榈仁接疫?，所以，?對(duì)兩邊同時(shí)平方得，即.兩邊同時(shí)開平方得，又因?yàn)椋詮?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在射線上.故選：A.3.已知向量，向量與向量的夾角為，則的最小值為（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】設(shè)，又，所以，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，所以當(dāng)時(shí)，，故選：B.4.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，其中，所以，所以，故選：D.5.數(shù)列中，，若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意得，，所以，所以，因?yàn)椋援?dāng)或8時(shí)，取得最大值為，故選：A.6.已知函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】，由已知函數(shù)的最小正周期為，則，所以，其中，且，又由為奇函數(shù)知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則有，解得，所以，所以，即.畫出與圖象如圖所示：由圖可知，曲線與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故選：B.7.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)根，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】由得，.令，則原問題等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?，所以為偶函?shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得.當(dāng)時(shí)，則.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意，故選：D.8.在四面體中，，且與所成的角為.若該四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為（）A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】依題意，可將四面體補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱.因?yàn)榕c所成的角為，所以或.設(shè)，外接球半徑記為，外接球的球心如圖點(diǎn).易知平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，于是，所以.中，，在中，由余弦定理得，顯然當(dāng)時(shí)，外接球的半徑會(huì)更小，此時(shí)，所以，所以，故它的外接球半徑的最小值為2.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測(cè)某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：，則（）A.極差是4 B.眾數(shù)等于平均數(shù)C.方差是2 D.第25百分位數(shù)為12【答案】ABD【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為：.對(duì)于選項(xiàng)A，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，眾數(shù)為13，平均數(shù)為，所以眾數(shù)與平均數(shù)相等，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，方差為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由，則第25百分位數(shù)為12，故D正確，故選：ABD.10.設(shè)點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線為，則（）A.，函數(shù)為奇函數(shù)B.，函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，直線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為8D.當(dāng)時(shí)，直線與直線和所圍成的圖形面積為8【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋蔄正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)無(wú)極小值和極大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則切線為方程為，它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為和，它們圍成的圖形面積，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則切線為的方程為，它與直線的交點(diǎn)為，它與直線的交點(diǎn)為，它們圍成的圖形面積.，故D正確，故選：ACD.11.某學(xué)習(xí)小組用曲線：和拋物線部分曲線圍成了一個(gè)封閉的“心形線”，過焦點(diǎn)的直線交（包含邊界點(diǎn)）于兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是或上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）A. B.C. D.的最大值為【答案】ACD【解析】可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的右半部分，可變形為，表示以為圓心，2為半徑的圓的右半部分.對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線過點(diǎn)，解得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)弦，所以當(dāng)為通徑時(shí)，；如圖：直線的方程為，由對(duì)稱性可設(shè)，可得，代入拋物線并整理得，可得所以即直線的方程為，，此時(shí)弦最長(zhǎng)，且，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，，所以，顯然離最遠(yuǎn)的點(diǎn)在上，且.（：到距離，：到距離）聯(lián)立，整理得，則，則，所以，設(shè)，由在上單調(diào)遞增，易得在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，故D正確，故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，則__________.【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)公式為,由，故的系數(shù)為而，得，解得.故答案為：13.已知雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)．若，則的離心率為______.【答案】【解析】雙曲線：的右頂點(diǎn)為，一條漸近線，即，∵圓的半徑為，且，∴，∴到漸近線的距離為，又到漸近線的距離，∴，則，則的離心率為．故答案為：．14.已知，且，則的最大值是__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，?又，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以的最大值是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）由，及正弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，故，故得，又為三角形內(nèi)角，或.（2）由得，又，所以.由（1）得，故，而為三角形內(nèi)角，.由正弦定理，得，故的面積.16.甲、乙兩人進(jìn)行知識(shí)問答比賽，共進(jìn)行多輪搶答賽，每輪比賽中有3道搶答題，每道題均有人搶答，其計(jì)分規(guī)則為：初始甲、乙雙方均為0分，答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)一題得分，未搶到題得0分，最后累計(jì)總分多的人獲勝.假設(shè)甲、乙搶到每題的成功率相同，且兩人每題答題正確的概率分別為和.求：（1）甲在每輪比賽中獲勝的概率；（2）甲前二輪累計(jì)得分恰為4分的概率.解：（1）設(shè)甲在一輪比賽中獲勝為事件，甲在一輪比賽中共搶到道題為事件，則，又，所以.（2）設(shè)甲前二輪累計(jì)得分恰為4分的事件為，甲在一輪比賽中得分的事件為，則，，所以.17.如圖，在多面體中，的中點(diǎn)為.（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.（1）證明：連接，由為中點(diǎn)，得，由，得，而平面，則平面，同理平面，又平面與平面有公共直線，所以四點(diǎn)共面.（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，設(shè)，由，得，則，，直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，依題意，，即，平方化簡(jiǎn)整理得，而則，即，又，則，，所以所求二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)和的圖象在處有相同的切線.（1）求實(shí)數(shù)和的