休對故人思故國，且將新火試新茶。詩酒趁年華。休對故人思故國，且將新火試新茶。詩酒趁年華?！彼巍ぬK軾《望江南·超然臺作》2024年小升初數(shù)學典型例題系列專題03：數(shù)的認識·因數(shù)和倍數(shù)【十三大考點】【第一篇】專題解讀篇本專題是專題03：數(shù)的認識·因數(shù)和倍數(shù)。本部分內容包括因數(shù)與倍數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、質數(shù)與合數(shù)、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的認識及綜合應用，內容較多，綜合性較強，建議作為小升初復習基礎內容進行講解，一共劃分為十三個考點，歡迎使用?！镜诙磕夸泴Ш狡猅OC\o"1-1"\h\u【考點一】因數(shù)與倍數(shù) 4【典型例題1】因數(shù)與倍數(shù)的認識 4【典型例題2】求因數(shù)與倍數(shù) 4【典型例題3】因數(shù)與倍數(shù)的特征 4【考點二】2、5、3的倍數(shù)特征 5【考點三】奇數(shù)與偶數(shù) 6【考點四】奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質 6【典型例題1】運算性質 7【典型例題2】實際應用 7【考點五】質數(shù)與合數(shù) 8【典型例題1】質數(shù)與合數(shù)的認識 9【典型例題2】質數(shù)與合數(shù)的分解組合 9【典型例題3】質數(shù)與合數(shù)的綜合應用 9【考點六】連續(xù)偶數(shù)或奇數(shù)的和 9【考點七】因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質數(shù)、合數(shù)綜合與猜數(shù)問題 10【考點八】分解質因數(shù) 11【典型例題1】分解質因數(shù) 12【典型例題2】因數(shù)的個數(shù) 12【考點九】公因數(shù)與最大公因數(shù) 12【考點十】公倍數(shù)與最小公倍數(shù) 13【考點十一】三種特殊情況求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù) 14【典型例題1】情況一 15【典型例題2】情況二 15【典型例題3】情況三 15【考點十二】最大公因數(shù)與兩種生活實際問題 16【典型例題1】分線段問題 16【典型例題2】分長方形問題 17【考點十三】最小公倍數(shù)與三種生活實際問題 18【典型例題1】日期或時段問題 18【典型例題2】同余數(shù)問題 19【典型例題3】同差問題 20【第三篇】知識總覽篇【第四篇】典型例題篇【考點一】因數(shù)與倍數(shù)?！痉椒c撥】1.因數(shù)與倍數(shù)的定義。在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)。

例如：a×b=c(a、b、c都是不為0的整數(shù))，那么a是c的因數(shù)，b也是c的因數(shù)；c是a的倍數(shù)，c也是b的倍數(shù)。2.因數(shù)與倍數(shù)的特征。（1）一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。（2）一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。注意：一個非零自然數(shù)的最大因數(shù)與最小倍數(shù)是相等的且都等于它本身。3.求一個數(shù)的因數(shù)的方法：列乘法或除法算式。4.求一個數(shù)的倍數(shù)的方法：用這個數(shù)依次乘非0自然數(shù)?！镜湫屠}1】因數(shù)與倍數(shù)的認識。，那么28是4和7的()，4和7是28的()?！镜湫屠}2】求因數(shù)與倍數(shù)。寫出12的所有因數(shù)和50以內的所有倍數(shù)：因數(shù)：()

倍數(shù)：()【典型例題3】因數(shù)與倍數(shù)的特征。一個數(shù)是24的因數(shù)，又是8的倍數(shù)，這個數(shù)最小是()，最大是()?！緦毩?】因為15÷5＝3，所以，5是15的()，15是5的()?！緦毩?】一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是32，這個數(shù)是()?！緦毩?】實踐樂園。猜號碼。ABCDEFG。已知：A－5的最小倍數(shù)；B－最小的自然數(shù)；C－5的最大因數(shù)；D－既是4的倍數(shù)，又是4的因數(shù)；E－所有因數(shù)是1、2、3、6；F－所有因數(shù)是1，3；G－只有一個因數(shù)。這個號碼是()?！究键c二】2、5、3的倍數(shù)特征?！痉椒c撥】1.個位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)。

2.個位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。3.3的倍數(shù)的特征：一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。4.2、5、3倍數(shù)特征之間的聯(lián)系：【典型例題】1．127至少增加()才是3的倍數(shù)，至少減少()才是5的倍數(shù)，最少增加()才是2的倍數(shù)。2．如果三位數(shù)67□既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，□可以填()；如果它既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，□最大可以填()。3．用0、2、6、1中的三個數(shù)字組成三位數(shù)，組成的最小的偶數(shù)是()，組成的最大的3的倍數(shù)是()，組成2、3、5最小的倍數(shù)是()?！緦毩?】413至少加上()后是3的倍數(shù)，至少加上()后是5的倍數(shù)，至少加上()后同時是2、3、5的倍數(shù)?！緦毩?】一個三位數(shù)43□，如果既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，□里應填()；如果既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)，□里最大填()?！緦毩?】寫出由2、5、8組成的能被3整除的最小三位數(shù)()，能被5整除的最小三位數(shù)()，能被2和3同時整除的最大三位數(shù)()?！究键c三】奇數(shù)與偶數(shù)?！痉椒c撥】1.偶數(shù)：能被2整除的數(shù)就叫偶數(shù)（俗稱雙數(shù)），習慣用2n表示。2.奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)就叫奇數(shù)（俗稱單數(shù)），習慣用2n-1表示。3.整數(shù)：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整數(shù)。4.自然數(shù)：像0、1、2、3、4、……都是自然數(shù)?！镜湫屠}】1～20中，最大的奇數(shù)是()，最小的偶數(shù)是()?！緦毩?】在100以內13的倍數(shù)中，奇數(shù)有()，偶數(shù)有()?！緦毩?】100以內最大的奇數(shù)是()；1～100中所有奇數(shù)的和是()（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）?！緦毩?】自然數(shù)里最小的奇數(shù)是()，最小的偶數(shù)是()?！究键c四】奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質。【方法點撥】奇數(shù)與偶數(shù)的基本性質：

【典型例題1】運算性質。若m是一個奇數(shù)，n是一個偶數(shù)，那么4m＋3n一定是()數(shù)。（填“奇”或“偶”）【對應練習1】任何一個偶數(shù)加1后都是()，任何一個奇數(shù)減1后都是()。（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）【對應練習2】48名學生要分成甲、乙兩組，如果甲組人數(shù)為奇數(shù)，則乙組人數(shù)為()數(shù)。（填“奇”或“偶”）【對應練習3】1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001的和是()（填奇數(shù)或偶數(shù)）?！镜湫屠}2】實際應用。五年級43名同學，分成兩個隊參加勞動，每個隊都是偶數(shù)名同學，能正好分完嗎？為什么？【對應練習1】一只小狗在甲乙兩棵樹之間來回跑動。小狗從甲樹跑到乙樹，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵樹？第90次呢？【對應練習2】長江兩岸的船工以擺渡為生，每天都從南岸出發(fā)駛向北岸，再從北岸駛回南岸，不斷往返。記船由南岸駛向北岸為1次。（1）擺渡第10次結束時，船在南岸還是北岸？為什么？（2）擺渡第103次結束時，船在南岸還是北岸？為什么？【對應練習3】一艘小船每天從河的南岸擺渡到北岸，再從北岸擺渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。（1）擺渡15次后，小船在南岸還是北岸？請說明理由。（2）淘氣說擺渡2016次后，小船在北岸。他的說法對嗎？為什么？【考點五】質數(shù)與合數(shù)?！痉椒c撥】質數(shù)與合數(shù)是根據(jù)一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)定義的：1.質數(shù)。一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做質數(shù)（或素數(shù)）。例如：20以內的質數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19。注意：①質數(shù)只要兩個因數(shù)，一個質數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身。②最小的質數(shù)是2，沒有最大的質數(shù)。

2.合數(shù)。一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。例如：20以內的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。注意：①合數(shù)質數(shù)至少有三個因數(shù)，一個合數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身。②最小的合數(shù)是4，沒有最大的合數(shù)。3.注意：0、1既不是質數(shù)，也不是合數(shù)?！镜湫屠}1】質數(shù)與合數(shù)的認識。在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87這些數(shù)中，合數(shù)有()，質數(shù)有()，奇數(shù)有()，偶數(shù)有()?！镜湫屠}2】質數(shù)與合數(shù)的分解組合。在括號里填上適當?shù)馁|數(shù)。15＝()×()

20＝()＋()＋()【典型例題3】質數(shù)與合數(shù)的綜合應用。一個四位數(shù)，最高位是3的倍數(shù)，百位上是最小的質數(shù)，十位是所有整數(shù)共同的因數(shù)，個位是偶數(shù)，這個數(shù)最大是()?！緦毩?】在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇數(shù)有()，偶數(shù)有()，質數(shù)有()，合數(shù)有()?！緦毩?】在括號里填上合適的質數(shù)。26＝()＋()＝()＋()＝()＋()【對應練習3】一個三位數(shù)，百位上的數(shù)既是質數(shù)又是偶數(shù)，十位上的數(shù)是最小的合數(shù)，個位上的數(shù)是最大的一位數(shù)，這個數(shù)是()?！究键c六】連續(xù)偶數(shù)或奇數(shù)的和。【方法點撥】該類題型關鍵在于熟悉偶數(shù)和奇數(shù)的特征，即相鄰兩個偶數(shù)或奇數(shù)相差2，首先求出這幾個數(shù)的平均數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)分別求出其他的數(shù)?！镜湫屠}】三個連續(xù)奇數(shù)的和是225，這三個奇數(shù)分別是多少？【對應練習1】五個連續(xù)的奇數(shù)的和是75，這五個奇數(shù)分別是多少？【對應練習2】如果三個連續(xù)自然數(shù)的和是150，這三個自然數(shù)分別是多少？如果三個連續(xù)奇數(shù)的和是93，這三個連續(xù)奇數(shù)各是多少？【對應練習3】小梅、小蘭、小菊3人的年齡和是39歲，并且她們的年齡是相鄰的奇數(shù)，已知小梅最小，小菊最大，請問小菊多少歲？【考點七】因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質數(shù)、合數(shù)綜合與猜數(shù)問題?！痉椒c撥】猜數(shù)問題綜合性較強，需要熟悉因數(shù)、倍數(shù)、質數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等的定義及一些特殊數(shù)?！镜湫屠}】小明家無線網(wǎng)絡的密碼是一個六位數(shù)。從左數(shù)第一位既是偶數(shù)又是質數(shù)。第二位數(shù)既是4的倍數(shù)又是4的因數(shù)，第三位數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，第四位數(shù)不是0，且既不是質數(shù)也不是合數(shù)，第五位數(shù)是8的最小因數(shù)，最后一位數(shù)是最大的一位數(shù)。小明家無線網(wǎng)絡的密碼是多少？【對應練習1】東東家電話號碼前三位是521，第四位是最小的質數(shù)，第五位是最小的偶數(shù)，第六位是最小的奇數(shù)，末尾數(shù)字既是合數(shù)又是奇數(shù)，東東家電話號碼是多少？【對應練習2】“天宮二號”空間實驗室發(fā)射的年份是一個四位數(shù)，千位上的數(shù)字是最小的質數(shù)，百位上的數(shù)字是最小的偶數(shù)，十位上的數(shù)字比最小的質數(shù)小1，個位上的數(shù)字比最小的合數(shù)大2?！疤鞂m二號”是哪一年發(fā)射的？【對應練習3】洪老師家的電話號碼從左往右的數(shù)字依次是：①既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)；②既不是質數(shù)，也不是合數(shù)；③既是質數(shù)，又是偶數(shù)；④10以內最大的質數(shù)；⑤最小的合數(shù)；⑥最小奇數(shù)的5倍；⑦有因數(shù)3的偶數(shù)。聰明的同學，你知道洪老師家的電話號碼是多少嗎？【考點八】分解質因數(shù)?！痉椒c撥】1.分解質因數(shù)。指的就是把一個合數(shù)用幾個質數(shù)乘積的形式表示出來。例：15=3×5，24=2×2×2×3，這就是分解質因數(shù)。2.注意。①分解質因數(shù)是解決數(shù)論最有效最直接的途徑；②100以內的質數(shù)2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25個?！镜湫屠}1】分解質因數(shù)。把下列各數(shù)分解質因數(shù)。111

375【典型例題2】因數(shù)的個數(shù)。已知A＝2×2×3×3，那么A的因數(shù)一共有()個。A．4 B．6 C．8 D．9【對應練習1】一個三位數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，而且又有因數(shù)5，這個這個三位數(shù)最大是()，把它分解質因數(shù)是()?！緦毩?】已知A=3×7×10，則A一共有()個因數(shù)。A．6 B．12 C．16 D．20【對應練習3】把111111分解質因數(shù)是()?！究键c九】公因數(shù)與最大公因數(shù)。【方法點撥】1.最大公因數(shù)。幾個數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)2.求兩個數(shù)的最大公因數(shù)。（1）列舉法；（2）短除法3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個數(shù)的最大公因數(shù)用小括號表示?！镜湫屠}】求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。36和48

11和13

21，42和70【對應練習1】找出下列每組數(shù)的最大公因數(shù)。5和36

24和72

14、26和32【對應練習2】寫出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。15和25

7和15

22和33

35和28【對應練習3】寫出每組數(shù)的最大公因數(shù)。12和18

72和48

78和117

23和32【考點十】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)?！痉椒c撥】1.最小公倍數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做它們的公倍數(shù)，其中最小的一個叫做它們的最小公倍數(shù)。2.求最小公倍數(shù)。（1）列舉法；（2）短除法。3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個數(shù)的最小公因數(shù)用中括號表示?！镜湫屠}】求下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)。27和72

36和60

76和80【對應練習1】求下面各組數(shù)的最小公倍數(shù)。10和60

8和14

11和34【對應練習2】求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。18和24

15和25

11和19【對應練習3】求下面各組數(shù)的最小公倍數(shù)。3和12

4和13

7和49

24和15【考點十一】三種特殊情況求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。【方法點撥】1.質因數(shù)求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。求兩數(shù)的最小公倍數(shù)是共有質因數(shù)與獨有質因數(shù)的連乘積，最大公因數(shù)也就是這幾個數(shù)的公有質因數(shù)的連乘積。2.互質數(shù)求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。（1）公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質數(shù)。（2）當兩個數(shù)是互質關系時，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。3.倍數(shù)關系求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。當兩個數(shù)是倍數(shù)關系時，它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。【典型例題1】情況一。1.如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。2.把自然數(shù)A和B分解質因數(shù)得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因數(shù)是35，則A和B的最小公倍數(shù)是()?！緦毩?】M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。【對應練習2】已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然數(shù)且m不等于0），如果a與b的最大公因數(shù)是14，則m是()，a和b的最小公倍數(shù)是()。【對應練習3】如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因數(shù)是8，那么m＝()，A和B的最小公倍數(shù)是()?！镜湫屠}2】情況二。b和t是互質數(shù)，它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！緦毩?】兩個連續(xù)的自然數(shù)（均不為0），它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！緦毩?】如果a，b的公因數(shù)只有1，那它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！緦毩?】如果a－1＝b（a、b分別為非零的自然數(shù)），那么a、b的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！镜湫屠}3】情況三。如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然數(shù)，那么a和b的最大公因數(shù)是()；最小公倍數(shù)是()?！緦毩?】如果a＝2b（a、b均為大于9的整數(shù)），則a、b的最小公倍數(shù)是()，最大公因數(shù)是()?！緦毩?】如果自然數(shù)C是B的5倍，則B與C的最小公倍數(shù)是()，最大公因數(shù)是()?！緦毩?】如果A＝7B，那么A和B的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！究键c十二】最大公因數(shù)與兩種生活實際問題?！痉椒c撥】1.分線段問題。（1）分析每小段的長度和每條線段長度的關系；（2）短除法求最大公因數(shù)。注意：要看清題目問的是每個小段的長度還是求一共可以分成多少個小段。2.分長方形問題。（1）分析每個小正方形的邊長和大長方形的長、寬之間的關系；（2）短除法求最大公因數(shù)。注意：要看清題目問的是小正方形的邊長還是求一共可以分成多少個小正方形【典型例題1】分線段問題。用下面的兩種彩帶包裝禮品盒?，F(xiàn)在要把它們剪成同樣長的小段且沒有剩余，每段最長是多少分米？一共能剪成幾段？【典型例題2】分長方形問題。選修課上，老師要求同學們將一張長28厘米，寬12厘米的長方形彩紙。在無剩余的前提下，裁成大小相等且盡可能大的正方形，正方形的邊長是多少？一共可以裁成多少張？【對應練習1】有兩根彩帶，一根長45厘米，另一根長60厘米?，F(xiàn)在要把它們剪成長度一樣的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米？一共可以剪成幾根？【對應練習2】把一塊長48厘米，寬36厘米的長方形硬紙裁成同樣大小，面積盡可能大的正方形，紙板沒有剩余。至少可以裁成多少個正方形？每個正方形的邊長是多少厘米？【對應練習3】李伯伯家挖了一個長15分米，寬10分米，深8分米的長方體水池。（1）現(xiàn)在要用邊長是整分米數(shù)的藍色正方形地磚把這個水池的底面鋪滿（使用的地磚必須都是整塊），藍色地磚的邊長最大是幾分米？一共需要多少塊這樣的藍色地磚？（2）如果把水池內壁的四周貼上白色瓷磚，每平方米需要10塊同樣大小的白色瓷磚，那么這個水池一共需要多少塊這樣的白色瓷磚？（藍色地磚的厚度忽略不計）【考點十三】最小公倍數(shù)與三種生活實際問題?！痉椒c撥】1.日期或時段問題。日期問題也是典型的公倍數(shù)問題，注意分析有沒有到下個月，以及每個月最后一天是幾號。2.同余數(shù)問題。余數(shù)相同時，減去余數(shù)得到整除，遇到有剩余且剩余的數(shù)量一樣多時，先求最小公倍數(shù)，再把剩余的加上3.同差問題。差相同時，加上差得到整除?！镜湫屠}