公安三中2024級高一下學(xué)期5月考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知點則與同方向的單位向量為（）A． B． C． D．3．在中，角，，的對邊分別是，，，已知，，，則（

）A．B．C．或 D．或4．若，且，則和的夾角是（

）A．B．C． D．5．已知向量，向量在方向上的投影向量為，則=（

）A． B． C． D．6．在中，，則最大角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．在中，角、、的對邊分別為、、，且的面積，，則（

）A． B． C． D．8．在中，，，是外接圓的圓心，在線段上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分。）9．已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱C．將的圖象向左平移個單位長度，可得到的圖象D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增10．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，為純虛數(shù)B．滿足的點的集合是以原點為圓心，以2為半徑的圓C．的虛部為D．若且復(fù)數(shù)是方程的一個根，則方程的另一個復(fù)數(shù)根為11．已知點是三角形的邊上的點，且，以下結(jié)論正確的有（）A．若點是的中點，，則B．若平分，則C．三角形外接圓面積最大值為D．若，則內(nèi)切圓半徑為2三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。）12．如圖，在中，是的中點，若，則實數(shù)的值是.13．已知，，則．14．在中，角所對的邊分別為，若，且，則的面積.四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（13分）（1）已知，若與平行，求；（2）已知與的夾角為，若與垂直，求實數(shù)的值．16．（15分）在中，角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若，，為的中點，求．17．（15分）在中，對應(yīng)的邊分別為，已知向量,且為邊上一點，,且.(1)求；(2)求面積的最大值.18．（17分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，的面積等于．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的對稱軸和對稱中心；(3)將圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若對于任意的，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的最大值．19．（17分）在中，，，對應(yīng)的邊分別為，，，(1)求；(2)若為線段內(nèi)一點，且，求線段的長；(3)法國著名科學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣；很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如對于任意的，都有被稱為柯西不等式；在（1）的條件下，若，求：的最小值；《公安三中2024級高一下學(xué)期5月考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號12345678910答案DACBCADBABCBD題號11答案AB1．D【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，然后求出其共軛復(fù)數(shù)，從而可求出的虛部.【詳解】因為，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D2．A【詳解】試題分析：,所以與同方向的單位向量為，故選A.考點：向量運算及相關(guān)概念.3．C【分析】根據(jù)正弦定理可求得答案.【詳解】解：由正弦定理，得.∵，∴，∴或.故選：C.4．B【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得正確答案.【詳解】設(shè)的夾角為，由于，所以，所以，由于，所以.故選：B5．C【分析】利用向量在方向上的投影向量為，代入數(shù)據(jù)計算可得.【詳解】由題意：.故選：C6．A【分析】由正弦定理與余弦定理求解即可.【詳解】由題意可知，所以，所以最大，設(shè)，由余弦定理得：，故選：A7．D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，以及三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：的面積，，，則，，，，，，，，．故選：D．8．B【分析】設(shè)的中點分別為，連接，根據(jù)外心的性質(zhì)可得，，結(jié)合三點共線設(shè)，進(jìn)而運算求解即可.【詳解】設(shè)的中點分別為，連接，則，可得，同理可得，因為在線段上，設(shè)，則，所以的取值范圍是.故選：B.9．ABC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可判斷B；根據(jù)左右平移的原則即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對于A，的周期，所以A正確；對于B，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；對于C，將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，故C正確；對于D中，因為，所以，所以在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：ABC.10．BD【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的運算，即可求解.【詳解】對于A，當(dāng)時，則不為純虛數(shù)，故A錯誤；對于B，即到原點距離為2的點構(gòu)成，故點的集合是以原點為圓心，以2為半徑的圓，故B正確；對于C，的虛部為，故C錯誤；對于D，，且復(fù)數(shù)是方程的一個根，則方程的另一個復(fù)數(shù)根是其中一個根的共軛復(fù)數(shù)，為，故D正確.故選：BD.11．AB【分析】將平方求解即可判斷A；由角平分線定理可判斷B；利用正弦定理表示出半徑，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；注意到內(nèi)切圓直徑必小于邊上的高，結(jié)合A即可判斷D.【詳解】對于A，因為點是的中點，所以，因為，所以，所以，故，故A正確；對于B，由角平分線定理可知，故B正確；對于C，根據(jù)正弦定理可得三角形外接圓半徑，即，因為，所以，所以三角形外接圓面積最小值為，故C錯誤；對于D，由上知，則邊上的中線長為，則邊上的高小于，所以內(nèi)切圓直徑小于，即半徑小于，因為，故D錯誤.故選：AB12．/【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件將用表示即可求出的值【詳解】因為，所以為的中點，因為是的中點，所以，所以,因為，所以，故答案為：13．【分析】根據(jù)題意，由的范圍可得的范圍，從而可得的值，再由，結(jié)合余弦的差角公式代入計算即得.【詳解】因為，則，則，又，所以，則，所以.故答案為：14．【分析】應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角的性質(zhì)得，根據(jù)已知有，再應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式求結(jié)果.【詳解】由及正弦定理得，因為，所以，所以，故，又因為，所以，由，得，由余弦定理得，所以的面積.故答案為：15．（1）；（2）．【分析】（1）先求出，，再由平行向量的坐標(biāo)表示求出，再由模長公式求解即可；（2）由數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運算律結(jié)合與垂直即可得出答案.【詳解】（1）因為，且與平行，所以，解得，所以，所以．（2）已知與的夾角為，所以，因為與垂直，所以所以．16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理或正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，可求角.（2）法一：在中，利用余弦定理，先求邊與，再在中利用余弦定理求.法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值.法三：在中，利用余弦定理，先求邊，再利用，結(jié)合平面向量數(shù)量積的有關(guān)運算，可求的值.【詳解】（1）法一：因為，由余弦定理：，得：，則，因為，所以．法二：因為，由正弦定理得：，，，，因為，所以，因為，所以．（2）在中，由余弦定理得：，得：，法一：，在中，由余弦定理得：，得：．法二：因為，所以，所以，所以，解得：．法三：因為，所以，，所以．17．(1)(2)【分析】（1）由得，從而計算；（2）由題意，兩邊平方結(jié)合基本不等式可得，利用面積公式即可求.【詳解】（1）因為，且，所以，利用二倍角公式和邊化角可得：，即，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，即.（2）因為，所以，兩邊平方得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.由，可得：，所以.所以面積的最大值為.18．(1)(2)對稱軸為直線，，對稱中心為，(3)【分析】（1）由圖象可得函數(shù)的最值、周期與相位，分別建立方程，可得答案.（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸與對稱中心，建立方程，可得答案；（3）由函數(shù)圖象變換可得新函數(shù)的解析式，整理不等式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】（1）由圖可得，則，，則，解得或，，由，則，由，則，由圖可得周期，易得，所以.（2）令，，解得，，令，，解得，，所以的對稱軸為直線，，對稱中心為，.（3）由題意可得，要證，只需證，令，由題意可得，則，即求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，令，，解得，，由題意可得，，則，，解得，，當(dāng)時，令，則，此時，不合題意，令，則，此時，符合題意；當(dāng)時，令，則，此時，不合題意，令，則，不符合題意；易知當(dāng)時，都不符合題意所以的最大值為.19．(1)(2)(3)48【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系和正弦定理邊角互化對等式進(jìn)行化簡，再結(jié)合余弦定理即可求解.（2）法一：用基向量法，將用表示，等式左右兩邊同時平方，利用模長和數(shù)量積公式即可求解；法二：用坐標(biāo)系法，以AB所在的直線為軸，A為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系，將用坐標(biāo)表示，結(jié)合坐標(biāo)表示求模長即可；（3）根據(jù)柯西不等式的定義直接化簡，當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時取等號，即可得到最小值.【詳解】（1）因為所以，由正弦定理，

所以即：，又，所以；（2）（方法一）因為，所以