第8頁(yè)共10頁(yè)北京郵電大學(xué)2018——2019學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)試題一.填空題（每小題3分，共15分）.設(shè)則在點(diǎn)的值為_(kāi)_________.設(shè)方程確定為的函數(shù),則=_______4設(shè)二元函數(shù)則5函數(shù)在點(diǎn)P(5,1,2)沿向量的方向?qū)?shù)為；6．微分方程的通解為.7微分方程的一個(gè)特解形式可以設(shè)為8設(shè)函數(shù),則.9已知是的駐點(diǎn),則.10定積分=1.11微分方程的通解是12若，則=1.13設(shè)，則1.14設(shè)，則01516設(shè)，則________________________．解：由，得，所以，應(yīng)填：．17微分方程的通解為_(kāi)____________________________．這是一個(gè)可分離變量的微分方程，由，得，兩端積分，得，得．所以，，即（為任意常數(shù)）．應(yīng)填：（為任意常數(shù)）．18設(shè)，則_______．19微分方程的通解為_(kāi)_____________________．20交換累次積分的順序______________________．21微分方程的通解為二．單選題（每小題3分，共15分）.1.已知三點(diǎn)則三角形ABC的面積為（A）A、B、C、D、42．設(shè),其中由所圍成,則=(A).A、B、C、D、3、曲線的的弧長(zhǎng)為（C）.A.B.C.3D.44方程的一個(gè)特解可設(shè)為(D).（A）（B）（C）（D）5微分方程的特解的形式為【D】．（A）．；（B）．；（C）．；（D）．．微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程是，因此其特征方程為．得其解為．因此微分方程有形如．的特解．又微分方程有形如．的特解．所以，微分方程有形如的特解．應(yīng)選：（D）．6．函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)的【】．（A）．充分條件；（B）．必要條件；（C）．充分必要條件；（D）．既不必要，也不充分條件．由二元函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，可知：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)的既非必要，也非充分條件．應(yīng)選：（D）．7、設(shè)，則（A）A、

B、

C、

D、8、的通解為（

A）；A、

B、

C、

D、9的通解為（D

）；A、

B、

C、

D、10微分方程的通解為（

B

）。A、

B、

C、

D、三．計(jì)算題（每小題5分）.1.求極限。[解]對(duì)定積分作變換，由于?，?，，因此再利用洛必達(dá)法則有原式===2．計(jì)算[解法1]原式==3．22/3根式代換4．5．求極限===1/36．設(shè).====7．已知.，求。解：設(shè)，則,,故8．計(jì)算9．設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，試求，．10．已知,

.

求和11．已知求。設(shè)。12已知,

.

求和13已知求。設(shè)。14設(shè)函數(shù),具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求,15設(shè)在閉區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，，且，求.解法一：解法二：又。16設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：17令u=x+y18，其中是由直線，及所圍成的閉區(qū)域。四．解答題.1．求由曲線與，及所圍圖形的面積S以及該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解S===2．求微分方程的通解解：原方程可化為則3．求微分方程滿足的特解。解：的特征方程為：特征根為的通解為又不是特征根，原微分方程有形如的特解，將此特解帶回原方程，化簡(jiǎn)可得，故是原方程的一個(gè)特解。由二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)可知，是原方程的通解。已知解出故，滿足題設(shè)條件的微分方程的特解為4．求微分方程的積分曲線，使該積分曲線過(guò)點(diǎn)，且在該點(diǎn)的切線斜率為．解：這是一個(gè)不顯含自變量的微分方程．設(shè)，則有，代入方程，得解此方程，得．由，，得．因此有方程．其解為，，由，得，因此所求積分曲線為或5．已知曲邊三角形由拋物線及直線所圍成，求：（1）曲邊三角形的面積；（2）該曲邊三角形繞旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.y=1y=1Oxy（1）曲邊三角形的面積為A（2）右圖中曲邊三角形繞旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V6．求由曲線，直線及x軸所圍平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所的立體的體積V. 7．已知在處連續(xù)，且由方程確定y是x的函數(shù),求方程兩端對(duì)x求導(dǎo),得令x=1,得再對(duì)y求導(dǎo),得故8．設(shè)，，其中與分別具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)，求．解：令：，，則．9．求微分方程滿足的特解五．證明題．1證明：2設(shè)在區(qū)間連續(xù)，證明：證明：設(shè)，則=3．設(shè)，為可導(dǎo)函數(shù)，證明：。證：(3)(3)(2)4．證明：，由此計(jì)算.證：令則