第8講數(shù)字謎綜合第8講數(shù)字謎綜合六年級秋季知識點(diǎn)知識點(diǎn)數(shù)字謎綜合二（六上）備注備注課堂例題課堂例題單位分?jǐn)?shù)的分拆1、把表示成兩個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)之和，請給出所有的答案．【答案】

【解析】

設(shè)，則，變形得．而，故、或，進(jìn)而共3種．2、把拆成三個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和，請給出2種拆法．【答案】

【解析】

先將拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，再將其中一個(gè)進(jìn)一步分拆．例如，，等．3、求方程的所有正整數(shù)解．【答案】

，，，【解析】

顯然，因此；等式兩邊同時(shí)乘上，得；整理得，將寫成兩個(gè)數(shù)的乘積，有5種不同的寫法：，每種方法對應(yīng)了一個(gè)二元一次方程：，，，，；每個(gè)二元一次方程的解分別是：，，，，；其中不合題意，舍去．4、在算式中，a，b，c分別代表三個(gè)不同的自然數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和可能是__________．【答案】

14【解析】

若，則；因此，；若，則，因此3或4；若，則，；若，則，，不是整除．綜上，，，，．與數(shù)字和相關(guān)問題5、在豎式中的方框內(nèi)分別填入0到9這10個(gè)數(shù)字中的9個(gè)，使得豎式成立．□□□□□□+□□□□2012【答案】

答案不唯一，如【解析】

和的數(shù)字和為5，根據(jù)“進(jìn)位減9”，所有加數(shù)的數(shù)字和被9除也應(yīng)余5，故未用數(shù)字為4，進(jìn)位次數(shù)為．易知千位為1，簡單試驗(yàn)可得其中一個(gè)答案為．6、從1至9中選出8個(gè)數(shù)字填入算式“”的方框中，每個(gè)數(shù)字恰好填一次，使等式成立．請問：（1）沒有被選出的數(shù)字是多少？（2）兩個(gè)四位數(shù)中較大的數(shù)最小是多少？最大是多少？【答案】

（1）2（2）最小7184，最大9865【解析】

（1）不妨設(shè)（）為一種合適的填法，到是1到9中的8個(gè)不同數(shù)字，沒用上的數(shù)字為．在加法的計(jì)算過程中，左邊的數(shù)字和與右邊的數(shù)字和的差是9的倍數(shù)，所以到這8個(gè)數(shù)字的和數(shù)與除以9的余數(shù)相同．到的數(shù)字和等于，25除以9的余數(shù)是7．所以除以9余7，只能是2；（2）要使較大數(shù)盡量大，令，，看看有沒有合適的填法．此時(shí)只能是9，只能是7，只能是15，只能是12．所以，，最大是6，相應(yīng)的是1，最大是5，只能是4．所以較大數(shù)最大是9865，相應(yīng)的填法是；要使較大數(shù)盡量小，令，，看看有沒有合適的填法．由于等式左邊數(shù)字和是43，右邊數(shù)字和是25，差是18，說明加法運(yùn)算中有兩次進(jìn)位．此時(shí)與都是沒有進(jìn)位的，因而，，．要使較大數(shù)盡量小，只能，，，，，．所以較大數(shù)最小是，相應(yīng)的填法是．7、在圖中的算式中填入0至9各一次，使算式成立．算式結(jié)果的四位數(shù)最小可能是多少，最大可能是多少？【答案】

最小1026；最大1602【解析】

設(shè)原豎式為，則，因?yàn)槌?的余數(shù)等于除以9的余數(shù)，是0，所以是9的倍數(shù)，所以的數(shù)字和是9的倍數(shù)，可以是9或18．（1）因?yàn)間只能為1，所以有2種可能：和．最小可能是1026，最大可能是1620，下面看能否湊出相應(yīng)答案．因?yàn)?，所以最小確實(shí)為1026．在中，因?yàn)榧訑?shù)數(shù)字和為36，和的數(shù)字和為9，所以個(gè)位、十位、百位相加時(shí)均有進(jìn)位，所以，，．而15只能由7和8湊出，但此時(shí)十位的11無法由3、4、5、9湊出，所以1620湊不出．那么最大值只能為1602，而它可以由湊出，所以最大為1602．（2）因?yàn)間為1，且加數(shù)數(shù)字和為27，所以相加時(shí)進(jìn)位一次，且在百位，如右圖．此時(shí)0不能在加數(shù)的個(gè)位和十位，不然會有數(shù)字相同，同時(shí)也不能在加數(shù)的百位，那么它只能在四位數(shù)中，且只能在百位（如果在十位或個(gè)位，那么加數(shù)相加要進(jìn)位，但原式中只有百位相加進(jìn)位）．于是，i、j只能為8、9，此時(shí)和可以是1089或1098，都比上面的答案?。宰畲鬄?602，最小為1026．11數(shù)陣圖8、將1~10這十個(gè)自然數(shù)填入下圖五角星的10個(gè)圓圈內(nèi)，使得外面五個(gè)三角形中的數(shù)等于其所在三角形三個(gè)頂點(diǎn)內(nèi)數(shù)的和．【答案】

如下圖【解析】

里面5個(gè)數(shù)之和為，只能為．這樣，最上方只能填5或7．若為7，左側(cè)三角之和最多為，矛盾，故最上方只能為5，進(jìn)而得到答案．9、圖中有大、中、小3個(gè)正方形，組成了8個(gè)三角形．現(xiàn)在先把1，2，3，4分別填在大正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上，再把1，2，3，4分別填在中正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上，最后把1，2，3，4分別填在小正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上．請問：（1）能否使8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等？如果能，請給出填數(shù)方法；如果不能，請說明理由．（2）能否使8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和各不相同？如果能，請給出填數(shù)方法；如果不能，請說明理由．【答案】

（1）不能，8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字的和為60，且相等，不成立（2）能，填法見解析【解析】

（1）解答：8個(gè)和數(shù)相加，相當(dāng)于24個(gè)數(shù)相加，恰好把大正方形的每個(gè)頂點(diǎn)加了一次，中正方形的每個(gè)頂點(diǎn)加了3次，小正方形的每個(gè)頂點(diǎn)加了2次，因而8個(gè)和數(shù)的總和是．但60不是8的倍數(shù)，所以不能使8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等；（2）解答：和數(shù)最小可以是，最大可以是，而4、5、6、7、8、9、10、11恰好是8個(gè)數(shù)，所以要使8個(gè)和數(shù)互不相同，則8個(gè)和數(shù)恰好分別是4、5、6、7、8、9、10、11，一種合適的填法如圖所示．112341234432110、將1至9填入圖中的圓圈內(nèi)，使圖中所有三角形（共7個(gè)）的3個(gè)頂點(diǎn)之和都相等．【答案】

見解析【解析】

先確定每個(gè)三角形3個(gè)頂點(diǎn)的和數(shù)．如圖1，用虛框把頂點(diǎn)分成三組，每組三個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)三角形．所以每個(gè)虛框內(nèi)所填的3個(gè)數(shù)之和是一樣的．但9個(gè)數(shù)總和是，所以每個(gè)虛框內(nèi)三個(gè)數(shù)字之和是，即每個(gè)三角形3個(gè)頂點(diǎn)的和數(shù)都是15．

現(xiàn)在考慮重?cái)?shù)．一方面，每個(gè)外圍（共6個(gè)）圓圈都出現(xiàn)在兩個(gè)三角形中，每個(gè)里面的圓圈都出現(xiàn)在三個(gè)三角形中．另一方面，，在把15分成1到9中的3個(gè)數(shù)的和數(shù)時(shí)，共有8種方法，而數(shù)字1、3、7、9都出現(xiàn)在其中兩種方法．說明1、3、7、9只能填在外圍6個(gè)圓圈里．同時(shí)由對稱性，我們可以先把1填在任一個(gè)圓圈上．然后填5、9，本質(zhì)上只有兩種填法，如圖2．進(jìn)一步地，由1所在另一個(gè)三角形待填的兩數(shù)是6、8，9所在的另一個(gè)三角形待填的兩數(shù)是2、4，各能補(bǔ)充出兩種填法，如圖3．圖1 圖1159159圖21159684273186592734159862437168594372圖311、圖中方框里不同的漢字代表互不相同的數(shù)字，已知每個(gè)正方形的頂點(diǎn)方框內(nèi)的四個(gè)數(shù)之和都相等，這個(gè)和的最小值是多少？【答案】

16【解析】

設(shè)每個(gè)正方形和為n，則，故，，．而16可以構(gòu)造，如．因此，和的最小值是16．利用數(shù)論解決相關(guān)問題12、在圖中所示的除法豎式中，只知道一個(gè)數(shù)字“3”，且商是一個(gè)循環(huán)小數(shù)．問被除數(shù)是多少？003【答案】

16【解析】

設(shè)除法算式為，則有，于是999和有公因數(shù)，可以約分，且約分后分母為27或37（如果約分后分母為9，那原數(shù)不是三位循環(huán)小數(shù)），所以等于或，所以是27或37的倍數(shù)，可能是27、54、81、37、74．把這5種情況代回原豎式中檢驗(yàn)，只有37符合題意，此時(shí)算式為．所以被除數(shù)是16．13、圖中相同字母表示相同數(shù)字，不同字母表示不同數(shù)字．且是5的倍數(shù)，是4的倍數(shù)，求的所有可能值是____________________．FIFIVE+FOURNINE

【答案】

3235，3435，3835【解析】

由末位可知，且個(gè)位沒向十位進(jìn)位，再根據(jù)是5的倍數(shù)可以確定；再看百位可知，，且十位向百位進(jìn)1；因此有，其中V、U互不相同且不能為9，則，又知，因此；再看首位可知，因此N是奇數(shù)，且；進(jìn)而可以確定，，；此時(shí)尚未確定的字母有I、V、U，還沒用到的數(shù)字有2、4、6、7、8，滿足的只有6和7，再由是4的倍數(shù)知，；因此I可以從2、4、8中任選．有3個(gè)答案，分別是3235、3435、3835．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、把表示成兩個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)之和，請給出所有的答案．【答案】

【解析】

設(shè)，則，變形得．而，故可得所有解為，共5種．2、兩個(gè)正整數(shù)的乘積是它們的和的6倍，求這兩個(gè)數(shù)．【答案】

共5組解：7、42；8、24；9、18；10、15；12、12【解析】

設(shè)兩數(shù)分別為a、b（），則，變形得．而，故可得所有解為、、、、．3、在豎式中填入0至9各一次，使豎式成立．□□□□□+□□□□□□□【答案】

答案不唯一，如【解析】

設(shè)．顯然，估算得，，進(jìn)而和的數(shù)字和小于18．所有數(shù)字和為且加數(shù)的數(shù)字和與和的數(shù)字和相差9的倍數(shù)，故只可能分別為36、9，共進(jìn)位次，只能是個(gè)、十、百各進(jìn)位1次．，可能為2、6或3、5，由此易得答案，如等．a(chǎn)abc+defghij4、（2014年金帆五升六）如下表，在的正方形網(wǎng)格中已經(jīng)填寫了4個(gè)數(shù)：0、66、103、144．已知每行每列的數(shù)都是正數(shù)，每行每列均組成等差數(shù)列，則___________．BABA144C661030【答案】

110.5【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，第二行公差是，推得，第一列公差是，推得，第一行公差是，．5、（2012迎春杯高年級組復(fù)賽）在下圖的乘法算式中，兩個(gè)乘數(shù)的和是__________．【答案】

730【解析】

由第2行與第3行倍數(shù)不同，得D=1；那么B=1；末位分析：C=1或6，若C=1，則E=4，驗(yàn)證積的十位不是2，舍去；那么C=6，則E=4或9，同上，驗(yàn)證積的十位，得E=4，通過第1行百位為0，得A=5，即．課后作業(yè)課后作業(yè)1、把表示成2個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)之和，共有______種方法．【答案】

4【解析】

設(shè)，則，變形得．而，故其有個(gè)約數(shù)，原問題共種方法．2、兩個(gè)自然數(shù)的乘積比這兩個(gè)自然數(shù)的和大1，這兩個(gè)自然數(shù)之和是______．【答案】

5【解析】

設(shè)兩數(shù)分別為a、b（），則，變形得，故，．3、從1到9中選出8個(gè)數(shù)字填入算式“”的方框中，每個(gè)數(shù)字恰好填一次，使等式成立．則沒有被選出的數(shù)字是______．【答案】

8【解析】

設(shè)a未使用．根據(jù)“進(jìn)位數(shù)字和減9”這一性質(zhì)，，．4、在右邊的加法算式中，若每個(gè)方框均表示0到9中的一個(gè)數(shù)字，任意兩個(gè)方框內(nèi)的數(shù)字都不相同，則最下面的那個(gè)方框內(nèi)的數(shù)是______．【答案】

6【解析】

設(shè)最下面的方框?yàn)閍．根據(jù)“進(jìn)位數(shù)字和減9”這一性質(zhì)，，化簡得，．5、如圖所示的豎式中，除數(shù)是______．【答案】

16【解析】

由“倒三角”可知中間部分的減法為，故除數(shù)只能為15或16．經(jīng)驗(yàn)證，除數(shù)為16．6、將20以內(nèi)質(zhì)數(shù)填入圖中的八個(gè)圈內(nèi)，使A到B的三條線上的四個(gè)數(shù)的和相等，則這個(gè)和是_______．【答案】

29【解析】

設(shè)兩端分別為p、q．20以內(nèi)質(zhì)數(shù)為2、3、5、7、11、13、17、19，由奇偶性易知2在兩端，不妨設(shè)．這樣，，由此得，因此，進(jìn)而和為．7、將l～8這8個(gè)自然數(shù)填入右圖中的8個(gè)方框中，______（填：能或否）使得同一邊上三個(gè)數(shù)的和等于它旁邊所標(biāo)注的數(shù)．【答案】

能【解析】

若能填出，則角上四個(gè)數(shù)之和為．而11的拆法只有1種：．簡