專題02探索平行線的性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（10大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一兩直線平行同位角相等題型二兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等題型三兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型六平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用題型七根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度題型八根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明題型九求平行線間的距離題型十利用平行線間距離解決問題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)性質(zhì)（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同位角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）性質(zhì)（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）性質(zhì)（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。幾何語言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）【經(jīng)典例題一兩直線平行同位角相等】【例1】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上．如果，那么的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得，再結(jié)合三角板的特征利用平角定義即可算出的度數(shù)．【詳解】解：如下圖進(jìn)行標(biāo)注，

，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)，三角形平角的定義，利用三角板的特點(diǎn)求出結(jié)果是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式擺放，若，則的度數(shù)是（

）A．30° B．57° C．55° D．33°【答案】D【分析】過三角板的直角頂點(diǎn)作直尺兩邊的平行線，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差即可解答．【詳解】解：如圖：過A作，則，∴，，∵，∴，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角的和差等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，分別是三邊上的點(diǎn)，且平分．若，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到，再利用角平分線的性質(zhì)得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用．3．（2023下·浙江衢州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，把一張長(zhǎng)方形沿折疊后，點(diǎn)分別落在的位置上，與相交于點(diǎn)．已知，則的度數(shù)是．

【答案】/80度【分析】由折疊的軸對(duì)稱性質(zhì)得到，再由周角求得．再由求得，最后即可求得的度數(shù)．【詳解】由折疊的軸對(duì)稱性質(zhì)知，，∴∵由長(zhǎng)方形的性質(zhì)知：∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的軸對(duì)稱全等性、矩形的性質(zhì)、周角、鄰補(bǔ)角等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得出．4．（2023下·河南信陽·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知，，∠1＝115°．

(1)求∠2和∠4的度數(shù)；(2)請(qǐng)你根據(jù)（1）的結(jié)果進(jìn)行歸納：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是；(3)利用（2）的結(jié)論解答：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一角是另一個(gè)角的2倍少60°，求這兩個(gè)角的大小．【答案】(1)，(2)相等或互補(bǔ)(3)這兩個(gè)交分別是與或與【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可求得，再求得；（2）由（1）的結(jié)果可得到這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律可知這兩個(gè)角互補(bǔ)或相等，利用方程可求得這兩個(gè)角．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：由（1）可知如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故答案為：相等或互補(bǔ)；（3）解：由（2）可知這兩個(gè)角互補(bǔ)或相等，設(shè)一個(gè)角為，則另一個(gè)角為，根據(jù)兩個(gè)角互補(bǔ)可得：，解得：，這兩個(gè)角分別為和．根據(jù)兩個(gè)角相等可得：，解得：，這兩個(gè)角分別為和．綜上所述：這兩個(gè)角分別為與或這兩個(gè)角分別為與．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等】【例2】（2023下·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的的度數(shù)是（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】可求，由折疊得：在處疊了層，從而可得，即可求解．【詳解】解：a是長(zhǎng)方形紙帶，，，由折疊得：在處疊了層，；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，，平分，，，；則下列結(jié)論：①；②平分；③，④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；平行線的性質(zhì)可得，求得，根據(jù)角平分線的定義求得；求得，，即可得到，推得平分；根據(jù)題意求得，即可得到．【詳解】解：∵，，∴；故①正確；∵，∴，∴，又∵平分，∴；故③正確；∵，∴，∴，∴，∴平分；故②正確；∵，∴，∴；故④正確．故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，過作交于，交于，若，則的長(zhǎng)為．【答案】10【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”、等腰三角形的性質(zhì)，掌握角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得證是關(guān)鍵．由的平分線與的平分線相交于點(diǎn)得到，再由得到，得到，從而得到，然后由得到，從而得到．【詳解】解：∵的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，∵，∴故答案為：10．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？计谥校┮阎c(diǎn)D為射線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，為的平分線，則的度數(shù)是度．【答案】35或55【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，分兩種情況討論，，在同側(cè)，，在異側(cè)，利用平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求解即可．清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖1所示，∵，，∴，∵為的平分線，∴；

如圖2所示，∵，，

∴，∴∵為的平分線，∴；綜上所述，或；故答案為：35或55．4．（2022上·四川眉山·七年級(jí)?？计谀┮阎?，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上．(1)如圖，，．①若，求的度數(shù)．②試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖，平分，平分，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①；②，理由見解析(2)，理由見解析【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)．（1）①根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得的度數(shù)；②說明，可證；（2）由平分，得，由平分，得，則，從而證明結(jié)論．【詳解】（1）①，，，，，，，；②，理由如下：，，，，，，，（2），理由如下：平分，，平分，，，即，，，．【經(jīng)典例題三兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)】【例3】（2023下·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）按如圖方式折疊一張對(duì)邊互相平行的紙條，是折痕，若，則以下結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)對(duì)各結(jié)論進(jìn)行逐一分析，即可解答．【詳解】解：，，，①結(jié)論正確；由折疊可知，，，②結(jié)論錯(cuò)誤；，，③結(jié)論正確；，且，，④結(jié)論正確；所以，以上結(jié)論正確的是①③④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是平行線的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶市楊家坪中學(xué)校考期中）如圖，，，，，則為()

A． B． C． D．【答案】B【分析】過E作，過H作，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過E作，過H作，∵，∴，∵，∴，，∴，同理∵，∴，，∴，∵，，∴，∴．故選：B．

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)和平行公理的推論，關(guān)鍵是作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)解答．2．（2023上·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，含有角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在一個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)邊上，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)是．

【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出與互補(bǔ)．根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)平角的定義得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．3．（2023下·安徽合肥·七年級(jí)校考期中）如圖，，若，則的度數(shù)為．

【答案】/210度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合找準(zhǔn)各個(gè)角度之間的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)求角度，熟記兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，線段與線段平行，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，射線分別平分．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)：①在圖1中，依題意補(bǔ)全圖形；②請(qǐng)直接寫出直線與直線的位置關(guān)系：___________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線與直線之間時(shí)，射線，交于點(diǎn)Q，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若直線與直線平行，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的位置：___________．【答案】(1)①作圖見解；②；(2)，見解析；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，重合）【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)及角平分線的定義，解題關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．（1）①根據(jù)要求畫出圖形；②根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，證明，可得結(jié)論；（2）分別過點(diǎn)P，Q作，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明即可；（3）畫出圖形，證出可得結(jié)論．【詳解】（1）解：①圖形如圖1所示，

②如圖，作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，∵，，∵射線分別平分，，，，，，，，；故答案為：；（2）解：，證明如下：如圖，分別過點(diǎn)P，Q作，

，，，，，，同理可證，，，平分平分，，，，；（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）時(shí)，直線與直線平行，，，分別平分，，，，

故答案為：當(dāng)點(diǎn)P在線段上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）．【經(jīng)典例題四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系】【例4】（2022下·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，若，則、、之間關(guān)系是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后由整理后可得答案．【詳解】解：如圖，作，

∵，∴，∴，，又∵，∴，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【分析】過點(diǎn)E作，點(diǎn)F作，根據(jù)平行公理得，根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一計(jì)算解題即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，∵，∴，

∴，，∴，故①正確；如圖，過點(diǎn)F作，∵，∴，∴，，∴，即，故②不正確；又∵，∴，即，故③不正確；

∵，∴，∵，∴，，故④正確；∴正確的為①④，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，能作輔助線構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·河南周口·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，那么這兩個(gè)角的度數(shù)分別為．【答案】，或，【分析】由兩個(gè)角的兩邊分別平行，可得這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，可設(shè)其中一個(gè)角為，由其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，分別從這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)去分析，即可列方程，解方程即可求得這兩個(gè)角的度數(shù)．【詳解】解：∵兩個(gè)角的兩邊分別平行，如圖1，

∵，，∴，，∴，如圖2，∵，，∴，，∴，∴這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，設(shè)其中一個(gè)角為，∵其中一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，①若這兩個(gè)角相等，則，解得：，∴這兩個(gè)角的度數(shù)分別為，；②若這兩個(gè)角互補(bǔ)，則，解得：，∴這兩個(gè)角的度數(shù)分別為，；綜上，這兩個(gè)角的度數(shù)分別為，或，．故答案為：，或，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意由兩個(gè)角的兩邊分別平行，可得這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，注意分類討論思想的應(yīng)用．3．（2023下·安徽阜陽·七年級(jí)?？计谀┌岩粔K含角的直角三角尺（其中）按下圖所示的方式擺放在兩條平行線之間．

（1）如圖1，若三角形的角的頂點(diǎn)落在上，且，則的度數(shù)為．（2）如圖2，若把三角尺的直角頂點(diǎn)放在上，角的頂點(diǎn)落在上，則與的數(shù)量關(guān)系為．【答案】/60度【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）由平行的性質(zhì)可得，從而得到，再由，從而得到，再將進(jìn)行替換即可得到答案．【詳解】解：（1），，，，，，，故答案為：（2），，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·遼寧營(yíng)口·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，．點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）、BC，BD分別平分和，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．(1)求的度數(shù)．(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，的度數(shù)是多少？為什么？(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化．請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)不變，【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由（1）知，再根據(jù)角平分線的定義知、，可得，即；（2）由得、，根據(jù)平分知，從而可計(jì)算；（3）由得、，根據(jù)平分知，從而可得結(jié)果．【詳解】（1），，，，平分，平分，，，，；（2），，，，；由（1）可知：，，，；（3）不變，．，，，平分，，．【經(jīng)典例題五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例5】（2023下·黑龍江佳木斯·七年級(jí)校考期中）如圖，平分，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論有_______．A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【答案】D【分析】先證明，可得，則結(jié)論①符合題意；證明，，，可得，，則，可得，故③符合題意；故②符合題意；求解，而，可得結(jié)論④不符合題意；從而可得結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，則結(jié)論①符合題意；∵，，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴，故③符合題意；∴平分，故②符合題意；∵，，∴，∵，∴，則結(jié)論④不符合題意；綜上，正確結(jié)論的是①②③．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，互余角等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·甘肅張掖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平分，則的度數(shù)等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，然后根據(jù)兩直線平行，網(wǎng)旁內(nèi)角互補(bǔ)解答．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考期中）已知和，兩個(gè)角的兩邊分別平行，，則的大小為．【答案】或．【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是正確解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況去考慮：和，結(jié)合圖形即可求出的大?。驹斀狻扛鶕?jù)題意畫出圖形，如圖1，由題意可知：，，，設(shè)，，，，即．根據(jù)題意畫出圖形，如圖2，由題意可知：，，，設(shè)，，，，即．綜上所述，的大小為或．故填∶或．3．（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，已知，平分，連接交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為．

【答案】78【分析】作，則，由平行線的性質(zhì)可得，，由角平分線的定義可得，從而可得，即可得到答案．【詳解】解：如圖，作，

，，，，，平分，，，，，故答案為：78．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·四川眉山·七年級(jí)期末）已知，直線，．(1)如圖1，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，若，則______；(2)如圖2，點(diǎn)在與之間，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且的平分線與的平分線交于點(diǎn)．①若，求（用含的式子表示）；②求的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和互余解答即可；（2）①過作，連接，利用平行線的性質(zhì)解答即可；②過作，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：，，，，，故答案為：；（2）解：①如圖，過作，連接，，，，，，，，；②如圖，過作，，，，，，，過作，，，，，平分，平分，，，．【經(jīng)典例題六平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】【例6】（2022下·江蘇南通·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，那么兩次拐彎的角度是（

）A．第一次右拐30°，第二次左拐150°B．第一次左拐30°，第二次右拐30°C．第一次左拐30°，第二次左拐150°D．第一次右拐30°，第二次右拐30°【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線平行的性質(zhì)：兩條直線平行，同位角相等．再根據(jù)題意得：兩次拐的方向不相同，但角度相等．【詳解】解：如圖，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前進(jìn)，可以得到∠1＝∠2．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)．注意要想兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，則拐的方向應(yīng)相反，角度應(yīng)相等．【變式訓(xùn)練】1、（2023下·廣西百色·八年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀以下“預(yù)防近視”知識(shí)卡讀書、寫字、看書姿勢(shì)要端正．一般人正常的閱讀角度約為俯角（如圖視線與水平線的夾角度．在學(xué)習(xí)和工作中，要保持讀寫姿勢(shì)端正，可概括為“三個(gè)一”，包括：眼與書本的距離1尺；身體與桌子距離1拳；握筆時(shí)，手指離筆尖1寸．書本與課桌的角度要保持在30度至45度．已知如圖，桌面和水平面平行，與書本所在平面重合，根據(jù)卡片內(nèi)容，請(qǐng)判斷正常情況下，坐姿正確且座椅高度適合時(shí)，視線和書本所在平面所成角度不可能為以下哪個(gè)角度（）

A．74° B．78° C．84° D．88°【答案】D【分析】過作，由平行線的性質(zhì)得，，由，可得，即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意得，，，

，過作，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022下·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺(tái)上的燈光由燈帶上位于點(diǎn)和點(diǎn)的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當(dāng)光線與燈帶的夾角時(shí)，．【答案】140°或40°【分析】當(dāng)AB與在AC同側(cè)時(shí)，CB′∥AB，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時(shí)，CB"∥AB，內(nèi)錯(cuò)角相等．【詳解】解：如下圖：當(dāng)AB與CB′在AC同側(cè)時(shí)，當(dāng)CB′∥AB時(shí)，∵∠CAB+∠ACB′=180°∴∠ACB′=140°當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時(shí)，當(dāng)CB"∥AB時(shí)，∠CAB=∠ACB"=40°答案：140°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)及需要由分論討論的思想求解．3．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道上放置P，Q兩盞激光燈．其中光線按順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)至邊便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線按順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)至邊就停止旋轉(zhuǎn)，此時(shí)光線也停止旋轉(zhuǎn)．若光線先轉(zhuǎn)4秒，光線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，光線旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒．【答案】6或43.5【分析】依據(jù)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，列出關(guān)于時(shí)間t的關(guān)系式可求．【詳解】解：當(dāng)，則，如下圖：∵，∴．∴．設(shè)光線旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，∴∴．當(dāng)，則，如下圖：∵，∴．∴．設(shè)光線旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，此時(shí)光線由處返回，∴．∴．∴．∴．綜上，光線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為6或43.5秒．故答案為：6或43.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確計(jì)算相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數(shù)；(2)若將圖2中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，求此時(shí)與水平方向的夾角的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分線定義可得，由垂直定義可得，得出，再運(yùn)用平行線性質(zhì)即可得出答案；（2）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖2，，平分，，，，，，，，，即；（2）如圖3，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，

則，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)等，適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造平行關(guān)系是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度】【例7】（2023下·云南玉溪·七年級(jí)統(tǒng)考期末）含的三角板和含的三角板如圖擺放，若，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】于交于，作，可得，從而可求，，即可求解．【詳解】解：如圖，于交于，作，

因?yàn)?，所以，所以，，所以；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·安徽合肥·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，平分，平分，則與的數(shù)量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】先過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，由，即可得，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，解答即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，

∵，∴，∴，，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，角平分線的性質(zhì)．2．（2023上·四川眉山·七年級(jí)期末）已知直線，現(xiàn)將一副直角三角板作如圖擺放，且．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)為．【答案】①②④【分析】本題考查平行線的判斷和性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，判斷①，鄰補(bǔ)角求出的度數(shù)，判斷②，過點(diǎn)作，利用平行線的判定和性質(zhì)，判斷③和④．掌握平行線的判定方法和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得：，∴，∴，故①正確；∵，∴，，∴；故②正確；過點(diǎn)作，∵，∴，∴，∴，∴，，∴；故③錯(cuò)誤，④正確；故答案為：①②④．3．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)校考期中）一副直角三角尺如圖1疊放，現(xiàn)將含的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行．如圖2，當(dāng)時(shí)，有一組邊，再繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)三角形的過程中，請(qǐng)你寫出符合要求的的度數(shù)是度．

【答案】60或105或135【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∵，∴；

當(dāng)時(shí)，∵，∴．

綜上所述，的度數(shù)為或或；故答案為：60或105或135．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，小明同學(xué)在做光的折射實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)：平行于主光軸的光線和經(jīng)過凹透鏡的折射后，折射光線、的反向延長(zhǎng)線交于主光軸上一點(diǎn)P．【提出問題】小明提出：、和三個(gè)角之間存在著什么樣的數(shù)量關(guān)系？【分析問題】我們學(xué)習(xí)過平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)可以把分成兩部分進(jìn)行研究．【解決問題】請(qǐng)你幫小明解決這個(gè)問題，并說明理由．【舉一反三】（1）如圖①，若，，則度．（2）如圖②，已知，點(diǎn)E、F分別是、上的點(diǎn)，點(diǎn)P位于上方，．用含α和β的代數(shù)式表示下列各角．①的大小為．②如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上，若和分別平分和，則的大小為．【答案】解決問題：，理由詳見解析舉一反三：（1）40；（2）①；②【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)．解決問題：根據(jù)題意，得到，平行線的性質(zhì)得到，即可得到；（1）平角的定義，求出的度數(shù)，利用解決問題中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；（2）①過點(diǎn)P作，得到，進(jìn)而得到，推出，進(jìn)一步得出結(jié)果即可；②角平分線得到，利用①的結(jié)論即可得出結(jié)果．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】解：解決問題：、和三個(gè)角之間存在的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：依題意得：，∴，∴，即；（1）∵，∴，，∴，∴；故答案為：40．（2）①過點(diǎn)P作，如圖②所示：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．②∵和分別平分和，，∴，由①的結(jié)論可知：．故答案為：．【經(jīng)典例題八根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明】【例8】（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，判斷與的大小關(guān)系（

）

A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形銳角互余即可求解；【詳解】過C作于H，，，H、C、D三點(diǎn)共線，則，∵，∴，，；故選：C

【點(diǎn)睛】該題考查了平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是將角度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建莆田·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，下面推理過程正確的是（

）

A．因?yàn)?，所?B．因?yàn)?，所以C．因?yàn)?，所?D．因?yàn)椋浴敬鸢浮緾【分析】根據(jù)平行線的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：A．因?yàn)?，所以，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)椋?，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C．因?yàn)椋?，原說法正確，故此選項(xiàng)符合題意；D．因?yàn)椋?，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定：內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．2．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，記，則m的值為．

【答案】【分析】過點(diǎn)F作，則，依據(jù)平行線的性質(zhì)可證明，同理可證明，然后結(jié)合已知條件可得到問題的答案．【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)F作．∵，∴．∵，∴，∴．∴．同理：．∴∵，∴．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行線的判定和性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·山東德州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，分別平分和，且相交于，，于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤平分，其中正確的結(jié)論是．

【答案】①③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明，，即可判斷④；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出，即可判斷②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無法推出⑤．【詳解】解：平分，，，，故①正確；，，，，，即，，又，，故④正確；，，，分別平分，，，，，，故③正確；，，故②錯(cuò)誤；根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出平分，故⑤錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·山西晉城·七年級(jí)期末）如圖甲所示，已知點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)F，G在直線上，且，平分．(1)判斷直線與直線是否平行，并說明理由．(2)如圖乙所示，H是上點(diǎn)E右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，①若，，求的值．②設(shè)，．點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過程中，寫出和的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)直線與直線平行，理由見解析(2)①；②點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β的數(shù)量關(guān)系，理由見解析【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角的平分線的計(jì)算，證明兩個(gè)角的關(guān)系．(1)證明內(nèi)錯(cuò)角相等即可．(2)①根據(jù)平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)計(jì)算即可．②仿照①，結(jié)合外角性質(zhì)，將問題一般化計(jì)算即可．【詳解】（1）解：直線與直線平行，理由如下：∵平分，∴，又∵，∴，∴．（2）①∵，的平分線，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．②點(diǎn)H在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β的數(shù)量關(guān)系，理由如下：∵是的外角，是的外角，∴，又∵平分，的平分線，，∴，，∴，即．【經(jīng)典例題九求平行線間的距離】【例9】（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）把直線a沿水平方向平移，平移后的直線為直線b，則直線a與直線b之間的距離（

）A．等于 B．小于 C．大于 D．小于或等于【答案】D【詳解】分兩種情況討論：如圖①，如果直線a與水平方向垂直，那么直線a與直線b之間的距離為；如圖②，如果直線a與水平方向不垂直，那么直線a與直線b之間的距離小于．綜上所述，直線a與直線b之間的距離小于或等于．圖①

圖②【變式訓(xùn)練】1．（2023下·甘肅張掖·七年級(jí)?？计谥校┰谕黄矫鎯?nèi)，設(shè)、、是三條互相平行的直線，已知與的距離為，與的距離為，則與的距離為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分直線c在a、b之間和直線c不在a、b之間兩種情況，分別利用平行線間的距離的意義求解即可．【詳解】解：因?yàn)榕c的距離為，與的距離為，所以當(dāng)直線c在a、b之間時(shí)，a與c的距離為；當(dāng)直線c不在a、b之間時(shí)，a與c的距離為，綜上，a與c的距離為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離，注意分類討論．2．（2023上·甘肅蘭州·九年級(jí)蘭州十一中?？茧A段練習(xí)）如圖，直線ABCD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，則直線AB與直線CD之間的距離是cm．【答案】12【分析】根據(jù)角平分線得出∠HGI＝90°，利用直角三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：設(shè)直線AB與直線CD之間的距離是h，∵GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，∴∠FGI＝∠FGD，∠HGF＝∠CGF，∵∠CGF+∠FGD＝180°，∴∠HGF+∠FGI＝90°，∴∠HGI＝90°，∵，HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，∴h＝，即直線AB與直線CD之間的距離是12cm，故答案為：12．【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的定義，平角的定義，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的面積公式解答．3．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，已知直角三角形中，B，C在直線a上，A在直線b上，，，，則點(diǎn)A到直線a的距離為．

【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)A到直線a的距離為h，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A到直線a的距離為h，∵直角三角形中，，，，∴，即，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．4．（2022上·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形中，，連接，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)求證：．(2)若，且．求與之間的距離．(3)若．試求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)(3)大于0小于等于5【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，從而得到，再由平行線的判定即可得到；（2）由知：與之間的距離等于點(diǎn)到直線的距離，由三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）過點(diǎn)作于，連接，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)無限接近時(shí)，無限接近0，即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，又，，；（2）解：由知：與之間的距離等于點(diǎn)到直線的距離，即設(shè)三角形的邊上的高為，由三角形的面積計(jì)算公式可得：，即，解得：，與之間的距離為2.4；（3）解：過點(diǎn)作于，連接，

，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)無限接近時(shí)，無限接近0，，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為大于0小于等于5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，三角形的面積公式，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十利用平行線間距離解決問題】【例10】（2023下·陜西商洛·八年級(jí)校考期中）如圖，直線，則可以表示這兩條直線之間距離的線段是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線間的距離的定義判斷即可．【詳解】解：平行線間的距離是指平行線上任意一點(diǎn)與另一條平行線的垂線段的長(zhǎng)度，觀察圖形可得為直線之間的垂線段，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線間的距離，熟練掌握定義，并結(jié)合圖形準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022上·湖南株洲·八年級(jí)株洲市景弘中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，大正方形與小正方形的面積之差為S，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B．S C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的特征分析出大正方形與小正方形的面積之差等于長(zhǎng)方形HIFG的面積，再通過等底、等高的三角形面積相等，分析出,，進(jìn)而推出陰影部分面積為，找出與長(zhǎng)方形HIFG的面積的倍數(shù)關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：如圖，在大正方形ABCH與小正方形EBDF的背景下∴長(zhǎng)方形IEBC和長(zhǎng)方形ABDG面積相等∴大正方形與小正方形的面積之差等于長(zhǎng)方形HIFG的面積又∵,∴陰影部分面積為又∵=長(zhǎng)方形HIFG的面積=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的特征和等積轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)等積轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．總結(jié)：等底、等高的三角形面積相等；等高的三角形，面積比等于底之比；等底的三角形，面積比等于高之比．2．（2023下·江西九江·八年級(jí)濂溪一中?？计谀┤鐖D：已知直線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若的面積為27，且，則平行線與之間的距離為．

【答案】6【分析】?jī)蓷l平行線之間的距離指的是一條直線上任意一點(diǎn)到另一條線段的垂線段的長(zhǎng)度，由此將平行線與之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到的垂線段的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形的面積求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

，則，的面積為27，且，，，平行線與之間的距離為：6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查兩條平行線的距離，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，從而轉(zhuǎn)化為已知三角形的面積求高的長(zhǎng)，其中兩條平行線的距離的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．3．（2023下·吉林松原·七年級(jí)統(tǒng)考期中）探究規(guī)律：我們有可以直接應(yīng)用的結(jié)論：若兩條直線平行，那么在一條直線上任取一點(diǎn)，無論這點(diǎn)在直線的什么位置，這點(diǎn)到另一條直線的距離均相等．例如：如圖1，兩直線，兩點(diǎn)、在上，于，于，則．如圖2，已知直線，、為直線上的兩點(diǎn)，、為直線上的兩點(diǎn)．(1)請(qǐng)寫出圖中面積相等的各對(duì)三角形：．(2)如果、、為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在上移動(dòng)，那么無論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置總有：與的面積相等；理由是：．【答案】(1)和，和，和(2)同底等高的兩個(gè)三角形，面積相等【分析】（1）寫出面積相等的各對(duì)三角形，我們拿與為例：兩個(gè)三角形用公共邊為底，再由圖1的結(jié)論知道高相等，由三角形面積公式知兩個(gè)三角形面積相等，其它對(duì)分析類似；（2）根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，可以得出結(jié)論．【詳解】（1）有三對(duì)分別是：和，和，和，分析如下：和，兩個(gè)三角形用公共邊為底，再由圖1的結(jié)論知道高相等，由三角形面積公式知兩個(gè)三角形面積相等；和，兩個(gè)三角形以為底，高相等，即面積相等；和，根據(jù)和面積相等，兩個(gè)三角形同時(shí)減去，得和面積相等．故答案為：和，和，和；（2）如果、、為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在上移動(dòng)，那么無論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置總有：與的面積相等，理由是：同底等高的兩個(gè)三角形，面積相等；分析如下：與同底，點(diǎn)在上移動(dòng)，那么無論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，點(diǎn)到另一條直線的距離相等，使得這兩個(gè)三角形是：同底等高的兩個(gè)三角形，面積相等．故答案為：，同底等高的兩個(gè)三角形，面積相等【點(diǎn)睛】本題考查平行線間的距離處處相等，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，答案全面．4．（2023上·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、P均在格點(diǎn)上．（請(qǐng)利用網(wǎng)格作圖，畫出的線用鉛筆描粗描黑）（1）過點(diǎn)P畫直線AB的平行線；（2）連接PA、PB，則三角形PAB的面積=；（3）若三角形QAB面積與三角形PAB的面積相等，且格點(diǎn)Q與P不重合，則格點(diǎn)Q有個(gè)．【答案】（1）見解析；（2）6.5；（3）3【分析】（1）連結(jié)AP，過點(diǎn)P作∠APQ=∠PAB，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得PQ∥AB即可；（2）連PB，割補(bǔ)法利用網(wǎng)格正方形面積減去三個(gè)三角形面積即可；（3）由三角形QAB面積與三角形PAB的面積相等，在AB的平行線PQ上，截取PQ=AB或PQ1=AB，連結(jié)AQ，延長(zhǎng)QA，在QA的延長(zhǎng)線上截取AQ2=AQ即可．【詳解】（1）連結(jié)AP，過點(diǎn)P作∠APQ=∠PAB，∴PQ∥AB，則PQ為所求；（2）連PB，S△PAB=4×4-×4×3-×1×3-×4×1=16-6-1.5-2=6.5，故答案為：6.5；（3）三角形QAB面積與三角形PAB的面積相等，在AB的平行線PQ上，截取PQ=AB或PQ1=AB，連結(jié)AQ，延長(zhǎng)QA，在QA的延長(zhǎng)線上截取AQ2=AQ，則Q、Q1、Q2三點(diǎn)為所求，則格點(diǎn)Q有3個(gè)，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的作法，網(wǎng)格三角形面積，面積相等的三角形格點(diǎn)問題，掌握平行線的作法，網(wǎng)格三角形面積求法，面積相等的三角形格點(diǎn)確定方法是解題關(guān)鍵．【拓展培優(yōu)】1．（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考三模）如圖所示，直線，直線c與直線a，b分別交于點(diǎn)D，E，射線直線c，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得：，由垂直的定義可求出的度數(shù)，即可求得．熟記平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵直線c，∴，∵，∴，∴．故選：D．2．（2022下·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，設(shè)，，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．與沒有數(shù)量關(guān)系【答案】A【分析】過C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定義得到，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：過C作∥，∥，，，，，，，，，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過C作，得到，由平行線的性質(zhì)來解決問題．3．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平角的定義可得，再由折疊可知，最后根據(jù)平行的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，，由折疊可知，在長(zhǎng)方形中，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形的折疊，平角的定義，平行的性質(zhì)，理解折疊性質(zhì)找到相等的角是關(guān)鍵．4．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)，，作的平行線，容易得出，和是角平分線，所以，進(jìn)一步求即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分線，，，，，，，，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及平角的定義等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·安徽宿州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線，在上任選一點(diǎn)E，將一直角三角板直角頂點(diǎn)放在E處，，當(dāng)，此時(shí)的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)G作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，則，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作，則，

∵，∴，∴，∴．∴．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．6．（2023上·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平分，，，則．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線．熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義可得，，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴，故答案為：．7．（2022下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，三角形中，點(diǎn)D是射線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，交直線于E，交直線于F，則的度為．

【答案】或【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．根據(jù)題意畫出圖形，分點(diǎn)在、之間與點(diǎn)外兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在、之間時(shí)，

∵交直線于交直線于F，∴，∴；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)外時(shí)，∵，∴．∵交直線于交直線于，∴，∴．綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或．8．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副直角三角尺如圖1疊放，現(xiàn)將含的三角尺固定不動(dòng)，將含的三角尺繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行．如圖2，當(dāng)時(shí)，有一組邊，再繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺的過程中，請(qǐng)你寫出符合要求的（）的度數(shù)是度．【答案】或或【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，再由平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∵，∴；

當(dāng)時(shí)，∵，∴．

綜上所述，的度數(shù)為或或；故答案為：或或．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圖1是一盞可調(diào)節(jié)臺(tái)燈，圖2為示意圖．固定底座于點(diǎn)O，BA與CB是分別可繞點(diǎn)A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿．在調(diào)節(jié)過程中，燈體CD始終保持平行于OE，臺(tái)燈最外側(cè)光線DM，DN組成的始終保持不變．如圖2，調(diào)節(jié)臺(tái)燈使光線，此時(shí)，且CD的延長(zhǎng)線恰好是的角平分線，則．【答案】80°/80度【分析】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)H，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，求出的度數(shù)，利用角平分線的性質(zhì)，即可得解.【詳解】解：過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)H，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∵的延長(zhǎng)線恰好是的角平分線，∴；故答案為：.10．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，連接．分別是的角平分線（點(diǎn)在平行線之間），已知，

（1）當(dāng)時(shí)，度．（2）與之間的關(guān)系式為．【答案】117【分析】（1）根據(jù)可得，從而