高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（7）15.有個(gè)型號和形狀完全相同的納米芯片，已知其中有兩件是次品，現(xiàn)對產(chǎn)品隨機(jī)地逐一檢測.（1）求檢測過程中兩件次品不相鄰的概率；（2）設(shè)檢測完后兩件次品中間相隔正品的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解答，【解答】【分析】（1）用插空法求出符合條件的事件數(shù)，再由古典概型計(jì)算可得；（2）依題意的可能取值為、、、，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】記檢測過程中兩件次品不相鄰為事件，依題意即將個(gè)芯片排列，其中兩件次品不相鄰的概率，所以.小問2詳解】依題意的可能取值為、、、，所以，，，，所以的分布列為：所以.16.已知函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若且恒成立，求的最小值.【答案】（1）答案見解答（2）.【解答】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對與分類討論即可得；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【小問1詳解】（），當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，從而在上遞增；當(dāng)時(shí)，，；，，從而在上遞增，在遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，由于，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得：，所以的最小值為.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為.（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成夾角的余弦值為？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解答（2）存在，【解答】【分析】（1）合理構(gòu)造圖形，利用線線平行證明線面平行即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法處理即可.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接分別為的中點(diǎn)，，底面四邊形是矩形，為棱的中點(diǎn)，，故四邊形是平行四邊形，，又平面平面，//平面.【小問2詳解】假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，如圖：連接，，，在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面平面，平面，則是四棱錐的高，設(shè)，則，∴，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則所以可取.易知平面的一個(gè)法向量為，，，故存在點(diǎn)滿足題意.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長均為定值；②當(dāng)時(shí)，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請說明理由．【答案】（1）答案見解答（2）①證明見解答；②存在；【解答】【分析】（1）設(shè)，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，其中且.（?。┯煽芍c(diǎn)共且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，進(jìn)而表示出，結(jié)合（1）化簡計(jì)算即可；由橢圓的定義，由得，，進(jìn)而表示出，化簡計(jì)算即可；（ii）由（?。┛芍c(diǎn)共線，且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達(dá)定理表示，計(jì)算化簡可得，結(jié)合由內(nèi)切圓性質(zhì)計(jì)算即可求解.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，其中且，（?。┯桑?）可知的方程為，因，所以，因此，三點(diǎn)共線，且，（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，由（1）可知，所以，所以為定值1；（法二）設(shè)，則有，解得，同理由，解得，所以，所以為定值1；由橢圓定義，得，，解得，同理可得，所以．因?yàn)?，所以的周長為定值．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線方程為，軌跡為雙曲線，根據(jù)（?。┑淖C明，同理可得三點(diǎn)共線，且，（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，，（*）因?yàn)?，所以，將?）代入上式，化簡得，（法二）設(shè)，依條件有，解得，同理由，解得，所以．由雙曲線的定義，得，根據(jù)，解得，同理根據(jù)，解得，所以，由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，，當(dāng)時(shí)，（常數(shù)）．因此，存在常數(shù)使得恒成立，且．【小結(jié)】方法小結(jié)：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19.無窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是．（1）寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；（2）如果且，求m，n的值；（3）記，，求一個(gè)正整數(shù)n，滿足．【答案】（1），，，，，，；（2）；（3）（答案不唯一，滿足即可）【解答】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義，逐一求解；（2）根據(jù)數(shù)列的定義，分和分別求解；（3）根據(jù)數(shù)列的定義，寫出的值，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，，，，，，，．【小問2詳解】由已知，m，n均為奇數(shù)，不妨設(shè)．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故；?dāng)時(shí)，因?yàn)?，而n為奇數(shù)，，所以．又m為奇數(shù)，，所以存在，使得為奇數(shù)．所以．而，所以