在概率論中,為了描述隨機(jī)現(xiàn)象，我們定義了隨機(jī)變量，即對(duì)應(yīng)于一基本事件eS(S為樣本空間)，用一個(gè)或幾個(gè)數(shù)來(lái)描述。但還有許多隨機(jī)現(xiàn)象,對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果e,僅用一個(gè)或幾個(gè)數(shù)來(lái)描述是不夠的,有些隨機(jī)現(xiàn)象還必須研究它的發(fā)展過(guò)程,這種隨機(jī)現(xiàn)象對(duì)應(yīng)于一次隨機(jī)試驗(yàn),其結(jié)果需要用時(shí)間

t

的一個(gè)函數(shù)來(lái)描述,于是就產(chǎn)生了隨機(jī)過(guò)程。第9章隨機(jī)過(guò)程引論引例：熱噪聲電壓假如我們對(duì)某電子元件兩端的熱噪聲電壓作一次“長(zhǎng)時(shí)間”觀察測(cè)量，得到如圖中所示的一條電壓－時(shí)間函數(shù)x1(t)。如在相同條件下，獨(dú)立地再進(jìn)行一次測(cè)量，得到的電壓－時(shí)間函數(shù)是不同的，可能是x2(t)

或x3(t)...

等等。這樣，不斷地獨(dú)立地再進(jìn)行一次次的測(cè)量，就可以得到一簇不同的電壓－時(shí)間函數(shù)，這簇函數(shù)從另一角度刻畫了熱噪聲電壓。隨機(jī)過(guò)程研究的對(duì)象是隨時(shí)間而變化的隨機(jī)現(xiàn)象。tx

(t)O

9.1隨機(jī)過(guò)程的概念9.1.1隨機(jī)過(guò)程的概念9.1.2隨機(jī)過(guò)程的分類

9.1.1隨機(jī)過(guò)程的概念

定義9.1設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為S={e}，若對(duì)每個(gè)eS,總有一個(gè)時(shí)間函數(shù)X(t,e),

tT與它相對(duì)應(yīng),這樣對(duì)于所有的eS,

得到一族時(shí)間t的函數(shù){X(t,e),tT

},稱為隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記為{X(t),tT

}。

X(t)族中的每一個(gè)函數(shù)稱為這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)或物理實(shí)現(xiàn)。(1)對(duì)于一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果ei

，則X(t,ei)是僅依賴于t的函數(shù)，稱為隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)，它是隨機(jī)過(guò)程的一次物理實(shí)現(xiàn)。因此隨機(jī)過(guò)程也可以看作對(duì)每個(gè)e依某種規(guī)律相對(duì)應(yīng)一個(gè)參數(shù)t的函數(shù)X(t,e)即在概率空間上定義了一個(gè)隨機(jī)函數(shù)。tS由定義可知二元函數(shù)X(t,e)的含義如下：(2)對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻ti

,X(t,e)取決于e,

所以是定義在S上的隨機(jī)變量，見圖tS定義9.2

：

設(shè)

，如果對(duì)于每一個(gè)

，都有一個(gè)隨機(jī)變量與它相對(duì)應(yīng)，則稱隨機(jī)變量族 為隨機(jī)過(guò)程。tS(1)如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)對(duì)于任意的tT,X(t)都是連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱此隨機(jī)過(guò)程為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程可以根據(jù)其狀態(tài)空間和參數(shù)集的連續(xù)或離散進(jìn)行分類。若對(duì)任意的tT,X(t)是離散型隨機(jī)變量，稱此隨機(jī)過(guò)程為離散型隨機(jī)過(guò)程。 9.1.2隨機(jī)過(guò)程的分類若參數(shù)T為離散集合，則稱隨機(jī)過(guò)程為離散參數(shù)隨機(jī)過(guò)程或者隨機(jī)序列，隨機(jī)序列的狀態(tài)空間還是離散的，則稱為離散參數(shù)鏈。(2)當(dāng)參數(shù)T為有限區(qū)間或無(wú)限區(qū)間時(shí)，則稱X(t)

是連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程。以后若沒(méi)特別指出，隨機(jī)過(guò)程一詞總是指連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程。參數(shù)集T

狀態(tài)空間I離散型連續(xù)型連續(xù)集離散集離散型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)序列離散參數(shù)鏈例9.1

某城市的120急救電話臺(tái)接收呼叫。固定t時(shí)，N(t)是一個(gè)隨機(jī)變量；而對(duì)一切t≥0

時(shí)，就得到一族隨機(jī)變量N(t),t≥0，這是一個(gè)連續(xù)參數(shù)、離散狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程。例9.2

考慮是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,叫做隨機(jī)相位正弦波。例9.3

拋擲一枚硬幣的試驗(yàn),樣本空間S={H,T},

現(xiàn)定義9.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布9.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征9.2.3二維隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和數(shù)字特征

9.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述9.2.1隨機(jī)過(guò)程的分布對(duì)于n維隨機(jī)變量，通常利用n維聯(lián)合分布函數(shù)來(lái)描述它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，隨機(jī)過(guò)程是一族隨機(jī)變量，所以，描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性需要用有限維分布函數(shù)族。設(shè){X(t),tT}為一隨機(jī)過(guò)程。對(duì)每一個(gè)固定的t1T,稱x(t1)的分布函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)，它是x1和t1的二元函數(shù)。變動(dòng)t1T

便得一族分布函數(shù): 稱為一維分布函數(shù)族。

同隨機(jī)變量一樣，若F(x1,t1)

對(duì)x1的偏導(dǎo)數(shù)存在,則稱偏導(dǎo)數(shù)為隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度。稱為一維密度函數(shù)族。顯然，隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)和一維概率密度具有普通隨機(jī)變量的分布函數(shù)和概率密度的各種性質(zhì)，其差別在于前者還是時(shí)間t的函數(shù)。一維分布函數(shù)族只能描述隨機(jī)過(guò)程X(t)在某一孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性。為了描述隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的聯(lián)系，需要定義多維分布函數(shù)族。稱為隨機(jī)過(guò)程的二維分布函數(shù)族。為隨機(jī)過(guò)程的二維分布密度。為隨機(jī)過(guò)程 X(t)的n維分布密度。稱為過(guò)程X(t)的n維分布密度族?？茽柲炅_夫定理：

有限維分布函數(shù)族完全決定了隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。

n維分布函數(shù)族也只能近似地描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，顯然n

越大，n維分布函數(shù)族描述的隨機(jī)過(guò)程的特性愈趨完善。雖然隨機(jī)過(guò)程的有限維分布函數(shù)族可以完整地描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，但是，在實(shí)際應(yīng)用中要確定隨機(jī)過(guò)程的有限維分布函數(shù)族是比較困難的，有時(shí)甚至不可能,而在許多實(shí)際應(yīng)用中往往研究若干個(gè)常用的數(shù)字特征就能滿足要求。9.2.2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征下面，我們仿照對(duì)隨機(jī)變量的研究方法討論幾個(gè)重要的數(shù)字特征。1.均值函數(shù)

我們把隨機(jī)變量X(t)（隨機(jī)過(guò)程對(duì)應(yīng)于某個(gè)固定t值）的二階原點(diǎn)矩記作稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)的均方值函數(shù)。2.均方值函數(shù)與方差函數(shù)X2(t)是t的確定函數(shù)，它描述了隨機(jī)過(guò)程的諸樣本函數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)期望X(t)的偏離程度見圖示。稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)的方差函數(shù)。而把X(t)的二階中心矩。

X2(t)

是非負(fù)函數(shù)，它的平方根稱為隨機(jī)過(guò)程的均方差函數(shù)。

表示隨機(jī)過(guò)程在某時(shí)刻對(duì)于均值的平均偏離程度。 均值和方差刻劃了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，但不能描述過(guò)程在不同時(shí)刻的相關(guān)關(guān)系。 自相關(guān)函數(shù)（簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)）就是用來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間內(nèi)在聯(lián)系的重要數(shù)字特征。 均值和方差刻劃了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性，但不能描述過(guò)程在不同時(shí)刻的相關(guān)關(guān)系，這點(diǎn)可從下圖所示的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)來(lái)說(shuō)明，從直觀上看，它們具有大致相同的均值和方差，但兩者的內(nèi)部結(jié)構(gòu)卻有非常明顯的差別。

3.自相關(guān)函數(shù)具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過(guò)程稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)，記作RX(t1,t2)。稱為隨機(jī)過(guò)程的自協(xié)方差函數(shù)，簡(jiǎn)稱協(xié)方差函數(shù)。此時(shí)相關(guān)函數(shù)即為均方值函數(shù)X2(t)。均值函數(shù)均方值函數(shù)方差函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征之間的關(guān)系均值函數(shù)自相關(guān)函數(shù)最主要的數(shù)字特征例9.4

解均值函數(shù)相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)方差函數(shù)例9.5

解例9.6

求隨機(jī)相位正弦波解(1)均值函數(shù)(2)自相關(guān)函數(shù)9.3.1獨(dú)立增量過(guò)程9.3.2泊松過(guò)程的數(shù)學(xué)模型9.3.3維納過(guò)程的數(shù)學(xué)模型

9.3幾種重要的隨機(jī)過(guò)程特征:在互不重疊的區(qū)間上,狀態(tài)的增量是相互獨(dú)立的。9.3.1獨(dú)立增量過(guò)程可以證明注意(1)為了簡(jiǎn)便，不失一般性，通常可令獨(dú)立增量過(guò)程在起始時(shí)間t0

=0的 如果增量具有平穩(wěn)性,那么增量X(t)X(s)的分布函數(shù)只依賴于時(shí)間差ts,而不依賴于t和s本身。(3)如果增量具有平穩(wěn)性,則稱為齊次獨(dú)立增量過(guò)程。(4)獨(dú)立增量過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)CX(s,t)方差函數(shù)(4)獨(dú)立增量過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)CX(s,t)。1.計(jì)數(shù)過(guò)程考慮下列一些事件:在[0,

t)時(shí)間內(nèi)電話總機(jī)接到的顧客“呼叫”的次數(shù)；某服務(wù)系統(tǒng)在[0,t)時(shí)間內(nèi)要求服務(wù)的顧客人次；機(jī)器在[0,t)時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)等等。用N(t)表示在[0,t)時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件數(shù)。這些事件的共同特點(diǎn)都是考慮在[0,t)時(shí)間內(nèi)某類事件發(fā)生的次數(shù)。

{N(t),t0}是一狀態(tài)取非負(fù)整數(shù)、時(shí)間參數(shù)連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，稱為計(jì)數(shù)過(guò)程。9.3.2泊松過(guò)程它的狀態(tài)空間I={0,1,2,3,}；。102345它的樣本函數(shù)都是遞增的階梯函數(shù)。它的一個(gè)典型的樣本函數(shù)如圖所示，使X(t)的值發(fā)生躍變的時(shí)刻ti,i=1,2,也就是某類事件發(fā)生的時(shí)刻。由定義計(jì)數(shù)過(guò)程滿足以下條件

(1)N(t)0;(2)N(t)取整數(shù)；

(3)若s<t,則N(s)<N(t);(4)當(dāng)s<t,則N(t)?N(s)等于區(qū)間[s,t]中出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)。如果計(jì)數(shù)過(guò)程{N(t),t0},對(duì)于任意的s<t，區(qū)間[s,t]內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)N(t)?N(s)的分布僅依賴于t?s，而與起點(diǎn)t無(wú)關(guān)，則計(jì)數(shù)過(guò)程是平穩(wěn)增量過(guò)程。如果將過(guò)程的增量X(t)-X(t0)記為X(t0,t),0t0<t,它表示時(shí)間間隔[t0,t)內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，則事件“在[t0,t)內(nèi)出現(xiàn)k個(gè)質(zhì)點(diǎn)”就可以表示為{X(t0,t)=k},其概率可以記為

Pk(t0,t)=P{X(t0),t=k},

k=0,1,2,。2.泊松過(guò)程則稱此過(guò)程為

泊松過(guò)程。

3.泊松過(guò)程滿足的條件是相互獨(dú)立的；式中o(t)是當(dāng)t0時(shí)，關(guān)于t的高階無(wú)窮小量,

常數(shù)0。即在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性。即在[t,t+t)內(nèi)事件出現(xiàn)二次及二次以上的概率與出現(xiàn)一次的概率相比，可忽略不計(jì)。

將上面(2)(3)合起來(lái)可得到在[t,t+t)內(nèi)事件不出現(xiàn)的概率為：定義9.6

若隨機(jī)過(guò)程{X(t),t0},滿足以上4個(gè)條件，則稱{X(t),t0},為泊松過(guò)程。定理9.1

定義9.5與定義9.6是等價(jià)的。下面根據(jù)泊松過(guò)程的定義來(lái)討論它的幾個(gè)數(shù)學(xué)特征：均值函數(shù)、自方差函數(shù)及自相關(guān)函數(shù)。4.泊松過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性設(shè){X(t),t>0}是泊松過(guò)程，對(duì)任意t,

t0[0,+),且t0t有即表示單位時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的平均次數(shù)。(1)均值函數(shù)(2)方差函數(shù)：(3)協(xié)方差函數(shù)(4)相關(guān)函數(shù)例9.7:設(shè)和為兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過(guò)程,強(qiáng)度分別為和,求證為強(qiáng)度是的泊松過(guò)程.解：于是：例9.8解定義9.8

如果隨機(jī)過(guò)程{X(t),tT}的任何有限維分布都是正態(tài)分布，則稱{X(t),tT}為正態(tài)過(guò)程，或稱為高斯過(guò)程。9.3.3正態(tài)過(guò)程例9.9解

因?yàn)锳,B是相互獨(dú)立的正態(tài)變量,所以(A,B)是二維正態(tài)變量。都是A,B的線性組合。1.物理背景

英國(guó)植物學(xué)家布朗(Brown)在顯微鏡下,觀察漂浮在平靜的液面上的微小粒子,發(fā)現(xiàn)它們不斷地進(jìn)行著雜亂無(wú)章的運(yùn)動(dòng)