第十六周巧妙求和（二）

專(zhuān)題簡(jiǎn)析：

某些問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求若干個(gè)數(shù)的和，在解決這些問(wèn)題時(shí)，

同樣要先判斷是否求某個(gè)等差數(shù)列的和。如果是等差數(shù)列求和，才

可用等差數(shù)列求和公式。

在解決自然數(shù)的數(shù)字問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的具體特點(diǎn)，有時(shí)可

考慮將題中的數(shù)適當(dāng)分組，并將每組中的數(shù)合理配對(duì)，使問(wèn)題得以

順利解決。

例1：劉俊讀一本長(zhǎng)篇小說(shuō)，他第一天讀30頁(yè)，從第二天起，他每

天讀的頁(yè)數(shù)都前一天多3頁(yè)，第11天讀了60頁(yè)，正好讀完。這本

書(shū)共有多少頁(yè)？

分析與解答：根據(jù)條件“他每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多3頁(yè)”可以

知道他每天讀的頁(yè)數(shù)是按一定規(guī)律排列的數(shù)，即30、33、36....57、

60o要求這本書(shū)共多少頁(yè)也就是求出這列數(shù)的和。這列數(shù)是一個(gè)等

差數(shù)列，首項(xiàng)=30,末項(xiàng)=60,項(xiàng)數(shù)=11,因此可以很快得解：

(30+60)XII4-2=495(頁(yè))

想一想：如果把“第11天”改為“最后一天”該怎樣解答？

練習(xí)一

1,劉師傅做一批零件，第一天做了30個(gè)，以的每天都比前一

天多做2個(gè)，第15天做了48個(gè)，正好做完。這批零件共有多少個(gè)？

2,胡茜讀一本故事書(shū)，她第一天讀了20頁(yè)，從第二天起，每

天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多5頁(yè)。最后一天讀了50頁(yè)恰好讀完，這

本書(shū)共有多少頁(yè)？

3,麗麗學(xué)英語(yǔ)單詞，第一天學(xué)會(huì)了6個(gè)，以后每天都比前一

天多學(xué)1個(gè)，最后一天學(xué)會(huì)了16個(gè)。麗麗在這些天中學(xué)會(huì)了多少

個(gè)英語(yǔ)單詞？

例2：30把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至

多要試幾次？

分析與解答：開(kāi)第一把鎖時(shí)，如果不湊巧，試了29把鑰匙還不行,

那所剩的一把就一定能把它打開(kāi)，即開(kāi)第一把鎖至多需要試29次;

同理，開(kāi)第二把鎖至多需試28次，開(kāi)第三把鎖至多需試27次……

等打開(kāi)第29把鎖，剩下的最后一把不用試，一定能打開(kāi)。所以，

至多需試29+28+27H——\~2+\=(29+1)X294-2=435(次)。

練習(xí)二

1,有8。把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,

至多要試多少次？

2,有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試28次，就能使每把

鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了？

3,有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒

子中去，使各個(gè)盒子里的羽毛球只數(shù)不相等?

例4：求1?99這99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。

分析與解答：首先應(yīng)該弄清楚這題是求99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的數(shù)字之

和，而不是求這99個(gè)數(shù)之和。為了能方便地解決問(wèn)題，我們不妨

把0算進(jìn)來(lái)（它不影響我們計(jì)算數(shù)字之和）計(jì)算。?99這100個(gè)數(shù)

的數(shù)字之和。這100個(gè)數(shù)頭尾兩配對(duì)后每?jī)蓚€(gè)數(shù)的數(shù)字之和都相等,

是9+9=18,一共有100+2=50對(duì)，所以，1?99這99個(gè)連續(xù)自然數(shù)

的所有數(shù)字之和是18X50=900o

練習(xí)四

1,求1?199這199個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。

2,求1?999這999個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。

3,求1?3000這3000個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。

例5：求1-209這209個(gè)連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和。

分析與解答：不妨先求0799的所有數(shù)字之和，再求200?209的所

有數(shù)字之和，然后把它們合起來(lái)。0-199的所有數(shù)字之和為(1+9

X2)X(2004-2)=1900,200?209的所有數(shù)字之和為2義10+1+2+…

+9=65。所以，1-209這209個(gè)連續(xù)自然數(shù)的全部數(shù)字之和為

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