必修3

算法初步

一、算法與程序框圖

1.算法的概念

算法通常是指用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確

和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

2.程序框圖

（1）程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地

表示算法的圖形.。

（2）程序框圖基本圖形及功能，

圖形符號(hào)。名稱。功能。

O.起止框M表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束。

輸入、d

表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息/

LJ輸出框口

處理框。賦值、計(jì)算。

根據(jù)條件決定出口，條件成立出口標(biāo)“】?”或"是”，否

判斷框。

則標(biāo)7或“否”。

（3）基本算法結(jié)構(gòu)

一順序結(jié)構(gòu)

條件結(jié)構(gòu)（兩種）

-r當(dāng)型循環(huán)

_循環(huán)結(jié)構(gòu)

直到型循環(huán)

注：各種框圖結(jié)構(gòu)的功能及注意事項(xiàng)見下節(jié)相應(yīng)語(yǔ)句.

二、基本算法語(yǔ)句

1.賦值語(yǔ)句

格式：變量=表達(dá)式

功能：將表達(dá)式的值賦給變量.

說明：①變量名必須以字母開頭，可以是單個(gè)字母，也可以是一個(gè)字母后面跟若干數(shù)字

或字母，不要使用運(yùn)算符號(hào)、特殊符號(hào)（如+、一、&等）.②每個(gè)賦值語(yǔ)句只能給一個(gè)變量

賦值.③表達(dá)式可以是常數(shù)或單個(gè)變量，也可以是含有常數(shù)及變量的算式，還可以使用系統(tǒng)

提供的函數(shù).④若表達(dá)式中含有左面的變量時(shí)（如A=A+1）,則用變量當(dāng)前的值計(jì)算后賦給

變量，即變量（A）變成表達(dá)式的值，原來的值丟失；當(dāng)左右變量名不同時(shí)（如4=5+1）,

則賦值后右面變量（B）的值不變.

注：①表達(dá)式中常用的運(yùn)算符號(hào)有：+（加）、-（減）、*（乘，不能用x或?，更不

能省略）、/（除，不能用+）、A（乘方）、\（整除，即整數(shù)商）、MOD（余數(shù)）.

②常用的函數(shù)有：ABS（X）（即X的絕對(duì)值，不用|X|）、SQR（X）（X的算術(shù)平方根,

不能用衣）等.注意函數(shù)中的X可以是常數(shù)，也可以是表達(dá)式，但必須放在括號(hào)里.

2.輸入語(yǔ)句，

格式：ZTT”提示信息”；變量P

功能：程序運(yùn)行后，給指定的變量賦值

說明：①提示信息在程序運(yùn)行后顯示在屏幕上，給用戶以提示；②可給多個(gè)變量賦值,

變量間用逗號(hào)分開，程序運(yùn)行后輸入數(shù)據(jù)時(shí)，各數(shù)值間也用逗號(hào)分開，數(shù)的個(gè)數(shù)要與變量個(gè)

數(shù)一致，各個(gè)值分別賦給相應(yīng)位置的變量;③輸入語(yǔ)句沒有計(jì)算功能,只能輸入整數(shù)或小數(shù)，

不能輸入分?jǐn)?shù)、無理數(shù)或函數(shù)值（加1J，點(diǎn)，2/3等）*

注意：①輸入語(yǔ)句對(duì)程序運(yùn)行后才能確定數(shù)值的變量賦值如判定質(zhì)數(shù)時(shí)，用ZTT語(yǔ)

句輸入”，只要每次輸入不同的值，就可以對(duì)不同的數(shù)進(jìn)行判定，若用賦值語(yǔ)句，則每次都

要修改程序.②只能給變量賦值，不能對(duì)表達(dá)式賦值，有些資料上有“INPUTx=5”這樣的錯(cuò)

誤用法，注意避免.

3.輸出語(yǔ)句

格式：PRINT”提示信息”；表達(dá)式

功能：計(jì)算表達(dá)式的值并輸出.

說明：①提示信息在程序運(yùn)行后原樣顯示在屏幕上，起提示作用；②先計(jì)算表達(dá)式的值,

然后輸出在提示信息后面，即輸出語(yǔ)句具有計(jì)算功能；③每次可輸出多個(gè)表達(dá)式，中間用逗

號(hào)或分號(hào)分開，按原順序輸出；④可以只有提示信息而無表達(dá)式，或只有表達(dá)式而無提示信

息.

注意：①程序中一般要有輸出語(yǔ)句；②提示信息要放在英文引號(hào)內(nèi)，即鍵盤上的

左右相同（課本上的引號(hào)是錯(cuò)誤的）.

4.條件語(yǔ)句

格式1：

功能：當(dāng)計(jì)算機(jī)執(zhí)行上述語(yǔ)句時(shí)，首先判定條件是否成立.若條件成立則執(zhí)行語(yǔ)句1,跳

過語(yǔ)句2,否則跳過語(yǔ)句1,執(zhí)行語(yǔ)句2.如

框圖上

格式2：P

功能：計(jì)算機(jī)首先判定條件是否成立.

若成立則執(zhí)行THEN后的語(yǔ)句，否則跳過這些語(yǔ)句，直接執(zhí)行EXDIF后的語(yǔ)句如框圖3

說明：①格式1中的語(yǔ)句1、語(yǔ)句2和格式2中的語(yǔ)句，可以是一個(gè)語(yǔ)句或一組語(yǔ)句，

甚至可以是另一個(gè)條件語(yǔ)句.②ENDIF中間有空格，不要漏掉.③中間的語(yǔ)句向后縮是為了

便于閱讀及查錯(cuò)，不是必須的，但最好縮格在寫R

5.循環(huán)語(yǔ)句

格式：

(1)當(dāng)型循環(huán)：

WHILE條件

循環(huán)體

WEND

功能：先判定條件的真假，若條件成立則執(zhí)行循環(huán)體，然后再判定條件，若條件成立再

執(zhí)行循環(huán)體，…這樣反復(fù)進(jìn)行，直到條件不成立時(shí)退出循環(huán).

說明：當(dāng)型循環(huán)是先判定條件，后執(zhí)行循環(huán)體，因此循環(huán)體可能一次也不執(zhí)行.

(2)直到型循環(huán)：

DO

循環(huán)體

LOOPUNTIL條件

功能：先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后判定條件真假，若條件不感孚再

執(zhí)行循環(huán)體，…這樣反復(fù)進(jìn)行，直到條件成立時(shí)退出循環(huán).

說明：①直到型循環(huán)是先執(zhí)行循環(huán)體，后判定條件，因此循環(huán)體至少執(zhí)行一次.②當(dāng)型

循環(huán)是條件為真時(shí)循環(huán)，直到型是條件為假時(shí)循環(huán).

注：循環(huán)體中一定要有改變條件的語(yǔ)句，否則將構(gòu)成死循環(huán).

三、算法案例

1.輾轉(zhuǎn)相除法

設(shè)m、”是兩個(gè)正整數(shù)(不妨設(shè)，”>〃)，用機(jī)除以〃，商為q,余數(shù)為r,得到除式機(jī)

=〃q+r(0SrV〃).若r#0,則令機(jī)=〃，n=r,再繼續(xù)上面的除法，這是一個(gè)反復(fù)執(zhí)行的步

驟，當(dāng)r=0時(shí)，就得到了機(jī)和〃的最大公約數(shù)為幾

2.更相減損術(shù)

給定兩個(gè)正整數(shù)，若兩數(shù)不相等，則以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)比

較，若兩數(shù)不相等，再用較大的數(shù)減去減小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟，直到兩數(shù)相等為止.最

后這個(gè)等數(shù)就是兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

3.秦九韶算法

用秦九韶算法求多項(xiàng)式/...+aix+典當(dāng).v=.v)時(shí)的值，首先計(jì)算

11=0^0-0^1.再計(jì)算V2=n?xo-az，V3=V2-xo-a^j,...?&=i*「XLao，貝U如就等于/(TO).，

4.數(shù)制轉(zhuǎn)換

(1)十進(jìn)制數(shù)化為*進(jìn)制數(shù)J

方法：除才取余法.即先用人去除十進(jìn)制數(shù)，得到余數(shù)n,再用才去除所得的商，得到

余數(shù)n，…，直到商為0終止，則將所有余數(shù)按相反順序二五寫出來就是k進(jìn)制數(shù)了“

(2)才進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)。

44-1-4，燈=%10M+%T4°HT+一一+勺一10+%-0

統(tǒng)計(jì)

一、隨機(jī)抽樣

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取〃個(gè)個(gè)體作為樣本(?<

N),如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單

隨機(jī)抽樣.

(2)方法：抽簽法(抓閹法)；隨機(jī)數(shù)表法.

(3)適用范圍：總體容量N較小，且沒有明顯的個(gè)體差異.

2.系統(tǒng)抽樣

(1)方法步驟：假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為”的樣本，則步驟如下：

①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；

②確定分段間隔A,對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段，當(dāng).N是整數(shù)時(shí)，取A=N"(當(dāng)N.不是整數(shù)時(shí)，

nnn

要先剔除零頭)；

③在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)

④按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將/加上間隔A得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)a+A),再加

A得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(/+2A),依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本.

(2)適用范圍：總體容量較大，且沒有明顯的個(gè)體差異.

3.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立

地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法就叫做分層

抽樣.

(2)抽取數(shù)量的計(jì)算：各層抽取的數(shù)量之比，等于各層的數(shù)量之比.如各層分別有300,

200,400個(gè)個(gè)體,則從各層中抽取的個(gè)體數(shù)量之比為300：200：400,即3：2：4.

（3）適用范圍：總體容量N較大，且個(gè)體差異明顯（有明顯的層次）.

二、用樣本估計(jì)總體+

1.用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布“

（1）頻率分布直方圖的做法。

①求極差；即最大數(shù)與最小數(shù)的差；，

②決定組距與組數(shù)：組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，常常需要一個(gè)嘗試和選擇的過

程（試題中一般有規(guī)定）；，

③數(shù)據(jù)分組：計(jì)算各小組的頻數(shù)和頻率，列出頻率分布表；。

④畫頻率分布直方圖：圖中縱軸表示頻率,■組距，各小矩形的面積=頻率

（2）莖葉圖：（略）"

2.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體‘

（D眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)時(shí)，可用最高矩形的橫坐標(biāo)

的中點(diǎn)表示.眾數(shù)可能不只一個(gè)e

中位數(shù):將數(shù)據(jù)從小到大排列，則處于正中間的二個(gè)數(shù)叫做中位數(shù).若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，

則取中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù).用頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)時(shí)，可用直線x=m將

直方圖分成左右兩側(cè)面積皆為0.5,此時(shí)m就是中位數(shù).中位數(shù)只有一個(gè).

平均數(shù)：Xl，X2,…，Xn的平均數(shù)為

（2）標(biāo)準(zhǔn)差：X|,X2....X"的標(biāo)準(zhǔn)差為

22

S=—[（-^]X）"+（x2X）+,,,+（x,—x）].

標(biāo)準(zhǔn)差的平方叫方差，用S2表示.

標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，說明數(shù)據(jù)波動(dòng)越小，越穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差越大說明數(shù)據(jù)越分散，越

不穩(wěn)定.

三、變量間的相關(guān)關(guān)系

1.線性相關(guān)與最小二乘法

回歸直線y=6x+a.

2區(qū)一7）（內(nèi)-?。┮弧毙?/p>

——二—------—

E（xi-x）2Xxt~nx：

1-1I

a=y-bx.

注：①計(jì)算，，a的公式不要求記憶.②點(diǎn)（X,J）叫做回歸中心，回歸直線必定經(jīng)過回歸

中心"

2.相關(guān)系效。

，（天一向（”-?。?/p>

T={.

￡（電-bX（yt-y）2

yi-ii-i

注：①kiwi;②r>0為正相關(guān)，r<0為負(fù)相關(guān)；③當(dāng)團(tuán)出.75時(shí)相關(guān)性很強(qiáng).④公式不要

求記憶）

概率

一、隨機(jī)事件的概率

1.概率的相關(guān)概念

（1）事件：我們把在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的必然事件；

在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫做相對(duì)于條件S的不可能事件；必然事件與不可能

事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件；在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做相

對(duì)于條件S的隨機(jī)事件.

（2）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱“

次試驗(yàn)中事件4出現(xiàn)的次數(shù)"A為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例￡,（A）=%為

n

事件A出現(xiàn)的頻率.

（3）概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率工,（A）

穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A）,稱為事件A的概率.

（4）事件的關(guān)系與運(yùn)算

①對(duì)于事件A與事件5,如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件8包含事

件A（或稱事件A包含于事件8）,記作5區(qū)4（或4=5）.

②若52A,且Au5,那么稱事件A與事件5相等，記作A=8.

③若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的

并事件（或和事件），記作4UB（或A+B）.

④若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的

交事件（或積事件），記作408（或48）.

⑤若415為不可能事件，那么稱戴匕4與事件5互斥，其含義是：事件A與