高中數(shù)學(xué)不等式的解法

復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.掌握一元一次不等式(組)，一元二次不等式，分式不等式，含絕對值的不等式,

簡單的無理不等式的解法.

2.會在數(shù)軸上表示不等式或不等式組的解集.

3.培養(yǎng)運(yùn)算能力.

知識回顧

一、一元一次不等式的解法

一元一次不等式ax>b(a手0)的解集情況是

(1)當(dāng)a>0時(shí)，解集為｛x|x>3(2)當(dāng)a<0時(shí)，解集為｛x|x<3

aa

二、一元二次不等式的解法

一般的一元二次不等式可利用一元二次方程^2+bx+c=0與二次函數(shù)y=?2+bx+c

的有關(guān)性質(zhì)求解，具體見下表:

a>0,A=Z?2-4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)[ZJ

y=ax2+/zx+c

的圖象3

一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

有兩實(shí)根

b

ax2+bx+c=QX—Xj—%2=---無實(shí)根

X=再或X=x22a

的根

不等式

一式

{1|%<石或X>%}

2

元的ax+bx+c>Q{x\x^xx]R

二解

的解集

次集

不等式

不

2

等ax+bx+c<Q{x\xr<x<x2}①①

的解集

注：1.解一元二次不等式的步驟:

(1)把二次項(xiàng)的系數(shù)。變?yōu)檎?(如果。<0,那么在不等式兩邊都乘以-1,

把系數(shù)變?yōu)檎?

(2)解對應(yīng)的一元二次方程.(先看能否因式分解，若不能，再看△,然后求

根)

(3)求解一元二次不等式.(根據(jù)一元二次方程的根及不等式的方向)

2.當(dāng)。>0且A〉0時(shí)，定一元二次不等式的解集的口訣：“小于號取中間，大

于號取兩邊”.

三、含有絕對值的不等式的解法

1.絕對值的概念

a(?>0)

問=<0(a=0)

-a(a<0)

2.含絕對值不等式的解：

(1)|x\<a(a>0)o-a<x<a

(2)|x|>a(a>0)o無W-agJtx>a

(3)|/(%)|<?(?>0)o—a<f(x)<a

(4)|f(x)\>a[a>0)of(x)<>a

注：當(dāng)。<0時(shí)，|x|<a無解，|x|>a的解集為全體實(shí)數(shù).

四、一元高次不等式的解法

一元高次不等式/Xx)〉。(或7?QOvO),一般用數(shù)軸標(biāo)根法求解，其步驟是：

(1)將/(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；

(2)將/(x)分解為若干個(gè)一次因式的積；

(3)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線;

(4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出/(x)值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.

如：若《<出<為<…<%，貝U不等式(了-%)(》-。2)…(工一4)>0

或…(尤-％)<。的解法如下圖(即“數(shù)軸標(biāo)根法”)：

五、分式不等式的解法

對于解￡@<a或?a型不等式，應(yīng)先移項(xiàng)、通分，將不等式整理成

g(x)g'(x)

△2>0(<0)或△也>0(<0)的形式，再轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。

g(x)g(x)

(2)翌<0=/(x)?g(x)<0

(1)>o/(%).g(x)>o

g(無)g(x)

(3)f(x)_Cf(x)?g(x)>0收盼//(x)?g(x)4°

>0------suQy

g(x)-1g(x)豐0g(x)[g(x)w0

六、無理不等式的解法

7?>ol申”需

(1)"(X)>Jg(x)型O,g(x)ro)n7H'

J(x)>g(x)

,——/(x)20f/(%)>0

⑵"?6>g(x)型og(x)20或n

：r/、i2g(X)<0

"(X)>[g(X)]2A

f/W>0

⑶J/(x)<g(x)型o-g(x)>0

./(x)<[g(x)]2

經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]如果kx2+2kx-(k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

A.一IWkWOB.—lWk〈0C.-l<k^0D.-Kk<0

[例2]命題A:|x-l|V3,命題5:(x+2)(尤+a)<0,若A是B的充分不必要條件,

則a的取值范圍是

A.(4,+oo)B.[4,+oo)C.(-00,-4)D.(―oo,-4]

V

［例3］已知f(x)=ax+~,若—3〈/⑴<0,3V*2)<6,求/(3)的范圍.

［例4］解不等式(x+2)2(X+3)(x-2)>0

［例5］解關(guān)于x的不等式a(x-")>雙尤+H?)

［例6］關(guān)于x的不等式ax?+以+￡?<0的解集為｛了［l<-2或次>」｝求關(guān)于x的不

等式_fcr+c>0的解集.

[例7]不等式log2(元+,+6)V3的解集為

X

典型習(xí)題導(dǎo)練

L若不等式2/一法+〃<0的解集為{X[1<%<5},貝ij〃=()A.5B.6C.10

D.12

2.已知不等式(加2+4m-5)x2-4(m-l)x+3>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的

取值范圍.

3.關(guān)于X的不等式Q%2+(。一1)%+。一1<0對于%￡氏恒成立，求Q的取值范圍.

4.若不等式28尤+20----〈0的解集為R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

mx+2(m+l)x+9m+4

5.已知不等式x2-4x+3〈0①x2-6x+8<0②2x2-9x+m<0③，要使同時(shí)滿足①②的x

也滿足③，則有()A.m〉9B.m=9C.mW9D.0<m

W9

6.若函數(shù)￡&)=108「『十八2)的值域?yàn)?_8,+8),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

2

A.(-2V2,272)B.[-272,272]

C.(-8,-2亞)U(2后，+8)D.(-℃),-272)U[2拒，+8]

7.關(guān)于x的不等式(k2-2k+-)\(k2-2k+-)的解集為()

22

A.{xIx<—}B.{xIx>—}C.{xIx>2}D.{xIx<2}

22

8.若ax2+bx+c>0的解集為{xIx〈-2或x>4},那么對于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c會有

()

A.f⑸<f⑵<f(-1)B.f⑵<f⑸<f(-1)

C.f(-1)<f⑵<f(5)D.f⑵<f(-1)<f(5)

9.不等式ax2+bx+2〉0的解集為(-4，-),則a+b的值是

23-------------------

10.4x(x+2)-8-32x>0的解集為.

11.設(shè)關(guān)于x的二次方程px2+(p-l)x+p+l=0有兩個(gè)不等的正根，且其中一根大于另

一根的兩倍，求P的取值范圍.

丫2_3Y-k?

12.解不等式，<013.解不等式(X2-4X-5)(X2+X+2)<0

x-2x-3

14.解不等式(x+2)2(x—l)3(x+l)(x—2