習(xí)題2-2一元流動(dòng)用拉格朗日變數(shù)表示x=x(a,t),p=p(a,t),試證明：拉格朗日變數(shù)表示壓

力p的當(dāng)?shù)刈兓蕿椋?/p>

Sp(a")dx(aj)~\dx(aj)

證明：壓力的導(dǎo)數(shù)為"=圖+〃?卬

Dtdt

P的當(dāng)?shù)刈兓蕿?="—

dtDt

式中：號(hào)用拉氏變數(shù)表示為竽

，用拉氏變數(shù)表示為安色

di

▽〃用拉氏變數(shù)表不為———?—

dadt

所以有.前二6pg)『前(。J)/3x(4")[8(a,t)

dtdtdtdaJdt

習(xí)題2-3已知速度分布"r=y,〃、,=x+d+eT,求跡線方程。

5dx

解：w=—=y

xdt

又，:uv=—=x+e+e~'

dt

d2x_dy

=x+er+e~r

drdt

x=C；e'+C)e'H—(rd-fe')

積分可得：~2

,

y=Cie4-C2e~'+g'd+te~')

如果t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位置(。,份，則可得:

a+ba-b

C'=—J-

2-4解：流線

dxdv

——=—

勺勺

dx_dy

A+Bt~~C

可得：

C

x+C

A+Bt

上式為一直線

dX「

二.—=A4+Bt

dt

x=At+-B：2+C.(1)

2■

軌線：蟲=C

dt

y=Ct+G

式2代入式(1)可得：

—(%+。3卜河%+。3『+。2(3)

可見軌線為拋物線。

2-5解：Q=AU

(1)等截面A=const,Q=const

dududu八

「一Ia=—=----Fw—=0

所以：dtdtxvdx

(2)變截面A=A(x),Ux~A(x)

dudu

—+Kx

dtdtx石7

QQ

Aa)

A(x)(A2(x)；

一懸A⑴

2-6解:

=0.0375再+0.0375-2

x=8時(shí)，t=12.9

a=0.135z+0.135A:

則加速度為

2-7解:

雙曲正切函數(shù)tanhx=-——-—(tanh%)'=——^―

d十二cosh2x

令呼

ctanhOU1

dtIcosh20

dudii

a=—+--u

dtdxr

其中：

duU1JU1

—=urr---------------URR-------------r-

dtIcosh2/92//cosh2。

f/21xU2\_

/cosh202/2cosh20

arj

—4==—tanhUtanh0—xtanh6>

dxxV2/2/

可得加速度計(jì)算:

xU2I

—tanh0，Utanh0—xtanh6?

dtdx'/cosh'031rcosh*2/2/

(2)當(dāng)x=l.時(shí);其加速度為

U2]___________]

a=——

2/cosh2f當(dāng)2tanh2f—

7

當(dāng)a=0時(shí),

或cosh?。=23用8=20°sh"

sinh2<9

sinh?"2

(0_-9\2

其中：sinh2<9="y

I2)

e2O+e-2O-\0=0

解得：

產(chǎn)=5土2顯

=ln(5±2#)

所對(duì)應(yīng)時(shí)間：

/1巾±2#)

2-9流體質(zhì)點(diǎn)的速度與質(zhì)點(diǎn)到0X軸的距離成正比，并且與0X軸平行。

求（1）任意點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度（2）求渦線方程。

解:根據(jù)題意可得速度分布

=CJ）廣+Z,Wy—"z=0

以二0

1(dirdu.Cz

21azdx)2Jy2+三

1(3qdux\Cy

22

2(dxdyJ2v+z

（2）渦線方程

-dy-_-dz

COVCD.

dy_dz

Cz~Cy

57777-27^77

J、(.Mr+")=o

渦線方程y2+z?=0,x=const

習(xí)題2-10已知水面高度h不變，求：當(dāng)閥門B打開時(shí)，出口水流速度隨時(shí)間變化和壓力分

布。

解：取A-B間建立伯努利方程（瞬態(tài)）

124/12七Bou?

彳町+上+8/7=;%+上—M/

2P2pAdt

PA=PB=P。

可得：暇架

qB①riduR?,duR

"dtJ。dtdt

.duul,

L--R+—=

dt2

2gh-ui/2L

t=0,“8=0,可得

i

力。arth

%廣『y[2gh

arth(0)=0

%廣意

〃二，2g/?arth

當(dāng)t=8,th(oo)=l

u72gh

壓力分布:

h

乙+g〃=L""+\^-dl

P2Bp卜曲

cidu.P、

-R-dx=—

J*dtp

匕二典二&優(yōu)抹更正

pI21

習(xí)題2-11直角形等截面細(xì)管道ABC,AB=BC=a,BC段水平放置。A端開口，C端可以開閉,

管內(nèi)壁液體密度為p。求C突然打開，管內(nèi)各點(diǎn)處的壓強(qiáng)。

解:取A-C間建立伯努利方程（瞬態(tài)）

〃+4+g〃=；T+J苧

2

乙+小乙十］包d/

p夕J。dt

其中：h=a,l=2a,C處R=0（大氣壓）

ndu入入

P=pga-p--2a=0

xat

也=&

~dt~2

在AB段內(nèi),

VF=ma

du

-p—=~PS

dt3

一.g=Pg

dp1

—=--Pg

oy2

1

p=--psy+c

y=a,P=Po=°

邊界條件：.?.C=1/9ga

2

可得：〃=耳P

在BC段內(nèi)：同理可得（略）

2-14

解：平均動(dòng)能校正系數(shù)

a=

Q=JudA=|（i7+△〃）cZA

=UA=UTTR2

平均動(dòng)能的計(jì)算式：

對(duì)于層流來說：

〃=//（1一%2）dA=Zrrdr

—=——■-71“『max（1_）32兀rdr

22UIR2J。nm/R

1

2

1R

3萬X-

4

2

2U/iR儂

??,12U

，土=U?=為

22

a=2

（2）對(duì)于湍流過程

""max。-/%=L22U

—

u~

27r『dr

2翳

,.,F=R-yfy=R-rrdr=-dy

u*2一1.22力3"/（%）（粉

萬二與嬴Hr/y24一加，

-iRU

d%A(%e=0.52爐

R2170

"1.04

2-15解：

理想氣體的伯努利方程

5〃；+gZ|=5〃；+gZ2+['P2dp

Pldp

對(duì)于等溫過程

1_Pi-

廠布-

=—In—=—In1+P2-Pl

P\PiPiI〃l

二〃2-P+…

Pi2Pl3P,

為使上式右邊括號(hào)中值等于1,則

"bOtp2_%?2Pl

2Pl

所以滿足伯努利方程的條件是壓差應(yīng)遠(yuǎn)小于進(jìn)口壓力。

2-18解：

nK(n+l)0

ur=aKre-,uo=4""」…

,“胃QKW

ar^_

:.w=-K("+l)0+/(r)

n+\

)=—3e…-/⑺

uo

or

%川'

??J(，)=o,/（「）=（）

y/=-are-K{，l+V>0

n+\

u*2=〃；+〃；=a2rlne~2K^X}0(k2+1)

nK(n+})O2

u=。=are-yl(k+\)

2-19解：

(1)剛體一樣運(yùn)動(dòng)，強(qiáng)制渦，利用靜力學(xué)歐拉方程:

dp+gdz-arrdr=0

-a)2r2-gz+C

P=P2J

積分可得：

邊界條件：

r=0,z=0p=Po

C—Po

代入可得

fl2o)

p=p\-(o~r-gz+p0

壓力分布：(2；

自由面即等壓面

dp=0

gdz-(ifrdr=0

co2-r2

---gz=c

r=0,z=0

自由液面經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,則

c=o

可得:

---g4=0

Zs是自由液面上點(diǎn)z的坐標(biāo)。

（2）自由渦

_C_n

ll0—一_42_0

歐拉方程簡化后:

r

卬

=PM)

ar型

加=Pg

,dp.dp,c2,.

dp=—ar+—az=p—ar-pgaz

drdzr

積分有:

P=-P—+

2r

r->^,z=z0/?=p0

c2

G=p()+0『+0gz。

2獷

c2(11]

P-Pa=-P———￡-Pg(Zo-z)

2Hr)

等壓面:

2-20解：管內(nèi)%ur=0

r=§0r?rdO=，二①J。de=2乃/①

r

Q=—=269

A

管外：

k

%=一u=0

rr

k2

當(dāng)r="—=cor0:.k=(or

對(duì)于自由渦：

*廠r

u=——r=c

0r

2-21解：無旋運(yùn)動(dòng)

，廠分生

Q=2<w=Vxi/=-_a_a_a_

rdrd。dz

co.=0

J13(%)=0

2rdr

將所給速度表達(dá)式代入即可得。

2-22解：

無旋流流函數(shù)疊加：

均勻流：=Uy=Ursin0

源：

L71

〃=%+%=—O-\-Urs\x\0

2萬

u,

rd627rr

=-^-=-Usin。

dr

表面駐點(diǎn)位置:

u0=0,0=4、ur=+Ucos0=0

2乃廠

Q

21U

W==—0+UrsinOu=C

24o

,c=2

2

過駐點(diǎn)的流線方程:

0-etU『sin肌=2

2萬2

可得T%)

0=71

sin。2TTU

-12

〃2=〃；+A/j=+U