現(xiàn)代控制理論第3版課后全部答案

第一章答案

1-1試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。

解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

令0(s)=y,則y=X]

所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為

1-2有電路如圖1-28所示。以電壓〃?)為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻R2

上的電壓作為輸出量的輸出方程。

解：由圖，令=司,，2輸出量y=此々

/?內(nèi)+M+X3=〃

有電路原理可知：L既得

2X2+R2X2=X3

X]=x2+Cx3

寫成矢量矩陣形式為：

1-4兩輸入人，兩輸出乃，力的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。

解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示：

1-5系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列微分方程描述

列寫其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。

解：令％]=y,x2=y9x3=y,則有

相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：

1-6(2)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)W(s)=6：+J)之，試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn),并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖

1()1

W(s)=—6($+”,-43

解:_?3+-----+3

s(s+2)(s+3產(chǎn)(s+3)~5+3s+2

1-7給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式

y=[()0\x2

(I)畫比其模擬結(jié)構(gòu)圖

(2)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解：

s-10

(2)W(s)=(s/-A)=25+30

1-1s+3

1-8求下列矩陣的特征矢量

-01o-

(3)4=302

-12-7-6

4-10

解：A的特征方程|2/-A|=-3A—2=才+6矛+114+6=0

1274+6

解之得：A1=-UA2=-2^=-3

0

當(dāng)4二一1時(shí)，3

-12

解得：/%=P3nl令為=1得

（或令二一1,得片

0

當(dāng)4二一2時(shí),3

-12

P122

解得：〃22=-2p12，〃32=g〃l2令〃12=2

得P?=P12=-4

〃32__1.

(或令pl2=1?得g

0

當(dāng)％=-3時(shí),3

-12

解得：〃23二一383，〃33=3化3令PlG得

1-9將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解）

M120

2-4-12

解：A的特征方程|2/-A|=-14-2=(2-l)U-3)2=0

-11A-3

41

當(dāng)4=3時(shí)，1（）

1-1

解之得p2i=PM=P11令P”=1得

■41-2Pu~PiT

當(dāng)4=3時(shí)，102P21=3P214-1

1-13__Py\.A.1

解之得Pl2=P22+L〃22=。32令P12=1得

4

當(dāng)々-1時(shí),1

1

解之得〃13=°，〃23=2〃33令由3=1得

約旦標(biāo)準(zhǔn)型

1-10已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為W|⑸和W2（s）

試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)連接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,并討論所得結(jié)果

解：（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)

（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié)

1-11（第3版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：

1-11（第2版教材）己知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：

1-12已知差分方程為

試將其川離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使融動(dòng)函數(shù)u的系數(shù)b（即控制列陣）為

1

(I)b=

1

解法I:

解法2：

求T,使得廣5=?得L=所以

01

所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為

第二章習(xí)題答案

2-4用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函數(shù)e*。

1n

(2)A二

[41J

解：第一種方法:令同一4=0

/I—1—1

則,即(4_1)2_4=0。

-42-1

求解得到4=3,4=-1

當(dāng)4=3時(shí)，特征矢量P1=

由AP|=/P],得:1P"=:P"

L413P2]

川J〃n+〃2i=3purr

即Lc，可令Pi=八

4p”+P2i=3〃21_2_

當(dāng)4二-1時(shí)，特征矢量“2=

…小

12一〃12

由4〃2=4〃2，得=

1022~P12

P\2^P22=~Pn1

即《，可令〃2=

4巧2+〃22=一〃22-2

11廠1=24

則7=

2-2_

,2~4

第二種方法，即拉氏反變換法：

第三種方法.即凱萊一哈密頓定理

由第一種方法可知4=3,4=-1

2-5下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件,如果滿足,試求與方對(duì)應(yīng)的A陣。

-/+*)

4二十力

(3)o(r)=(4)①(。=

/十叫

2

10

解：(3)因?yàn)?)(0)==/,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

01

10

(4)因?yàn)棰?())==/,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

01

2-6求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解:

初始狀態(tài)x(°)=；

，輸入時(shí)單位階躍函數(shù)。

01

解：4=

00

0

因?yàn)锽=

%和〃2為分段常數(shù)。

解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖

列出狀態(tài)方程

則離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為

由G(T)=不和”(T)=力3得:

/0

當(dāng)T=1時(shí)+1)=x(%)+

l-e_,1ke~l-1

第三章習(xí)題

3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對(duì)能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取

值條件如何?

解：由圖可得:

狀態(tài)空間表達(dá)式為:

由于修、工3、匕與〃無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于y只與.有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全

能觀的，為不能觀系統(tǒng)。

(3)系統(tǒng)如下式:

解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對(duì)于約旦塊的最后一行

元素不能為0，故有。工0,人工0。

要使系統(tǒng)能觀，則C中對(duì)應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0,故有cwo,"wo。

3-2時(shí)不變系統(tǒng)

試用兩種方法判別其能控性和能觀性。

解：方法一：

方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。

11

--

2

TT21

1-

--

22

T"B中有今為零的行，系統(tǒng)不可控。CT中沒有全為0的列，系統(tǒng)可觀。

3.3確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)％和力

解：構(gòu)造能控陣：

要使系統(tǒng)完全能控，則%，即%+1工。

構(gòu)造能觀陣：

要使系統(tǒng)完全能觀，則，即4-%+1，。

3-4設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

（1）當(dāng)a取何值時(shí)，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？

（2）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。

（3）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。

）心）_s+a

解：（1）方法1：卬⑸二

〃(s)(s+l)(s+3)(s+6)

系統(tǒng)能控且能觀的條件為W（s）沒有零極點(diǎn)對(duì)消。因此當(dāng)a=l,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

方法2：

系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)a=l,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

（2）當(dāng)a=l,a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型

（3）根據(jù)對(duì)偶原理，當(dāng)a=l,a=2或a=4時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)H型為

3-6已知系統(tǒng)的微分方程為：y+611y+6y=6u

試寫出其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。

解：aQ=6,a,=11,a2—6?c73=3>%=6

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

傳遞函數(shù)為

其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

傳遞函數(shù)為W（s）=-------------

53-652-115+6

3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

s2+6s+82s+5

解:W(s)==1+

1+4s+3/+4s+3

系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為

能觀標(biāo)準(zhǔn)n型為

3-10給定不列狀態(tài)空間方程,試判別具是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

01

解：4=-2-3C=[001]

-11

3-11試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解

2

(1)4=01-11]

0-4

解:

0-4

M=\bAbA2/7]=000rankM=2<3,系統(tǒng)不是完全能控的。

139

0

構(gòu)造奇異變換陣4：%=b=0其中&是任意的，只要滿足（滿秩。

1

0-1030

即Rt=001得RT=-10

I3001

3-12試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

12-I0

(1)0I0,b=0,C=[1-11]

0-43

12-1

解:由已知得4=0101]

0-43

C1-11

則有N=CA2-32

CA24-74

rankN=2<3,該系統(tǒng)不能觀

1-11

構(gòu)造非奇異變換矩陣有發(fā)；2-32

001

3-1-1

則凡廣2-10

001

3.13試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

10

(1)A=2212]

-20

1

解：由已知得知=「人AbAb2=21226

一70-2

rankM=3,則系統(tǒng)能控

rankN=3,則系統(tǒng)能觀

所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)

1

-7

4-

一11-4

1

21

則

取=瑤=-

102I262

2-53

1

-

-4

I-24

0021

則回

10-5,B=T；；b=0,c=cle2=[71323]

0140

3-14求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)。

111

(1)w(s)=

7+Tii

1-10

解:%=1，B（）=A=

110-1

101100

B<.=?C=

01c1100

系統(tǒng)能控不能觀

取R-]=，則%=

010

-1011

所以X=XiA&二，月=綜區(qū)=

0-101

-1000

C=CR=[,D=

000

1A

B,n=[111,Cm=00

所以最小實(shí)現(xiàn)為4=i,，a=

wLJ”[00

驗(yàn)證：瓦\(yùn)\=卬6)

?JI111

3-15設(shè)Z利％是兩個(gè)能控且能觀的系統(tǒng)

(1)試分析由2和7所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，棄寫出其傳遞函數(shù);

(2)試分析由乙和7所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)。

解:

(1)Z和7串聯(lián)

當(dāng)之的輸出,是％的輸入〃2時(shí)，芻二

0

x=-3y=[001卜

2

則rankM=2<3,所以系統(tǒng)不完全能控。

當(dāng)％得輸出為是%的輸入/時(shí)

01

x=-3—4產(chǎn)[210]x

00

001

因?yàn)镸=[Z?AbA%]=01-6

1-2-4

rankM=3則系統(tǒng)能控

c210

因?yàn)镹=cA-3-21

“2654

rankN=2<3則系統(tǒng)不能觀

(2)%和％并聯(lián)

01

-3-4V=[21心

00

因?yàn)閞ankM=3,所以系統(tǒng)完全能控

因?yàn)閞ankN=3,所以系統(tǒng)完全能觀

現(xiàn)代控制理論第四章習(xí)題答案

4-1判斷下列二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì):

(1)Q{x)=一x；-3x；-1lx；+2X1X2-x2x3-2%與

(2)V(x)=X；++X；-2中2-6/芻-2中3

解：(1)由已知得

1

A,=-l<0,A=2>0,1

2~27<°

-11

2

因此。（x）是負(fù)定的

（2）由已知得

-1-1

-1

A)=1>0,A=3>0,△4-3=-16<0

24

-31

因此Q。）不是正定的

4-2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程:

試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。

解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求滿足A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。

即:

有解，旦解具有負(fù)實(shí)部。

aa

&P：qI+a22<0且q【a”>\i2\

方法（2）：系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)七=0為大范圍漸近穩(wěn)定，等價(jià)于A7P+P4=-。。

匕片2

取。=/,令夕二，則帶入TP+P4=-Q,得到

片2^22

2%0

若

%a2]=4（an+。22）（%〃22一。12。21），則此方程組有唯一解。即

02a2。

其中detA=同=4

要求P正定，則要求

因此a“十。22<。，且detA>0

4-3試用lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。

-1

(1)x=x

2

(2)x=x

解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是七=0。選取Lyapunov函數(shù)為=>0,則

V*）是負(fù)定的。8,有VQ）-8。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。

(2)系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是七=0。選取Lyapunov函數(shù)為V*)=x；+x；>0,則

0")是負(fù)定的。國(guó)f8,有VO)-8。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。

4-6設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：

取P=/

很明顯，Q(x)的符號(hào)無法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數(shù)為V(x)=x；+旺>0,則

句幻是負(fù)定的。||x||->oo,有V(x)-8。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。

4-9設(shè)非線性方程：

試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。

解：(1)采用克拉索夫斯基法，依題意有：

N-8，有V(X)->8。

取用/

則。⑴』°,一"3匯］，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：

_-l+3x,22

A,=0,A.=°,3片一1=(31;_1)2〉0,Q(x)的符號(hào)無法判斷。

一1+3占2

(2)李雅普諾夫方法：選取Lyapunov函數(shù)為丫(入-)=］司4+；尺>0，則

自幻是負(fù)定的。忖|f8,有V*)-8。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。

4-12試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)

解：假設(shè)V。)的梯度為：

計(jì)算V。)的導(dǎo)數(shù)為：

選擇參數(shù)，試選旬=%=1,%=%=°，于是得:

vv=fx,L顯然滿足旋度方程>=>，即如=強(qiáng)=0,表明上述選擇的參數(shù)是允許的。則有：

cv2oxyox2ox］

如果1-2中2>0圖w<；，則O(x)是負(fù)定的，因此，X&是不和蒞的約束條件。

計(jì)算得到V。)為：

V*)是正定的，因此在1-2XR>0即玉工2<K范圍內(nèi)，工=0是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

4

現(xiàn)代控制理論第五章習(xí)題答案

5-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為:

試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為-1,-2,-3。

解：依題意有：

-01「

M=[bAhA2h'\=012rankM=3,系統(tǒng)能控。

112

系統(tǒng)Zo=（A,Z?,C）的特征多項(xiàng)式為：

-010][0-

則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有元=001x+0

-1-231

引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x=（A+bK）x+buf其中K為1x3矩陣，設(shè)長(zhǎng)=[匕k、k2],則系統(tǒng)

ZK=（A〃K。的特征多項(xiàng)式為：

根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為：

比較/（%）與/“（⑷各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得：k°=-5k、=—9刈=-9,則有：K=[5-9-9]o

5-3有系統(tǒng)：

（1）畫加模擬結(jié)構(gòu)圖。

（2）若動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點(diǎn)？

（3）若指定極點(diǎn)為-3,-3,求狀態(tài)反饋陣。

解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：

（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)Zo=（A〃，C）完全能控。

對(duì)于系統(tǒng)Zo=（A〃,C）有:

rankM=2f系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點(diǎn)。

（3）系統(tǒng)Zo=（A〃，C）的特征多項(xiàng)式為:

010

則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有x=x+

-2-31

引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x=（A+bK）x+bu,設(shè)