湖南省常德市武陵區(qū)第一中學2024-2025學年數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，記，，則（）A． B．C． D．2．設復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．3．在直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則函數(shù)的圖像可能是()A． B． C． D．5．已知，是第四象限角，則（）A． B． C． D．76．已知曲線，給出下列命題：①曲線關(guān)于軸對稱；②曲線關(guān)于軸對稱；③曲線關(guān)于原點對稱；④曲線關(guān)于直線對稱；⑤曲線關(guān)于直線對稱，其中正確命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知雙曲線的方程為，則下列說法正確的是（）A．焦點在軸上 B．漸近線方程為C．虛軸長為4 D．離心率為8．函數(shù)的圖象為（）A． B．C． D．9．若變量，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是（）A． B． C． D．11．設函數(shù)，若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．12．對任意復數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線：的焦點，過且斜率為的直線交于，兩點，設，則_______.14．如圖，頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，母線PA=4，O是底面圓心，B是底面圓內(nèi)一點，且AB⊥OB，C為PA的中點，OD⊥PB，垂足為D，當三棱錐O-PCD的體積最大時，OB=______．15．設隨機變量服從正態(tài)分布，且，則__________．16．拋物線上的點到其焦點的距離為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）臍橙營養(yǎng)豐富，含有人體所必需的各類營養(yǎng)成份，若規(guī)定單個臍橙重量（單位：千克）在[0.1，0.3）的臍橙是“普通果”，重量在[0.3，0.5）的磨橙是“精品果”，重量在[0.5，0.7]的臍橙是“特級果”，有一果農(nóng)今年種植臍橙，大獲豐收為了了解臍橙的品質(zhì)，隨機摘取100個臍橙進行檢測，其重量分別在[0.1，0.2），[0.2，0.3），[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7]中，經(jīng)統(tǒng)計得到如圖所示頻率分布直方圖（1）將頻率視為概率，用樣本估計總體．現(xiàn)有一名消費者從臍橙果園中，隨機摘取5個臍橙，求恰有3個是“精品果”的概率．（2）現(xiàn)從摘取的100個臍橙中，采用分層抽樣的方式從重量為[0.4，0.5），[0.5，0.6）的臍橙中隨機抽取10個，再從這10個抽取3個，記隨機變量X表示重量在[0.5，0.6）內(nèi)的臍橙個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．18．（12分）在中，己知（1）求的值；（2）求的值.19．（12分）設函數(shù)，，，其中是的導函數(shù).（1）令，，，求的表達式；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）設函數(shù).（1）當時，求的極值；（2）當時，證明：.21．（12分）已知.(1)當，時，求不等式的解集；(2)當，時，的圖象與x軸圍成的三角形面積大于24，求的取值范圍．22．（10分）如圖，四棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)f（x）為偶函數(shù)便可求出m=0，從而f（x）=，這樣便知道f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，便可將自變量的值變到區(qū)間[0，+∞）上：，，，然后再比較自變量的值，根據(jù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性即可比較出a，b，c的大?。斀猓骸遞（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x）.∴，∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|，∴（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2，∴mx=0，∴m=0.∴f（x）=∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，并且,,c=f（0）,∵0＜log21.5＜1∴,故答案為C點睛：（1）本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析出函數(shù)f（x）=的單調(diào)性，此處利用了復合函數(shù)的單調(diào)性，當x>0時，是增函數(shù)，是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以函數(shù)是上的減函數(shù).2、D【解析】分析：先根據(jù)復數(shù)除法得，再根據(jù)復數(shù)的模求結(jié)果.詳解：因為，所以,因此選D.點睛：首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數(shù)相關(guān)基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為3、C【解析】分析：由題意角的終邊經(jīng)過點，即點，利用三角函數(shù)的定義及誘導公式，即可求解結(jié)果.詳解：由題意，角的終邊經(jīng)過點，即點，則，由三角函數(shù)的定義和誘導公式得，故選C.點睛：本題主要考查了三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)誘導公式的應用，其中熟記三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的誘導公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.4、D【解析】

根據(jù)導數(shù)的幾何意義和，確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)的導函數(shù)為，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選：D．本題考查函數(shù)的圖象與其導函數(shù)的關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．5、A【解析】

通過和差公式變形，然后可直接得到答案.【詳解】根據(jù)題意，是第四象限角，故，而，故答案為A.本題主要考查和差公式的運用，難度不大.6、C【解析】

根據(jù)定義或取特殊值對曲線的對稱性進行驗證，可得出題中正確命題的個數(shù).【詳解】在曲線上任取一點，該點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，且，則曲線關(guān)于軸對稱，命題①正確；點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，且，則曲線關(guān)于軸對稱，命題②正確；點關(guān)于原點的對稱點的坐標為，且，則曲線關(guān)于原點對稱，命題③正確；在曲線上取點，該點關(guān)于直線的對稱點坐標為，由于，則曲線不關(guān)于直線對稱，命題④錯誤；在曲線上取點，該點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，由于，則曲線不關(guān)于直線對稱，命題⑤錯誤.綜上所述，正確命題的個數(shù)為.故選：C.本題考查曲線對稱性的判定，一般利用對稱性的定義以及特殊值法進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.7、B【解析】

根據(jù)雙曲線方程確定雙曲線焦點、漸近線方程、虛軸長以及離心率，再判斷得到答案.【詳解】雙曲線的方程為，則雙曲線焦點在軸上；漸近線方程為；虛軸長為；離心率為，判斷知正確.故選：本題考查了雙曲線的焦點，漸近線，虛軸長和離心率，意在考查學生對于雙曲線基礎知識的掌握情況.8、A【解析】

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，對比選項中的函數(shù)圖象，從而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，時，，在上遞增；時，，在上遞減，只有選項符合題意，故選A.本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.9、B【解析】分析：根據(jù)題意，將化簡成斜率的表達形式；所以就是求可行域內(nèi)與連線斜率的取值范圍加1,。詳解：，原式表示可行域內(nèi)的點與連線的斜率加1。由不等式組成的可行域可表示為：由圖可知，斜率最小值為斜率最大值為所以斜率的取值范圍為所以所以選B點睛：本題考查了斜率的定義，線性規(guī)劃的簡單應用。關(guān)鍵是掌握非線性目標函數(shù)為分式型時的求法，屬于中檔題。10、B【解析】

根據(jù)奇函數(shù)的定義或性質(zhì)求出，然后可求出導函數(shù)，得切線斜率，從而得切線方程【詳解】∵是奇函數(shù)，∴，∴，，是奇函數(shù)，，，，切線方程為，即．故選B．本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的奇偶性，本題難度一般．11、B【解析】很明顯，且應滿足當時，類指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值不大于一次函數(shù)的函數(shù)值，即，解得：，即實數(shù)的取值范圍是.本題選擇B選項.點睛：(1)問題中參數(shù)值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標準、全面的考慮；(2)求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結(jié)果是否符合要求．12、B【解析】分析：由題可知，然后根據(jù)復數(shù)的運算性質(zhì)及基本概念逐一核對四個選項得到正確答案.詳解：已知則選項A，，錯誤.選項B，，正確.選項C，，錯誤.選項D，，不恒成立，錯誤.故選B.點睛：本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義、復數(shù)模的計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組解得交點的橫坐標，再由焦半徑公式得出，求比值即得?！驹斀狻柯?lián)立，可得，解得，所以，故答案為：。本題考查直線與拋物線相交問題，考查焦半徑公式。解題方法是直接法，即解方程組得交點坐標。14、2【解析】

根據(jù)圖形，說明PC是三棱錐P-OCH的高，△OCH的面積在OD=DC=2時取得最大值，求出OB【詳解】AB⊥OB，可得PB⊥AB，即AB⊥面POB，所以面PAB⊥面POB．OD⊥PB，則OD⊥面PAB，OD⊥DC，OD⊥PC，又，PC⊥OC，所以PC⊥面OCD.即PC是三棱錐P-OCD的高.PC=OC=2．而△OCD的面積在OD=DC=2時取得最大值(斜邊=2的直角三角形)當OD=2時，由PO=22，知∠OPB=故答案為：26本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積等知識，考查空間想象能力，屬于中檔題．15、【解析】分析：根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，看出這組數(shù)據(jù)對應的正態(tài)曲線的對稱軸，根據(jù)正態(tài)曲線的特點，得到，從而可得結(jié)果.詳解：隨機變量服從正態(tài)分布，，得對稱軸是，所以，可得，故答案為.點睛：本題考查正態(tài)曲線的性質(zhì)，從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰，對稱呈種形的曲線，其對稱軸，并在時取最大值，從點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近軸，但永不與軸相交，因此說明曲線在正負兩個方向都是以軸為漸近線的.16、5【解析】

先計算拋物線的準線，再計算點到準線的距離.【詳解】拋物線，準線為：點到其焦點的距離為點到準線的距離為5故答案為5本題考查了拋物線的性質(zhì)，意在考查學生對于拋物線的理解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)題意，先得到隨機摘取一個臍橙，是“精品果”的概率為0.5，并且隨機摘取5個臍橙，其中“精品果”的個數(shù)符合二項分布，再根據(jù)二項分布的概率公式，列出式子，得到答案.（2）先判斷出可取的值為0，1，2，3，分別計算出其概率，然后列出概率分布列，再根據(jù)隨機變量的數(shù)學期望公式，計算出其數(shù)學期望.【詳解】（1）從從臍橙果園中，隨機摘取5個臍橙，其中“精品果”的個數(shù)記為Y，由圖可知，隨機摘取一個臍橙，是“精品果”的概率為：0.2+0.3＝0.5，∴Y～B（5，），∴隨機摘取5個臍橙，恰有3個是“精品果”的概率為：P（Y＝3）．（2）依題意，抽取10個臍橙，重量為[0.3，0.4），[0.4，0.5）的個數(shù)分別為6和4，X的可能取值為0，1，2，3，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3），∴X的分布列為：X0123PE（X）．本題考查滿足二項分布的概率問題，以及隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望，屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】

（1）通過，可計算出C角正弦及余弦值，于是通過誘導公式可得答案；（2）通過，可得，再利用可得答案.【詳解】(1)在中,由于，故，解得，所以；（2）由（1）可知，而，所以，所以.本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，誘導公式的運用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力及分析能力，難度不大.19、（1）；（2）.【解析】分析：（1）求出的解析式，依次計算即可得出猜想；

（2）已知恒成立，即恒成立．設(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，對進行討論，求出的最小值，令恒成立即可；詳解：由題設得，g(x)＝(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用數(shù)學歸納法證明．①當n＝1時，g1(x)＝，結(jié)論成立．②假設n＝k時結(jié)論成立，即gk(x)＝.那么，當n＝k＋1時，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對n∈N＋成立．所以gn(x)＝.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．設φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，當a≤1時，φ′(x)≥0(僅當x＝0，a＝1時等號成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1時，ln(1＋x)≥恒成立(僅當x＝0時等號成立)．當a>1時，對x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減，∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1時，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷與最值計算，數(shù)學歸納法證明，分類討論思想，屬于中檔題．20、（1）當，取得極小值；當時，取得極大值；（2）見解析.【解析】【試題分析】(1)當時,利用導數(shù)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進而求得函數(shù)的極值.(2)當時,化簡原不等式得,分別利用導數(shù)求得左邊對應函數(shù)的最小值,和右邊對應函數(shù)的最大值,最小值大于最大值,即可證明原不等式成立.【試題解析】（1）當時，，，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減．所以，當，取得極小值；當時，取得極大值．（2）證明：當時，，，所以不等式可變?yōu)椋C明上述不等式成立，即證明．設，則，令，得，在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．所以．令，則，在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，所以，所以，即，即，由此可知．【點睛】本小題主要考查函數(shù)導數(shù)與極值的求法.考查利用導數(shù)證明不等式成立的問題.求函數(shù)極值的基本步驟是:首先求函數(shù)的定義域,其次對函數(shù)求導,求導后一般需要對導函數(shù)進行通分和因式分解,然后求得導函數(shù)的零點,即原函數(shù)的極值點,結(jié)合圖象判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并得出是最大值還是最小值.21、（1）；（2）.【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，利用零