第1頁共7頁合肥師范學院2017級《線性代數(shù)》課程試卷試卷A考試方式閉卷考試時間（120分鐘）命題人：題號一二三四五總分得分得分一、選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿分16分。每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1、若n階矩陣A的第一行的3倍加到第二行后得矩陣B,則不正確的是（）。(A)與等價；(B)與相似；（C）；(D)。2、和均為階矩陣，且，則必有（）(A)；(B)；（C）.(D)。3、設為階非奇異矩陣，為的伴隨矩陣，則()(A)；(B)；(C)；(D)。4、和均為階矩陣且，則必有（）。（A）；（B）；(C)；(D)。得分二、填空題（本題共4小題，每題4分，滿分16分）5、設,,,都是3×1矩陣,分塊矩陣,,若2,3,則=。6、設矩陣為正交矩陣，則，。7、設，，若與線性相關(guān)，則＝。8、向量。得分三、計算題（本題共2小題，每題8分，滿分16分）9、計算；10、已知矩陣（1）求；（2）求可逆矩陣，使得。得分四、證明題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分）11、設向量組線性無關(guān)，而線性相關(guān)，但不能由線性表出，證明：可以由線性表出，且表示法唯一．.12、如果，則稱是對合矩陣。設和都為對合矩陣，則是對合矩陣的充分必要條件是得分五、解答題（本題共3小題，每小題12分，滿分32分）13、設，求。14、討論取什么值時下列線性方程組有解，并求解．15、設二次型的秩為2。（1）、求參數(shù)以及此二次型對應矩陣的特征值；（2）指出表示何種曲面。解答和評分標準一、選擇題1、B；2、D；3、A；4、C。二、填空題5、20;6、，；7、-1；8、-9。三、計算題9、解：將所有列全加到第一列并提起公因子，得（4分）所有列減去第一列，得．（4分）10、解：（1）、由于A與B相似，則。因為，，則。（4分）（2）、因為的特征值為，所以A的特征值為。當時，它對應的特征向量為當對于時，它對應的特征向量為當時，它對應的特征向量為。取，則。（4分）11、證明：（1）先證可以由線性表出：因為線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)，使得．由于不能由線性表出，故必有，下證．用反證法：若，則，由于不全為零，故不全為零，與線性無關(guān)的假設矛盾，于是，得到．（4分）（2）下證表示法唯一：設，，則，即，由于線性無關(guān)，故，即（），于是表示法唯一．（4分）12、證明：和都為對合矩陣，則，。（1）、若是對合矩陣，則兩邊左乘，右乘，得。（4分）（2）、若，則，所以是對合矩陣。（4分）13、解：由，得的特征值為，。（4分）對應的特征向量為，對應的特征向量為。因為，則與正交。與單位化得，，取，則是正交矩陣，且。從而故。（4分）下面計算。（4分）14、解：系數(shù)行列式為（3分）（1）、當且時，方程有唯一解。對增廣矩陣做初等行變換，得，故得唯一解為。（3分）（2）、當時，增廣矩陣，此時方程組無解。（3分）（3）當時，增廣矩陣，有無窮多組解。原方程組等價于，其中為自由未知量。通解為，為任意數(shù)．（3分）15、解：設二次型的矩陣為（2分）對做初等行變換因為的秩為2，則秩也為2，從而。當時，容易計算，于是的特征值為，，。