第八章實(shí)數(shù)單元重難點(diǎn)題型歸納與訓(xùn)練題型歸納題型歸納題型講解題型講解一.利用平方根，算術(shù)平方根和立方根求算式中字母的值【題型解讀】此種題主要是根據(jù)平方根，算術(shù)平方根和立方根的定義，及其表達(dá)形式，求字母的取值，主要考查了方程思想.例1．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）若是的算術(shù)平方根，，則的立方根為．例2．（24-25八年級上·江蘇鹽城·期末）已知的平方根為的立方根為4．(1)求的值；(2)求的平方根．對應(yīng)練習(xí)：1.（23-24八年級上·山東青島·期中）已知的平方根是，的立方根為．(1)求a與b的值；(2)求的算術(shù)平方根．2.（24-25八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根．3．（24-25八年級上·陜西咸陽·期中）已知，的立方根是2．(1)求的算術(shù)平方根；(2)求的立方根．4.（23-24七年級下·四川·階段練習(xí)）已知是的算術(shù)平方根，是的立方根，求的立方根．【解法提煉】根據(jù)平方根，算術(shù)平方根和立方根定義建立方程，解方程即可求得字母的取值二.平方根和立方根性質(zhì)問題【題型解讀】此種題型主要考查一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)和如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)那么它們的立方根也互為相反數(shù)例1．（23-24七年級上·山東煙臺(tái)·期末）已知正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是和，且與相等，求的算術(shù)平方根．例2．（24-25七年級下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）如果和是一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根，那么這個(gè)非負(fù)數(shù)是．例3．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）已知與互為相反數(shù)，求的立方根．對應(yīng)練習(xí)：1.（23-24七年級下·重慶長壽·期末）若實(shí)數(shù)的平方根是和，的立方根是，求的算術(shù)平方根．2．（23-24七年級下·河北廊坊·期末）一個(gè)正數(shù)m的平方根是和，求正數(shù)m的立方根．3.（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）已知33y?1與31?2x互為相反數(shù)，且x≠0,y≠0求xy4．（24-25八年級上·河南·期中）已知正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是和，負(fù)數(shù)y的立方根與它本身相同．(1)求a，x，y的值；(2)求的算術(shù)平方根．5.已知3x?2+2=x,且33y?1與3【解法提煉】利用平方根的性質(zhì)和立方根的性質(zhì)，建立方程，解方程即可，主要考查方程思想三.算術(shù)平方根的非負(fù)性【題型解讀】1.算術(shù)平方根、完全平方數(shù)、絕對值都是非負(fù)數(shù)，且一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性．2．根據(jù)“幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，從而得每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0”，構(gòu)建方程，從而求得未知數(shù)的值．例1．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）已知實(shí)數(shù)，，滿足：，求：(1)，，的值．(2)的平方根．例2．（24-25七年級下·四川眉山·期中）若，為兩個(gè)有理數(shù)，且，則的平方根為．對應(yīng)練習(xí)：1．（24-25七年級上·浙江寧波·期中）若，則的值為．2．（24-25七年級下·河北石家莊·期中）已知實(shí)數(shù)滿足，若為正整數(shù)，當(dāng)b取最大值時(shí)，．3．（24-25七年級下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知滿足，求的算術(shù)平方根．4．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）已知：．求：(1)，，的值；(2)求的值．【解法提煉】1.根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)確定字母的取值2.利用非負(fù)＋非負(fù)=0，則它們分別等于0,即()2+四.實(shí)數(shù)有關(guān)概念，分類問題及與數(shù)軸的關(guān)系【題型解讀】主要考查有理數(shù)，無理數(shù)，正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際情況對數(shù)進(jìn)行分類例1．（24-25七年級上·浙江臺(tái)州·期中）把下列各數(shù)的序號分別填寫在相應(yīng)的橫線上．①，②，③，④，⑤，⑥(兩個(gè)之間依次多一個(gè))．屬于整數(shù)的有：__________________________________________屬于負(fù)數(shù)的有：________________________________________________屬于無理數(shù)的有：_________________________________________________例2．有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別在于（）A．有理數(shù)是有限小數(shù)，無理數(shù)是無限小數(shù)B．有理數(shù)能用分?jǐn)?shù)表示，而無理數(shù)不能C．有理數(shù)是正的，無理數(shù)是負(fù)的D．有理數(shù)是整數(shù)，無理數(shù)是分?jǐn)?shù)例3．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并用“<”號把它們連接起來．，，，，．例4如圖，，是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)、、所對應(yīng)的實(shí)數(shù)．試化簡：對應(yīng)練習(xí)：1．（24-25七年級下·河南周口·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)（填序號）：①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨…（每相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加）(1)無理數(shù)集合{…}；(2)分?jǐn)?shù)集合{…}；(3)負(fù)實(shí)數(shù)集合{…}．2．（24-25七年級下·浙江杭州·期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的橫線上：，，，0，，，，整數(shù)：___________________________________；負(fù)分?jǐn)?shù)：___________________________________；無理數(shù)：___________________________________；正實(shí)數(shù)：___________________________________．3．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．實(shí)數(shù)可分為正實(shí)數(shù)、0和負(fù)實(shí)數(shù)B．無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)C．無理數(shù)都是帶根號的數(shù)D．實(shí)數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的統(tǒng)稱4．（24-25七年級下·浙江金華·期中）已知一列數(shù)：．(1)把這個(gè)數(shù)表示在下圖所示的數(shù)軸上；(2)用“”將這個(gè)數(shù)連接起來．5.（24-25七年級下·重慶南岸·階段練習(xí)）已知點(diǎn)、、在數(shù)軸上表示的數(shù)、、的位置如圖所示，化簡：．【解法提煉】(1)本題考查了實(shí)數(shù)的分類(2)數(shù)軸上比較大小，越靠右值越大.五.實(shí)數(shù)大小比較與估算【題型解讀】有理數(shù)范圍內(nèi)比較大小學(xué)生易于掌握，而無理數(shù)比較大小對學(xué)生而言就有難度了，此種題主要考查學(xué)生選擇合適的方法比較大小.例1比較?5?2與例2比較712與對應(yīng)練習(xí)：1.比較2,3,32.（23-24七年級下·四川成都·期末）比較大小：（填“”，“”或“=”）3.比較6+2與574.比較13?12與5.當(dāng)0<a<1,比較a,1【解法提煉】實(shí)數(shù)的大小比較，可以根據(jù)實(shí)數(shù)的特征靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，除了常?guī)的方法外，還有幾種特殊的方法：開方法、平方法、取近似值法、放縮法、作差法、作商法等．六.實(shí)數(shù)運(yùn)算【題型解讀】1.實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則同有理數(shù)一樣，先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減，有括號的先算括號里面的．2．在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中，數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)等意義跟有理數(shù)一樣，在有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用．例1（24-25七年級下·湖南長沙·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：．(2)；(3)．(4)例2．（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知a，b均為有理數(shù)，且滿足等式5﹣a＝2b+﹣a，則ab=．例3．（23-24七年級下·安徽黃山·期中）已知是的整數(shù)部分，，則的平方根是．對應(yīng)練習(xí)：1．（24-25七年級下·山東威?！て谀┯?jì)算：(1)．(2)；(3)(4)：2．（23-24七年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）若有理數(shù)a，b滿足，則a＝，b＝．3．（23-24七年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）已知的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，則，．4．已知的算術(shù)平方根是3，的平方根是，c是的整數(shù)部分，求的平方根．【解法提煉】有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用；通過夾逼法得出實(shí)數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分；有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算結(jié)果依然是有理數(shù)，無理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算結(jié)果為有理數(shù)或無理數(shù)，有理數(shù)與無理數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果為無理數(shù)，有理數(shù)(除0以外)與無理數(shù)乘除運(yùn)算結(jié)果為無理數(shù).七.實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【題型解讀】學(xué)有用的數(shù)學(xué)所以實(shí)際應(yīng)用為?？碱愋?1.利用幾何圖形的面積，周長，體積來解決實(shí)際問題；2.跨學(xué)科融合考查實(shí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.例1如圖，一個(gè)底面半徑為的瓶子內(nèi)裝著一些溶液．當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶內(nèi)溶液的高度為；倒放時(shí)，空余部分的高度為．瓶內(nèi)的溶液正好倒?jié)M2個(gè)一樣大的正方體容器（取3，容器的厚度不計(jì)）．(1)該瓶子的容積（裝滿時(shí)溶液的體積）是多少立方厘米？(2)正方體容器的棱長是多少厘米？例2．（23-24七年級下·河南周口·階段練習(xí)）座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為，其中T表示周期（單位：s），l表示擺長（單位：m）．假如一臺(tái)座鐘的擺長為0.2m．（取3，）(1)求擺針擺動(dòng)的周期．(2)如果座鐘每擺動(dòng)一個(gè)來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？對應(yīng)練習(xí)：1.如圖，一個(gè)正方體鐵塊放入圓柱形玻璃容器后，完全沒入容器內(nèi)水中，使容器中的水面升高，如果容器的底面半徑是，求正方體鐵塊的棱長取，精確到．2．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）用電器的電阻、功率與它兩端的電壓之間有關(guān)系：．有兩個(gè)外觀完全相同的用電器，甲的電阻為，乙的電阻為．現(xiàn)測得某用電器的功率為，兩端電壓在150-170V，該用電器到底是甲還是乙？3．（23-24七年級下·廣西玉林·期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過100千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測量d＝32米，f＝2，請你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了．4．（23-24七年級下·福建福州·階段練習(xí)）某裝修公司現(xiàn)有一塊面積為的正方形的木板，準(zhǔn)備做裝飾材料用，設(shè)計(jì)師王師傅設(shè)計(jì)了如下兩種方案：方案一：沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形裝飾材料；方案二：沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形裝飾材料，且長寬比為．王師傅設(shè)計(jì)的兩種方案是否可行？若可行，請幫助解決如何裁剪；若不可行，請說明理由．【解法提煉】利用幾何體有關(guān)公式直接運(yùn)算②在物理學(xué)或其它學(xué)科背景下根據(jù)所給公式直接進(jìn)行計(jì)算.八.實(shí)數(shù)有關(guān)的規(guī)律【題型解讀】此種題型主要考查學(xué)生的觀察所給算式，從算式中歸納出它的一般規(guī)律，并能用此規(guī)律解題的能力，是考試中一種?？碱}型.例1．（23-24七年級下·江蘇揚(yáng)州·期中）計(jì)算：①；②；③；④，觀察你計(jì)算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：（

）A． B．1275 C．1326 D．1378例2．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知，則．例3．（24-25七年級下·四川南充·期末）下列各個(gè)圖形中，“●”的個(gè)數(shù)用a表示，“○”的個(gè)數(shù)用b表示，如時(shí)，，；時(shí)，，；……根據(jù)圖形的變化規(guī)律，當(dāng)時(shí)，的值為．對應(yīng)練習(xí)：1．（24-25七年級下·全國·期中）如圖所示為一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：第一行2第二行3第三行第四行根據(jù)數(shù)陣規(guī)律，第八行倒數(shù)第三個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級下·上海·階段練習(xí)）若一個(gè)數(shù)等于某個(gè)整數(shù)的平方，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)．對任意正整數(shù)n，記表示不大于n的最大完全平方數(shù)，記．例如：．則．3．（24-25七年級下·重慶萬州·階段練習(xí)）先計(jì)算下列各式：，，，，通過觀察并歸納結(jié)論：（1）請寫出：：（2）計(jì)算：．4．（24-25七年級下·福建漳州