高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖南八校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)?，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.2.在三棱臺(tái)中，截去三棱錐，則剩余部分是（）A.三棱錐 B.三棱臺(tái) C.四棱錐 D.三棱柱【答案】C【解析】如圖，在三棱臺(tái)中，截去三棱錐后得到的是四棱錐.故選：C.3.是平面內(nèi)不共線的兩向量，已知，若三點(diǎn)共線，則的值為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由得，由三點(diǎn)共線，得，又不共線，則，所以.故選：A.4.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若滿足條件的有兩個(gè)，則的值可能為（）A.7 B. C.9 D.10【答案】C【解析】在中，由正弦定理，得，因滿足條件的三角形有兩個(gè)，則必有，且，即，于是得，解得，顯然9適合題意，故選：C.5.已知是兩個(gè)單位向量，且向量在向量上的投影向量為，則向量的夾角（）A B. C. D.【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量為，解得，所以，解得.故選：A.6.如圖，一塊三角形鐵皮，其一角已破裂，小明為了了解原鐵皮的規(guī)格，現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)：，則破裂的斷點(diǎn)兩點(diǎn)間距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理，得，由題意得20，在中，由余弦定理，得，故兩點(diǎn)之間的距離為.故選：D.7.如圖，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為1，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為，用這兩個(gè)三棱柱拼成一個(gè)三棱柱，在所有可能組成的三棱柱中，表面積不可能為（）A.36 B.38 C.40 D.42【答案】B【解析】當(dāng)拼成三棱柱時(shí)有三種情況，如圖①②③，表面積分別為.故選：B.8.已知中，是外接圓的圓心，則的最大值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，因?yàn)槭峭饨訄A的圓心，則為的中點(diǎn)，則，由正弦定理得，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則，所以的最大值為.故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B.C.D.的夾角為【答案】ABD【解析】由，可得，所以不共線，所以能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故A正確；由，所以，所以，所以，故B正確；，所以，故C錯(cuò)誤；，故的夾角為，故D正確.故選：ABD.10.已知為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，令，則，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，若，則，所以，即，故B正確；對(duì)于C，令，則不是實(shí)數(shù)，不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，易知，又，所以，故D正確.故選：BD.11.如圖，一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，，弧長(zhǎng)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.該圓錐的側(cè)面積為B.該圓錐的體積為C.該圓錐可以整體放入半徑為的球內(nèi)D.該圓錐可以整體放入邊長(zhǎng)為的正方體中【答案】ABD【解析】對(duì)于A：因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，，弧長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為，故A正確；對(duì)于B：設(shè)圓錐底面半徑為，則，解得，圓錐的高，母線長(zhǎng)，圓錐體積，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)閳A錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的外接球球心在圓錐內(nèi)部，設(shè)圓錐外接球的半徑為，過(guò)點(diǎn)的軸截面如圖1，為外接球球心，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：過(guò)正方體一邊的中點(diǎn)作與體對(duì)角線垂直的平面，如圖2，此平面到頂點(diǎn)的距離為體對(duì)角線的一半，即為，平面截正方體得到邊長(zhǎng)為2的正六邊形，該正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，以該圓作為圓錐的底面，點(diǎn)為頂點(diǎn)即可得到圓錐.故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則__________.【答案】【解析】由題意可設(shè)對(duì)應(yīng)的向量為對(duì)應(yīng)的向量為，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得和模相等，且它們對(duì)應(yīng)的向量垂直，則解得.故答案為：13.如圖，為水平放置的的直觀圖，其中，則的面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】在直觀圖中，，取的中點(diǎn)，連接，則，而，于是，則，由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則作出，如圖，，所以的面積為.故答案為：14.有長(zhǎng)度分別為的線段各1條，首尾依次相連地放在桌面上，可組成周長(zhǎng)為10的四邊形，如圖，，則組成的四邊形面積的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】連接，由余弦定理知，，，.又.又.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故四邊形面積的最大值為.故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程及演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)滿足.（1）求；（2）若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求復(fù)數(shù)的模長(zhǎng).解：（1）設(shè)，則，所以，解得，故.（2）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，是關(guān)于的方程的另一個(gè)根，，解得，.16.記的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，已知.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，化?jiǎn)得，因?yàn)?，即，所以，得，因?yàn)?，所以，又，所?（2）由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理可得，即，所以，所以的面積為.17.如圖，已知圓臺(tái)的軸截面為梯形，梯形的面積為.（1）求圓臺(tái)的體積；（2）在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度是多少？解：（1）由，得圓臺(tái)的下底面的半徑為，上底面的半徑為，設(shè)圓臺(tái)的高為，則，所以，所以圓臺(tái)的體積為.（2）在梯形中，，即母線長(zhǎng)為3.如圖，由圓臺(tái)性質(zhì)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由與相似，得，即，解得.設(shè)該圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則，所以，在側(cè)面展開(kāi)圖中，連接，則從點(diǎn)到的最短路徑為線段，又在中，，由余弦定理得，所以.驗(yàn)證知，由，得，此時(shí)，恰與扇形弧所圓相切于點(diǎn)，滿足題意.18.在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)，求的值；（3）求的最小值.解：（1）由已知當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，因?yàn)?，所以?（2）當(dāng)時(shí)，，即為的中點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，設(shè)，則，又不共線，根據(jù)平面向量基本定理得解得所以，又，則所以.（3）因?yàn)?，，所以，由?），又，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于非零向量，滿足，則稱為這兩個(gè)向量的“協(xié)方差”.（1）若，證明：.（2