1/1橢圓的幾何性質(zhì)1、已知橢圓的一個焦點(diǎn)為（0，2）求的值．2、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3、的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡．4、已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點(diǎn)，求橢圓方程．5、已知橢圓方程，長軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，，．求：的面積（用、、表示）．6、已知動圓過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程．7、以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程．已知方程表示橢圓，求的取值范圍．9、求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程．10、已知圓，從這個圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段中點(diǎn)的軌跡．參考答案：1、分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值．解：方程變形為．因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得．又，所以，適合．故．2、分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況．根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)其方程為．由橢圓過點(diǎn)，知．又，代入得，，故橢圓的方程為、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，設(shè)其方程為．由橢圓過點(diǎn)，知．又，聯(lián)立解得，，故橢圓的方程為．3、分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解．（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程．解：（1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)．因，，有，故其方程為．（2）設(shè)，，則．①由題意有代入①，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點(diǎn)）．4、解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，．從橢圓定義知．即．從知垂直焦點(diǎn)所在的對稱軸，所以在中，，可求出，，從而．∴所求橢圓方程為或．5、分析：求面積要結(jié)合余弦定理及橢圓的定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積．解：設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限．由余弦定理知：·．①由橢圓定義知：②，則得．故．6、分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式．解：設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)．動點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即．∴點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：．7、分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決．解：橢圓的焦點(diǎn)為，．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（－9，6），直線的方程為．解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（－5，4）．此時最?。髾E圓的長軸：，∴，又，∴．因此，所求橢圓的方程為．8、解：由得，且．∴滿足條件的的取值范圍是，且．說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是．出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個條件，當(dāng)時，并不表示橢圓．9、分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡便起見，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，直接可求出方程．解：設(shè)所求橢圓方程為(，)．由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，．故所求的橢圓方程為．10、分析：本題是已知一些軌跡，求動點(diǎn)軌跡問題．這種題目一般利用中間變量(相關(guān)點(diǎn))求軌跡方程或軌跡．解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，．因?yàn)樵趫A上，所以．將，代入方程得．所以點(diǎn)的軌跡是一個橢圓．說明：此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)題目要求