天津市紅橋區(qū)2023?2024學年高一下學期7月期末考試數學試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知，為虛數單位，若為實數，則（

）A． B．C． D．2．設向量，若，則（

）A． B．C． D．3．設，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則，4．已知圓柱的底面半徑和高都是2，那么圓柱的側面積是（

）A． B． C． D．5．已知平面截球的球面所得圓的面積為，到的距離為，則球的表面積為（

）A． B．C． D．6．如圖：一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，則原的面積是（

）A． B．4 C． D．7．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．8．在中，是中點，，，，則（

）A． B． C． D．9．如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別為和的中點，那么直線AM與CN夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．已知為虛數單位，則11．化簡=12．一個正方體的表面積為6，若一個球內切于該正方體，則此球的體積是13．若圓錐的底面半徑為，側面積為，則該圓錐的體積為14．已知三棱錐四個頂點在球面上，，是邊長為的正三角形，，分別是，的中點，，則此球的半徑是.15．已知點O是內一點，滿足，，則實數m為．三、解答題（本大題共4小題）16．在中，內角所對的邊分別是，已知.(1)求的值；(2)求的值.17．在中，內角所對的邊分別是，已知,，.(1)求：的值；(2)求：的面積.18．如圖，在四棱柱中，已知側棱底面，側面是正方形，與交于點，，，，.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值；（3）設Q為線段PD上的點，且直線AQ和平面PAC所成角的正弦值為，求的值.

參考答案1．【答案】C【分析】根據題意得，又因為，求解即可.【詳解】由于，因為，則，解得.故選C.2．【答案】C【分析】根據給定條件，利用向量垂直的坐標表示，列式計算即得.【詳解】向量，由，得，所以.故選C.3．【答案】A【分析】根據線面位置關系，結合線面平行、垂直的判定性質逐項討論即可得答案.【詳解】對于A，由，得，當時，，A正確；對于B，若，則或相交，B錯誤；對于C，若，，則或異面，C錯誤；對于D，若，可以在或內，當時，，D錯誤.故選A.4．【答案】B【分析】本題可根據圓柱的側面積公式得出結果.【詳解】因為圓柱的底面半徑和高都是，所以圓柱的側面積.故選B.5．【答案】C【分析】根據給定條件，利用球的截面小圓的性質求出球半徑即可.【詳解】依題意，球的截面小圓半徑為1，而球心到截面距離為1，則球半徑，所以球的表面積為.故選C.6．【答案】C【分析】首先求出，再作出平面圖形，求出相關線段的長度，即可求出面積.【詳解】因為直觀圖是等腰直角三角形且，所以，由直觀圖可得如下平面圖形：則，，所以.故選C.7．【答案】B【分析】根據空間向量共線的坐標表示，求出的值.【詳解】向量，且，所以，解得.故選B.8．【答案】B【分析】首先轉化向量，再根據數量積公式，即可求解.【詳解】由余弦定理可知，，，.故選B.9．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，所以，故選D.10．【答案】【分析】用復數的除法及乘法法則即可求解.【詳解】，.故答案為：.11．【答案】【詳解】利用平面向量的線性運算法則，=+（+）==.故答案為：.12．【答案】/【分析】求出正方體的棱長，進而求出其內切球的半徑即可得解.【詳解】正方體的表面積為6，則該正方體的棱長為1，內切球半徑為，所以所求球的體積為.故答案為：.13．【答案】【分析】根據給定條件，求出圓錐的母線及高，再利用錐體的體積公式計算即得.【詳解】設圓錐的母線長為，則，解得，因此圓錐的高，所以圓錐的體積.故答案為：.14．【答案】【分析】根據題意結合余弦定理求得，進而可得兩兩垂直，可以把三棱錐P-ABC轉化為邊長為1的正方體，利用正方體的性質求外接球的半徑.【詳解】設，則，因為，則，在中，因為，則，由余弦定理可得，即，解得（負值已舍去），可知，即，同理可得，，所以兩兩垂直，可以把三棱錐轉化為邊長為1的正方體，則三棱錐的外接球即為正方體的外接球，正方體的體對角線即為外接球的直徑，即.故答案為：.15．【答案】【分析】根據條件可以得出，并設，這樣即可得出三點共線，畫出圖形，并得到，從而解出的值．【詳解】如圖，令，則三點共線；與共線反向，；；-解得．

故答案為：.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據給定條件，利用余弦定理求解即得.（2）利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式計算即得.【詳解】（1）在中，由，令，由余弦定理得.（2）在中，由及，得，則，，所以.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，利用余弦定理求得.（2）先求得，然后利用三角形面積公式求得三角形的面積.【詳解】（1）已知，由正弦定理得，由于，所以，因為，所以；（2）由于，所以是銳角，所以，則.18．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據空間向量法結合線面平行判定定理證明；（2）應用空間向量法求出線面角正弦值.【詳解】（1）

依題意，以點為原點建立空間直角坐標系（如圖），可得，，，，，，.因為，，，設為平面的法向量，則即，不妨令x=1，可得為平面的一個法向量，，則，又平面，則平面；（2）因為，，，設為平面的法向量，則即，不妨令，可得為平面的一個法向量，則，則直線與平面所成角的正弦值為.19．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明．（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）設為線段上的點，，，，，，求出，由平面的法向量，且直線和平面所成角的正弦值為，利用向量法能求出結果．【詳解】（1）證明：∵在四棱錐中，平面ABCD，，，，，，.∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，∴，∴.（2），，，設平面APC的法向量，則，取，得，平面PCD的法向量，設二面角的平面角為，則.∴二面角的余弦值為.（3）解：設Q為線段P